新課標(biāo)下高二學(xué)生數(shù)列原理應(yīng)用水平測(cè)試量表的編制與研究

［摘" 要］ 基于新課標(biāo)對(duì)數(shù)列內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求，以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、SOLO理論和數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)理論等為依據(jù)，采用定性研究與定量研究相結(jié)合的方法，制定衡量學(xué)生數(shù)列原理應(yīng)用水平的研究框架，同時(shí)滲透考查學(xué)生對(duì)數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系的理解，編制學(xué)生數(shù)列原理應(yīng)用水平測(cè)試量表． 根據(jù)調(diào)研結(jié)果分析學(xué)生在數(shù)列原理應(yīng)用存在的主要弱勢(shì)，制定一個(gè)劃分學(xué)生數(shù)列原理應(yīng)用水平的參考標(biāo)準(zhǔn).

［關(guān)鍵詞］ 原理應(yīng)用；數(shù)列；水平；測(cè)試；量表

作者簡(jiǎn)介：沈源欽（1988—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作和教學(xué)測(cè)量研究，現(xiàn)任廣州市高三數(shù)學(xué)中心組成員，曾獲得全國青年教師優(yōu)質(zhì)課三等獎(jiǎng)、廣東省說課特等獎(jiǎng)，廣東省省級(jí)精品課、華南師大中小學(xué)聯(lián)盟新課標(biāo)教學(xué)設(shè)計(jì)一等獎(jiǎng)等榮譽(yù).

■ 緒言

2017年，教育部頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，提出六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析. 這六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體，比如在數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用過程中，主要凸顯邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算這兩大核心素養(yǎng)［1］.

本研究選取高二年級(jí)學(xué)生作為研究對(duì)象，選取《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·選擇性必修第二冊(cè)（人教A版）》中的數(shù)列內(nèi)容為載體，結(jié)合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、SOLO理論和數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)理論等，采用定性研究與定量研究相結(jié)合的方法，嘗試對(duì)數(shù)列原理系統(tǒng)作出一個(gè)比較合理的界定，提出衡量學(xué)生數(shù)列原理應(yīng)用水平的研究框架，編制學(xué)生數(shù)列原理應(yīng)用水平測(cè)試量表，并給出一個(gè)劃分學(xué)生數(shù)列原理應(yīng)用水平的參考標(biāo)準(zhǔn)，以期為一線數(shù)學(xué)教師教學(xué)提供參考，為培養(yǎng)或診斷學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的研究拋磚引玉.

■ 數(shù)列原理系統(tǒng)的界定

人們把在認(rèn)識(shí)世界、發(fā)現(xiàn)各種事物的內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上得到的計(jì)算公式、法則、定理、定律等叫做規(guī)則，或統(tǒng)稱為原理. 加涅認(rèn)為定義性概念也是一種特殊的規(guī)則［2］. 因此，本研究將定義式概念、公式、法則、定理、定律等界定為原理系統(tǒng).

本研究將通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的定義（A），等差、等比數(shù)列的定義（B），等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（C），等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（D），等差、等比數(shù)列的性質(zhì)（E），等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（F），等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法（G），統(tǒng)稱為數(shù)列原理系統(tǒng)（如表1所示）［3］. 數(shù)列原理應(yīng)用主要是指利用數(shù)列定義、公式、性質(zhì)等進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和數(shù)列公式應(yīng)用變形.

■ 測(cè)試量表的編制

1. 量表的初始框架［4］［5］

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平均劃分為三個(gè)層次，分別對(duì)應(yīng)著在熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境、綜合的情境中的邏輯關(guān)系推理和演繹推理. 將以上素養(yǎng)水平劃分的指導(dǎo)性進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為可操性，本研究結(jié)合SOLO理論關(guān)于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的分類，按照完成應(yīng)用任務(wù)所需要的數(shù)列原理的次數(shù)把數(shù)列原理應(yīng)用劃分為四個(gè)層次：第一個(gè)應(yīng)用層次是指一次數(shù)列原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，第二個(gè)應(yīng)用層次是指兩次數(shù)列原理的綜合應(yīng)用，第三個(gè)應(yīng)用層次是指三次數(shù)列原理的綜合應(yīng)用，第四個(gè)應(yīng)用層次是指多次（三次以上）數(shù)列原理的綜合應(yīng)用.

何小亞教授指出，數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)可以分成四種水平：言語連鎖學(xué)習(xí)水平、正向產(chǎn)生式水平（正用水平）、逆向產(chǎn)生式水平（逆用水平）、變形產(chǎn)生式水平（變形使用水平）. 同時(shí)考慮到數(shù)列公式包括原式、一級(jí)變形式、二級(jí)變形式（可看作原式的兩次變形），以及與函數(shù)的聯(lián)系，筆者把每一層次的測(cè)試題按照數(shù)列原理的正用、一次變形使用和多次變形使用分為三個(gè)難度等級(jí)（分別為一級(jí)、二級(jí)和三級(jí)），并適當(dāng)加入函數(shù)觀點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè). 其中，一級(jí)難度是指完成應(yīng)用任務(wù)只需要正用數(shù)列原理；二級(jí)難度是指完成應(yīng)用任務(wù)需要一次變形使用數(shù)列原理；三級(jí)難度是指完成應(yīng)用任務(wù)需要兩次或以上變形使用數(shù)列原理.變形使用包含數(shù)列一級(jí)變形式和二級(jí)變形式混合使用的情形.從而確定了一個(gè)比較合理的量表框架，每一應(yīng)用層次的具體情況如表2所示.

2. 評(píng)價(jià)指標(biāo)［4］［5］

曹才翰、章建躍教授將數(shù)學(xué)技能的行為指標(biāo)分成四個(gè)：準(zhǔn)確性、速度、協(xié)調(diào)性、自動(dòng)化. 其中，準(zhǔn)確性和速度是比較容易通過測(cè)試制定量化的標(biāo)準(zhǔn)的，而且這兩個(gè)指標(biāo)體現(xiàn)了運(yùn)算技能教學(xué)中最基本的要求.因此，本研究選取準(zhǔn)確性和速度作為評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)列原理應(yīng)用技能的兩個(gè)量化的指標(biāo).借鑒何小亞、植美賢老師的經(jīng)驗(yàn)，以學(xué)生在限定時(shí)間內(nèi)正確運(yùn)用數(shù)列原理次數(shù)的情況來統(tǒng)計(jì)學(xué)生原理應(yīng)用的速度，以學(xué)生正確完成題數(shù)的情況來統(tǒng)計(jì)學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

3. 測(cè)試量表

何小亞、植美賢老師提出，測(cè)試量表的形成主要經(jīng)歷四個(gè)階段：第一階段是根據(jù)研究的框架，初選出測(cè)試題；第二階段是征詢專家意見，篩選和修改測(cè)試題；第三階段是廣泛征求專家教授和一線教師的意見，精選測(cè)試題；第四階段是試測(cè)、修改，形成最終的測(cè)試量表，其結(jié)構(gòu)如表3所示.

4. 量表的效度和信度分析

（1）效度分析.

參考華東師范大學(xué)出版的《教育測(cè)量與評(píng)價(jià)》關(guān)于內(nèi)容效度的量化分析方法，考察題目實(shí)際測(cè)到的內(nèi)容與欲測(cè)到的內(nèi)容之間的相關(guān)程度如何，并且用四點(diǎn)量表表示. 該方法要求專家在仔細(xì)審閱測(cè)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的基礎(chǔ)上，獨(dú)立對(duì)測(cè)驗(yàn)的每一個(gè)題目作出判斷：相關(guān)程度的大小. 四點(diǎn)量表為：“1”表示完全無關(guān)，“2”表示有點(diǎn)相關(guān)，“3”表示相關(guān)較密切，“4”表示完全相關(guān).前兩者為弱相關(guān)，后兩者為強(qiáng)相關(guān).當(dāng)兩位專家都完成了此項(xiàng)工作后，即可形成表4.

表4中的D表示兩位專家都判定為強(qiáng)相關(guān)的題目數(shù)；A表示兩位專家都判定為弱相關(guān)的題目數(shù)；B，C表示一位專家判定為強(qiáng)相關(guān)、另一位專家判定為弱相關(guān)的題目數(shù). 這樣，內(nèi)容效度系數(shù)就可以用公式表示為：內(nèi)容效度系數(shù)=.

根據(jù)上述原理，本研究專門對(duì)測(cè)試題的內(nèi)容效度進(jìn)行了量化分析. 為此，編制了“關(guān)于數(shù)列原理應(yīng)用水平測(cè)試量表的調(diào)查問卷”，一共征求了10位專家的意見. 通過計(jì)算得出，本測(cè)試題的內(nèi)容效度系數(shù)為0.9512，可見本研究編制的數(shù)列原理應(yīng)用水平測(cè)試量表具有較高的效度.

（2）信度分析［4］［5］.

參考華東師范大學(xué)出版的《教育測(cè)量與評(píng)價(jià)》，本研究采用重測(cè)復(fù)本信度，以廣州市某學(xué)校高二年級(jí)的一個(gè)班的學(xué)生作為重測(cè)對(duì)象進(jìn)行測(cè)試（相隔3周）.記錄該班學(xué)生兩次測(cè)試中正確應(yīng)用數(shù)列原理的次數(shù)和正確完成的題數(shù)，將每一個(gè)學(xué)生的兩次測(cè)試成績(jī)進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)配對(duì)，利用SPSS18.0統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算兩次測(cè)試中正確應(yīng)用數(shù)列原理的次數(shù)和正確完成的題數(shù)的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果分別為0.992和0.980（α均取0.01）. 可見，測(cè)試具有較高的信度.

■ 實(shí)施與測(cè)驗(yàn)結(jié)果

廣州市A，B，C三個(gè)不同層次共6所學(xué)校的高二學(xué)生的測(cè)驗(yàn)結(jié)果如下：

（1）被試總體的正確題數(shù)和正確次數(shù)成績(jī)都是大致呈正態(tài)分布.

（2）6個(gè)被試組的正確題數(shù)成績(jī)劃分為較高、中、較低三個(gè)層次；而正確次數(shù)劃分為較高、較低兩個(gè)層次.這樣劃分是具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的.

（3）被試總體的正確次數(shù)與正確題數(shù)成績(jī)之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系.

■ 數(shù)列原理應(yīng)用水平劃分標(biāo)準(zhǔn)的制定

根據(jù)樣本分析結(jié)果作為常模參照，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教師的經(jīng)驗(yàn)，找到了三個(gè)指標(biāo)：平均線、合格線和優(yōu)秀線. 其中，平均線反映被試總體的一般水平，合格線反映被試達(dá)到了最基本的要求，優(yōu)秀線表明被試達(dá)到了優(yōu)秀水平. 本研究對(duì)樣本按70%合格率和10%的優(yōu)秀率確定［4］［5］. 其中用B代表正確次數(shù)（最大值為51），T代表正確題數(shù)（最大值為20），如表5所示.

這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)參照表的實(shí)用意義是：對(duì)凡是學(xué)完了數(shù)列原理的學(xué)生在任何時(shí)間用本測(cè)試問卷，用時(shí)50分鐘進(jìn)行測(cè)試，均可對(duì)他們的數(shù)列原理應(yīng)用有一個(gè)合適的定位.如果達(dá)到了標(biāo)準(zhǔn)參照表的要求，教師可以放心地積極前進(jìn)；如果還沒有達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)參照表的要求，教師就要采取一定的措施進(jìn)行彌補(bǔ).

■ 研究局限與展望

由于條件與能力有限，本研究仍存在很多不足. 其中，對(duì)數(shù)列原理應(yīng)用層次的劃分是一種縱向劃分，能否從水平方向作出維度劃分，或有沒有更好的劃分方法等還有待研究.

本研究的對(duì)象都是廣州市的學(xué)生，還可以進(jìn)一步做鄉(xiāng)村地區(qū)高中生的數(shù)列原理應(yīng)用水平與數(shù)列原理應(yīng)用水平的對(duì)比研究.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 何小亞. 數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)（第二版）［M］. 廣州：華南理工大學(xué)出版社，2016.

［3］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)·選擇性必修第二冊(cè)［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 何小亞，植美賢. 高一學(xué)生對(duì)數(shù)運(yùn)算技能水平測(cè)試量表的編制與研究［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（05）：55-58.

［5］ 植美賢，何小亞. 高一年級(jí)對(duì)數(shù)運(yùn)算技能水平測(cè)試量表的編制與研究［J］. 中國數(shù)學(xué)教育研究會(huì)2010年國際學(xué)術(shù)年會(huì)論文集，2010-06-25.