恰當運用反例教學 提升數學教學質量

［摘" 要］ 教學中合理運用反例不僅可以幫助學生鞏固和深化基礎知識，還可以幫助學生積累活動經驗，提高學生的思辨能力. 研究者從反例的教學功能及構造方法兩方面探討其價值，以期有效提高教學質量和學習品質.

［關鍵詞］ 反例；教學質量；學習品質

作者簡介：曹文慧（1987—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學，海門區教壇新秀.

反例是高中數學教學的重要教學手段之一，在鞏固和加深概念、定理的理解，發展學生的逆向思維等方面有著重要應用. 有時證明一個說法，若從正面進行可能需要較長時間，需要經歷比較復雜的過程，此時不妨從反例出發，借助反例進行. 這樣既可以讓學生輕松地理解和接受，又可以給學生留下深刻的印象，有利于提升教學效益. 那么，反例具體有哪些教學功能？如何構造反例呢？筆者結合教學經驗談談自己對反例教學的認識，若有不足，請指正.

■ 反例的教學功能

1. 加深概念的理解

高中數學概念眾多，若教學中一味地采用正例幫助學生理解概念難免讓學生感到枯燥乏味. 因此，在概念教學中，教師可以適當地引入反例，這樣與正例相互呼應更能凸顯概念的本質特征，提高學生學習的積極性.

例如，在教學集合的概念時，教師可以從正例出發，引導學生抽象出集合的三個基本特征——確定性、互異性、無序性. 為了加深學生對這三個基本特征的理解，教師可以引入反例讓學生辨析，以促進學生深化概念. 比如可以設計這樣的反例：①很小的小數可以組成集合嗎？②0，2，，lg1是否可以組成集合？學生通過辨析交流，發現前者不滿足集合的確定性，后者不滿足集合的互異性，所以都不能組成集合. 另外，為了使學生理解集合的無序性，在提出正例｛1，2｝=｛2，1｝的基礎上，教師讓學生思考｛（1，2）｝=｛（2，1）｝是否成立. 這樣借助反例不僅可以提高學生參與課堂的積極性，還能克服知識的負遷移，而且通過辨析能夠加深學生對概念基本特征的理解，其效果遠遠優于單一的正例講授.

因此，在實際教學中，教師應從教學實際出發，引導學生從不同角度審視概念，這樣才能充分揭示概念的內涵和外延，幫助學生全面深刻地理解概念.

2. 消除對公式、定理等內容的錯誤認識

在公式、定理、法則等內容的學習過程中，因受定式思維、認知水平等的限制，學生對相關內容可能是一知半解的，進而出現一些“想當然”的結論. 為了改變這一局面，教師可以引入一些反例，以此引發學生認知沖突，讓學生深刻領悟公式、定理、法則等內容的本質，幫助學生消除錯誤認知，促進知識深化.

例如，在教學韋達定理時，為了便于計算，部分教師有時會運用特例開展教學活動，于是學生就有了這樣的錯誤認知：兩根之和為一次項系數的相反數，兩根之積為常數項. 可見學生忽視了二次項系數為1這一限定條件. 在教學中，為了讓學生能夠認識自己的錯誤，教師不妨順勢而為，給出反例，讓學生先求3x2－x－4=0的根，然后代入驗證. 通過驗證，學生容易發現之前的理解存在問題，此時教師再進行有效引導，自然可以達到事半功倍的效果.

其實，在日常學習中經常會出現因忽視公式、定理、法則的應用條件而引發錯誤的情況，教師可以從學生的錯誤出發，巧妙地應用反例進行修正，以此優化學生的認知結構，提高教學有效性.

3. 預防解題錯誤的發生

數學知識間是有密切關系的，因此教師常常引導學生用類比的方式理解知識. 不過因受知識水平、定式思維等的影響，在類比遷移的過程中可能出現負遷移引發的錯誤. 為了避免或減少此類情況的發生，教師可以根據教學經驗設計一些具有說服力的反例，以此幫助學生形成正確的認知，提高學生的解題正確率.

例如，在學習臺體時，學生容易將梯形知識遷移至臺體中，從而得到“臺體中截面的面積等于臺體上、下底面面積和的一半”. 為了預防這一錯誤認知的發生，教師可以給出這樣一個實例：“圓臺上、下底面的半徑分別為1 cm，2 cm，請分別求出該圓臺上底面、中截面、下底面的面積.” 學生得到答案后，教師讓學生思考臺體中截面的面積是否為臺體上、下底面面積和的一半. 這樣親歷辯證過程，可以有效避免負遷移的發生，此時教師再給出三者（臺體上底面、中截面、下底面）的關系自然可以給學生留下深刻的印象.

其實，負遷移是普遍存在的，它是寶貴的教學資源，若教學中能夠合理地呈現出來，則可以幫助學生形成正確認知. 在教學中，教師要充分挖掘可能出現的負遷移，通過有效的啟發和引導，幫助學生消除錯誤認知，提高課堂學習效率.

4. 培養學生的數學思維能力

培養學生的數學思維能力是數學教學的重要任務之一. 在教學中，合理應用反例可以提高學生分析和解決問題的能力，培養思維能力的嚴謹性和深刻性.

例如，學生有時容易因忽視分類討論而引發錯誤，教師可以將學生易錯的問題改編成反例，通過對反例的探究修正錯誤，培養學生思維的縝密性. 如教學等比數列求和公式后，教師給出了這樣一個問題：“求sinα+sin2α+sin3α+…sinnα的和.”從學生的解題反饋來看，大多數學生直接套用等比數列求和公式求解，顯然忽視了sinα=0和sinα=1的情況. 此時教師啟發，不僅可以幫助學生修正錯誤，而且促使學生重視等比數列分類條件，有利于提高學生思維的縝密性.

在教學中，為了讓學生更好地理解知識、應用知識，教師可以根據教學實際預設“陷阱”，充分暴露學生在運用知識中經常出現的錯誤，通過多角度分析和全方位探究幫助學生形成正確認知，提高學生分析問題的能力，發展學生的數學思維能力.

■ 構造反例的方法

應用反例教學可謂是好處多多，因此反例的構造尤為重要. 對于如何構造，筆者淺談幾點拙見.

1. 巧用“疊加”構造反例

許多數學元素“疊加”依然可以獲得同一元素，如兩個多項式相加，其和依然是多項式；兩個偶函數相加，新函數依然為偶函數. 但是在許多情況下，不能獲得同一元素. 在教學中，教師可以巧用“疊加”構造反例，讓學生通過探索反例來克服學習中的“想當然”.

如學生通過“疊加”得到了這樣一個結論：兩個無理數相加，其和一定是無理數. 此時教師可以給出反例：“若m=2+，n=2－，則m+n=？”這樣借助反例，輕松驗證以上結論并不成立.

2. 巧用“分類討論”構造反例

分類討論是重要的數學思想方法，學生解題常因忽視分類或分類不全而引發錯誤. 教師可以從教學實際出發，抓住分類條件，在關鍵點設計反例，借助反例促進學生理解知識.

3. 巧用“特殊”引出反例

為了發現數學規律，得到數學結論，教師往往引導學生從特殊問題入手，通過特殊問題的抽象，發現一般規律，獲得正確的解題途徑. 特殊與一般既相互對立，又相互聯系. 教學中要充分利用好“對立”與“聯系”的關系，借助“對立”讓學生知道特殊中的一些關系和結論在一般情況下并不成立，引導學生用“特殊”否定“一般”；借助“聯系”讓學生發現特殊中的一般規律，形成一般結論. 教學中可以利用“特殊關系”設計反例，由此引發學生深度思考.

例如，判斷“若原函數與其反函數的圖象有交點，則其交點必在直線y=x上”這一命題是否成立，從正面出發直接證明比較煩瑣，而從特殊出發，舉出一個反例就可以使問題迎刃而解——通過反例可以輕松證明，兩函數的交點還可以在直線y=－x上，所以該命題是假命題. 特殊法在解題中有著重要的應用，不僅可以提高學生的分析能力，還可以發展學生的逆向思維能力.

反例無論在知識體系的建構上，還是在解題能力的提升上都有著重要作用. 在教學中，教師要從教學實際出發，在一些障礙點、錯誤處引入反例，以此促進知識深化，提高教學質量和學習品質.