在“三個理解”的基礎上實施單元課時教學

［摘" 要］ “理解數學、理解學生、理解教學”是實施有效教學的三大基石. 研究者基于“三個理解”，以“一元二次函數、方程與不等式”的單元課時教學為例，從“理解數學，分析單元教學內容”“理解學生，設定單元課時目標”“理解教學，實施單元課時教學”三方面展開分析與設計.

［關鍵詞］ 三個理解；學情；單元課時教學

作者簡介：徐琳（1988—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作，曾獲海安市中青年數學教師優秀課評比一等獎.

章建躍博士在其撰寫的論文中明確指出：隨著時代的進步，教育改革是必然趨勢，要想培養學生的創新意識與實踐能力，就要改變我們已有的習慣做法，但改變習慣又是一件難事，深入透徹地理解數學、理解學生、理解教學是化解教學困難的重要途徑.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出數學教學要從整體上把握教學內容與主題，實施單元教學. 結合“三個理解”來設計單元教學可以充分體現出高中數學的邏輯性、整體性、連貫性與系統性. 本文以“一元二次函數、方程與不等式”的單元課時教學為例，從“三個理解”的角度來分析與設計教學.

■ 理解數學，分析單元教學內容

分析單元教學內容，首先從“四基”出發，結合核心素養發展需求來理解數學. 其中，關注知識間的聯系，揭露單元知識本質，提煉數學思想方法等，既是理解數學的主線，也是發展學生學力、提升學生核心素養的基礎.

1. 構建知識結構圖

縱觀本單元教學內容，知識量較大，包含的知識點多，可分成7個課時授課，將本單元的知識要點羅列在一起可構成一幅知識結構圖（如圖1所示）.

2. 解析單元知識

（1）分析知識本質.

本單元研究的是“式與式”之間的關系，屬于實數序關系的研究. 實數大小關系是解決不等式、等式問題的基礎，不等式的自反性、傳遞性等都體現了實數序關系的特征，其他性質則有刻畫不等式在運算中規律的作用. 從本質來看，基本不等式就是實數的平方為非負數，除此之外，它還蘊含著一定的幾何意義. 一元二次方程、二次函數以及不等式的本質都是用函數方法來解決不等式問題，屬于程序思想方法，使用范圍較廣，且方程、函數、不等式三者還能體現出事物運動和靜止的辯證關系.

（2）分析上下位關系.

學生在初中階段就接觸過一次函數、方程、不等式等內容，明白其中存在的內在關系，并能借助函數觀點將它們統一在一起形成有機整體. 實數間的大小關系從本質上來看就是不等式的邏輯基礎，通過與等式的類比，可探尋不等式所蘊含的性質，同時等式又是不等式變形的主要依據. 與初中所學內容進行類比，可將二次函數作為橋梁，將一元二次方程、不等式等有機地聯系起來進行分析，獲得用函數零點求解一元二次不等式的基本方法，而這部分內容又為后續研究函數的性質夯實了基礎.

（3）分析數學思想方法.

波利亞認為：類比是最偉大的引路人. 本單元教學，可將類比思想貫穿始終. 如根據等式類比不等式；根據三個“一次”類比三個“兩次”. 同時，在證明不等式的性質方面，還會應用到演繹推理、歸納推理、反證與比較等思想；基本不等式的證明則會涉及由因導果、執果索因、數形結合等方法. 探索本單元內容，還會應用到數形結合思想、函數與方程思想、轉化與化歸思想等，這些都體現了知識的整體性與聯系性.

（4）分析育人價值.

育人是學科教育的終極目標，數學知識與思想方法是連接數學核心素養的紐帶，也是學科育人價值的具體表現. 本單元教學，教師可帶領學生從生活實際出發，從中提煉相關數學知識，并引導學生用數學的眼光觀察、用數學的思維思考、用數學的語言表達這個現實世界，從真正意義上發展學生的數學抽象素養，幫助學生建立模型. 從代數的角度來看，它的本源就是運算，而運算規律又是揭露代數本質的基礎. 關于基本不等式的證明與應用，離不開邏輯推理、數學抽象、數學運算、直觀想象與數學建模素養的支撐，因此本單元教學對發展學生的數學核心素養具有舉足輕重的作用.

■ 理解學生，設定單元課時目標

教學目標是教學的靈魂，任何教學活動的開展都以教學目標為導向，同樣貫穿教學過程始終的教學評價也以教學目標為依據. 因此，教師設計單元教學目標時，不僅要對單元教學內容做好分析與規劃，還要以發展學生的數學核心素養為導向，通過各種方法充分了解學情，綜合考慮知識結構特點、邏輯順序以及學生的實際認知水平、心理發展規律等. 值得注意的是單元教學目標與課時教學目標需保持一致，讓每一個課時教學目標都指向單元教學目標.

1. 學情分析是制定教學目標的前提

學生在初中階段已經掌握了與本單元相關的一些知識內容，如一次函數與方程、不等式、一元二次方程等，從建構主義的角度來說，這些知識內容都是學生學習的基礎，新知的構建都是在原有基礎上進行的. 另外，學生通過之前的學習具備了良好的數形結合思想、轉化思想等，為本單元的教學奠定了基礎.

雖說學生已經有了一定的知識與思想方法作為學習的基礎，但大多仍停留在記憶或基礎訓練的層次，對知識的整體結構認識不足，沒有從真正意義上理解數學本質. 具體表現在以下幾個方面：①數學建模與數學抽象素養不足，學生難以自主從具體環境中抽象不等式，比如已知b克鹽水中鹽的重量為a克（b＞a＞0），若往鹽水中再添加m克的鹽（m＞0）且完全溶解，則可以抽象出不等式＞，但學生無法自主提煉該不等式. ②用等式的性質來類比不等式的性質時，出現知識的“負遷移”現象，如常見的a=b？圯ac=bc，通過類比獲得a＞b？圯ac＞bc就是不正確的. ③邏輯能力不足導致證明思路不清，具體表現在證明不等式性質的方法或思路上的障礙，以及無法理解等號成立的條件等，致使求解最值問題時錯誤百出. ④數學思想方法的滲透不夠，學生無法從函數的角度將不等式、方程統一起來，解題過程存在思維定式的問題.

2.課時教學目標是完成單元教學目標的基礎

本單元的教學目標包括以下幾方面：①從生活、科學情境的不等關系中“去情境化”，提煉不等式，發展數學抽象與數學建模素養. ②理解不等式的推導與證明過程，熟練掌握其基本性質. ③通過類比、猜想與證明獲得不等式的基本性質，并通過合作交流探尋基本規律，掌握證明不等式的比較法、分析法與綜合法. ④在探究活動中發展邏輯推理能力，并在數學美的體驗中培養學習興趣，發展核心素養. ⑤基于基本不等式的證明過程理解其幾何意義，提煉數形結合思想、轉化思想等，并能自主應用基本不等式解決一些基本問題. ⑥理解基本不等式成立與等號成立所需的條件，并能應用基本不等式解決一些簡單的問題，如函數最值問題等，感知基本不等式的實際應用價值. ⑦激發課堂參與意識與學習內驅力，形成良好的探究習慣. ⑧在類比中感知通過函數的觀點統一方程的數學思想. ⑨借助函數圖象獲得求解一元二次不等式的常規方法，滲透函數與方程、數形結合等思想，提升數學運算與直觀想象等素養.

有了明確的單元教學目標后，課時教學目標就可以“對號入座”. 筆者認為，本單元可分成7個課時授課，上述9個目標可對應到每一個課時中去，從真正意義上發展學生的數學核心素養.

■ 理解教學，實施單元課時教學

單元教學講究的是有序性與整體性，無論是從單元到課時，還是從整體到局部，邏輯清晰地實施教學是實現單元教學目標的基礎. 教學實施時可通過問題串（明線）與思維過程（暗線）兩條主線構建知識的內在邏輯關系.

以“等式的性質與不等式的性質”這個課時教學為例.

1. 開門見山，直切主題

課堂伊始，教師提出：等式與不等式常用來表示生活中一些相等與不等關系，等式的性質可用來解方程，如果要解不等式，該怎么辦呢？不等式的性質該怎樣探究呢？

師生積極互動，總結出等式與不等式的作用都是用來刻畫事物大小關系的，通過類比等式的性質可獲得不等式的性質，因此本節課的教學重點就在于整理等式的性質，通過對其蘊含的思想方法的研究來探索不等式.

設計意圖 由于學生對這部分內容有一定的基礎，因此教師選擇開門見山的方式引導學生明確本節課研究的主題與方法，為接下來的教學做鋪墊.

2. 問題驅動，類比分析

問題1 等式的性質有哪些？

學生先獨立思考，然后通過合作交流，梳理總結出以下性質：①若a=b，則b=a；②若a=b，b=c，則a=c；③若a=b，則a±c=b±c；④若a=b，則ac=bc；⑤若a=b，c≠0，則=.

問題2 觀察等式的性質，提煉等式性質所蘊含的共性.

學生在觀察與思考的基礎上交流，必要時教師給予引導與點撥，最終形成結論如下：前兩個性質說明了相等關系所具備的傳遞性與對稱性；后三個性質則從運算的角度反映了等式的不變性，如可加減性等.

設計意圖 讓學生通過思考，自主梳理等式的性質以及共性，為不等式的探索夯實基礎.

問題3 類比等式的性質，猜想不等式的性質. （要求學生列表對比）

問題4 思考證明不等式的性質基礎知識.

問題5 能否自主證明不等式的性質？

師生積極互動，學生先類比猜想，列表分析，然后周密論證，互相交流證明方法.

設計意圖 此環節意在引導學生親歷邏輯推理的過程，讓學生感知數學證明的嚴謹性、邏輯性與科學性等特性，充分體驗每一個猜想都要去驗證，而驗證的每一步也要有理有據、思路清晰，這是培養學生科學精神的基礎.

問題6 以類比猜想的方式將表1補充完整.

問題7 現在請大家驗證自己類比猜想而來的不等式的性質，若是假命題，請適當添加條件使之成為真命題.

學生先合作交流，再展示、評價、完善，最終形成完整的結論.

設計意圖 引導學生親歷不等式性質形成的過程，使學生進一步體會運算的規律性與不變性等特性是研究不等式的基礎，此過程同時具有發展學生邏輯推理與數學運算等素養的作用.

3. 例題講解，學以致用

例題：若已知a＞b＞0，c＜0，請證明＞.

變式題：若已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，請證明＞.

設計意圖 此為不等式性質的實際應用問題，意在強化學生的證明思路，即由因導果與執果索因，發展學生分析與解決問題的能力.

4. 歸納總結，提煉升華

課堂尾聲，要求學生思考以下幾個問題：①本節課學習了哪些內容？②探究不等式的性質時經歷了哪些過程？應用了哪些方法？③本節課涉及哪些數學思想？

設計意圖 帶領學生從數學知識、數學方法與數學思想三個方面對本節課學習的內容進行回顧與總結，發展學生的“四基”與“四能”.

總之，在“三個理解”的基礎上設計單元課時教學，不僅能有效提高教學效率，還能有效發展學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養. 隨著新課改的推進，單元整體教學的研究方興未艾. 作為一線的數學教師應積極思考、深入探究、大膽創新，從真正意義上提升教學成效，發展學生的數學核心素養.