基于問題鏈的高中解三角形復習課教學研究

［摘" 要］ 解三角形是高考的熱點，常與其他知識聯系緊密，以測試學生的遷移能力. 文章立足問題鏈相關成果，對高中解三角形復習課展開研究，旨在促進學生認知結構和綜合應用能力的發展.

［關鍵詞］ 問題鏈；解三角形；復習課

作者簡介：李譽（1998—），重慶師范大學在讀碩士研究生，從事數學教育研究工作.

高效的復習課不是教師讓學生在課堂上盲目、機械地刷題，而是以優化核心知識內容結構為基點，促進學生遷移能力的提升和認知結構的完善. 復習課不是只關注學生對具體知識的掌握，更應重視學生有意義的復習和網絡型知識體系的構建，這要求教師設計符合邏輯、適切學生認知、激發學生思考、體現知識結構等一系列問題.

■ 問題鏈

問題鏈教學是我國近年來較為熱門的研究領域，也是我國為響應新課程改革而提出的一個教學理念. 蔣安娜、唐恒鈞、許元根認為，問題鏈教學是一種以系列問題為抓手，引導學生探究思考的層進式、沉浸式的逐漸深入的學習展開過程［1］. 從形式上來看，問題鏈是由多個存在某種關系的問題串聯而來的. 問題鏈教學通過精心設置的、環環相扣的系列問題可以實現相關知識與能力的傳授.

1. 問題鏈的組成

問題鏈主要由主干問題和枝干問題串聯而成. 主干問題源于教學目標落實的需要，對于學生而言，往往要通過師生、生生互動交流才能得以解決，具有一定的挑戰性；而枝干問題是為解決主干問題和引出新主干問題出現的. 圖1展示了以5個主干問題為例的問題鏈大致組成結構.

2. 問題鏈的設計原則

（1）問題數量的合理性.

？搖？搖問題鏈教學倡導給學生提供充足的思考空間和自由表達的機會，設置的問題偏多會壓縮學生思考和交流的過程，學生的主觀能動性無法得到充分發揮，學生收獲的就是對知識和技能的機械記憶，故問題鏈教學要求設置恰當數量的主干問題，一般為4～6個.

（2）密切聯系現實.

荷蘭著名數學家弗賴登塔爾指出：“數學教育要結合學生的生活經驗和數學現實.”若設計的問題過難，則會導致學生不能消化吸收所學知識，甚至會打擊學生數學學習信心；若設計的問題太簡單，則不能促進學生思維與能力進階. 因此，要以學生的已有認知水平為依據，設計貼近學生最近發展區的問題.

（3）層次性.

為達到問題鏈事先制定的高階目標，問題鏈中的主干問題必須有層次性，即主干問題的難度不是線性增長，而是跳躍式增長. 當然，這個難度的陡增對于學生而言，是可以接受和理解的.

（4）探究性.

問題鏈以問題為核心，新問題的生成依靠的是舊問題的研究，這就要求問題具有探究性.

■ 解三角形內容的分析

優質問題鏈教學從課程標準出發，結合學情和考題分析，設計符合邏輯、適切學生認知、激發學生思考、體現知識結構等一系列問題.

1. 課程標準的要求

課程標準是指導教師教學的綱領性文件，無論是教學設計，還是課堂實施都應以課程標準的要求嚴格執行，才能確保教學的有效性和合理性. 高中解三角形屬于《普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂）》（下文簡稱《課標》）“幾何與代數”主題中的“平面向量及其應用”的第四部分范疇. 《課標》對解三角形內容的具體要求為借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理以及能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.

2. 學習現狀

劉林雨通過實踐調查，將解三角形內容的學習現狀分為五類，分別為學生對正弦定理的理解與應用存在問題、學生對余弦定理的理解與應用存在問題、學生對解三角形的綜合應用存在問題、學生對解三角形的實際應用舉例存在問題、不同年級存在的問題具有差異性［2］. 造成這些結果主要基于兩方面的原因：一方面，部分數學教師未樹立正確的數學觀和教學觀，認為解三角形章節中只需記憶公式即可，忽視了公式推導過程，阻礙了學生認知結構的形成和完善；另一方面，解三角形常與平面幾何、基本不等式、函數最值、三角函數、平面向量等知識相結合作為考查內容，而學生在上述知識學習中未能打下堅實的基礎，導致遷移能力較弱，不利于問題的成功解決.

3. 考題分析

近五年（2018—2022），全國高考試題中關于解三角形內容的考查總體趨于穩定，主要體現為兩個特征：第一，就考題數量而言，每年以解三角形內容為核心考點的試題至少有一道，多數情況下為大題，偶爾為選擇題或填空題. 當然在空間幾何、解析幾何試題的求解過程中解三角形知識也作為解題工具融于其中的某個環節. 第二，試題主要為求邊、角、面積的定值或最值. 總體而言，解三角形內容作為高考的一個必考點，題型較為固定，但解決最值問題時需要學生擁有較強的遷移能力和綜合應用能力，才能有助于學生啟迪思維.

■ 教學設計

復習課問題鏈設計不是無源之水、無本之木，而應以教學目標為依據，培養學生的數學素養，提升學生的綜合能力.

（一）教學目標

教學目標的合理性在很大程度上決定著問題鏈的合理性和教學效果，基于教學目標的重要性，本文結合《課標》要求、學生學習現狀和考題分析，構建了如表1所示的低、中、高三層次教學目標.

下文為根植于教學目標而設計的具體教學流程，涵蓋四個環節，旨在通過循序漸進的教學過程，提升教學效果.

（二）教學流程

1. 自我梳理，夯實基礎

復習課的起點是回顧解三角形章節中的關鍵知識內容，終點是通過具體知識內容生成遷移能力和綜合應用能力. 對具體知識的回顧是必要的，并且有以下積極意義：一方面，關鍵能力的培養都要以知識為載體，才能將能力內化于學生腦中；另一方面，回顧熟悉的知識，能增加學生的親切感，讓學生以積極主動的狀態融于教學活動中，使學生的主體地位得到充分發揮. 教師既是學生發表知識見解的傾聽者，又是學生不當之處的修訂者和補充者. 因此，在這一階段，教師的主要任務是提出一個能讓學生自覺回顧解三角形內容的問題，故本文設計了如下基于問題鏈的解三角形復習課起始問題.

主干問題1：請你談一談解三角形章節中的重點學習內容？

就主干問題1而言，幾乎每一個學生都能脫口而出：正弦、余弦定理和三角形面積公式. 回答源于學生自身對知識內容進行梳理的結果，同時在學生發表觀點和教師引導的過程中，也能促進學生對基礎知識的再認識和再反思，從而打牢知識基礎. 由于問題鏈必須滿足自然生成的要求，因此主干問題1還能引起一個元認知枝干問題：請你從知識運用范圍的視角提出一些關于正弦、余弦定理的問題. 這個枝干問題給學生預留了思考空間，旨在讓學生提出新問題，以實現問題鏈的有序推進.

2. 互動交流，以惑促學

主干問題2（希望學生提出）：正弦、余弦定理的適用條件分別是什么？

多數學生能依據主干問題1的元認知枝干問題提出主干問題2，但主干問題2對于學生而言，有較大的挑戰性，能激起學生的認知沖突，因為在過去的學習過程中，學生主要從事借助正弦、余弦定理機械解題，缺乏將“知識—問題”歸類整理的意識. 為了幫助學生解決主干問題2，教師需要在課前精心設置系列階梯形枝干問題，這些枝干問題呈現的順序為復雜到簡單、抽象到具體，通過小步子的提示，給學生充分思考與交流提供機會. 以下為針對主干問題2設計的符合學生最近發展區的系列枝干問題，能給師生互動交流搭建平臺.

問題2-1：解三角形需要幾個已知條件？

問題2-2：從三個角、三條邊中任選三個條件組合，其中哪些條件組合能解三角形？

4. 歸納總結，明晰框架

主干問題5：請你談一談本節課關于解三角形內容的收獲.

設置這個問題的主要目的是幫助學生歸納總結優化認知結構，在問題與知識之間建立正確的對應. 由于學生已有的認知結構和認知風格存在差異，導致不同學生在相同的課堂學習中獲得完善程度不同的認知結構. 鑒于此，教師可以采取回顧梳理的方式，促進學生構建如圖5所示的認知結構.

本文設計的五個主干問題環環相扣、循序漸進，主干問題1和主干問題2的目的是夯實學生關于解三角形內容的基礎，為后續借助解三角形內容求解實際問題和綜合性問題做準備. 主干問題3和主干問題4則生動展示了知識的適用條件和運用范圍，主干問題5的主要功能是促進學生對學習內容的反思與總結，以實現網狀認知結構的形成. 上述問題鏈體現了基礎性、應用性、綜合性、創新性，符合《中國高考評價體系》中的“四翼”要求. 同時，基于問題鏈的教學設計還為教師的專業發展指明了方向，為學生認知結構的完善和綜合應用能力的提供提高了可能性.

參考文獻：

［1］ 蔣安娜，唐恒鈞，徐元根. 基于“問題鏈”的數學深度學習研究［J］. 教學月刊·中學版（教學參考），2018（12）：13-17.

［2］劉林雨. 高中生解三角形問題學習現狀及對策［D］. 哈爾濱師范大學，2020.