“五I”理論下三角函數概念教學的重構與思考

［摘" 要］ “五I”理論是一種以人為本、以自由觀為基礎的理論創新. 基于“五I”理論的教學可以引導學生循著信息、興趣、質疑與直覺，沉浸于課堂，進而推動核心素養落地與智慧課堂構建. 文章基于“五I”理論內涵的分析，以“三角函數概念”為載體，初步構建“五I”教學模式，并針對課堂實施提出一些教學思考.

［關鍵詞］ “五I”理論；三角函數；教學模式

作者簡介：邵海賢（1998—），揚州大學碩士研究生，研究方向為中學數學教育.

■ 問題提出

三角函數作為函數的下位概念，它對于深入理解函數本質，培養學生抽象、嚴密的邏輯思維起著舉足輕重的作用. 可見，將三角函數概念的研究植根于高中數學課堂是非常有必要的. 對于三角函數概念的學習，一方面三角函數與其他基本初等函數存在較大的差別，學生難以運用現有經驗來應對；另一方面三角函數概念具有高度抽象性與復雜性，加上大多數教師緊盯高考指揮棒，注重對學生單向度的智力教育，缺乏對學生人格與情感的培養，致使學生在學習三角函數內容時力不從心. 那么，如何幫助學生認識三角函數的本質，發現不同函數的特性與共性？怎樣在學習三角函數概念的基礎上，體驗概念的抽象性，增添課堂的藝術感，進而提高學生的數學思維水平？這都是值得我們深思的問題.

張楚廷先生在多爾“四R”課程模式和泰勒原理的基礎上，提出了“五I”課程構想，這是張楚廷先生在人本主義哲學思想和教育公理思想層面的積淀［1］. “五I”課程構想的研究核心在于改造科學本位主義、社會本位主義課程觀，厘清源于人、為了人、屬于人、發展人的“人的課程”［2］. 這一理論發人深省. 為了更好地進行概念化教學，本文以三角函數概念課為例，在“五I”課程理論的指導下，以學生為核心初步構建智慧課堂，為后繼教學提供借鑒.

■ “五I”的基本內涵與教學模式

1. “五I”的基本內涵

張楚廷先生認為，教師教學與課程編制要以人本主義思想為中心，注重學生信息（Information）、興趣（Interest）、質疑（Inquiry）、直覺（Intuition）與智慧（Intelligence）的培養與獲得，即“五I”.

（1）信息（Information）.

知識是信息，但信息寬于知識，教師的情意、期待、信念、信仰等都可作為信息傳遞.信息具有泛文本性，存在形式多樣，它既有命題，又有運作；既有文字符號的，又有非符號的；既可以是局部線性的，又可以是非線性的……［3］此外，信息亦具有超結構性，其結構成分周圍的歷史、文化、精神的超元素都是信息. 因此，從廣義上講，教師傳授給學生的不僅僅是知識形態的信息.

（2）興趣（Interest）.

興趣先于意志，濃烈的興趣能生成堅忍的意志，意志的支撐還會滋生新的興趣，從而導向創造.興趣是志趣、情趣，與美學緊密相連，可以讓學生真切體驗并投入課堂.美學是創造興趣最基本的牽引力，“人根據美的規律塑造”自己. 興趣不可能脫離信息單獨存在與發展，也并不自然存在于信息之中，它的融入需要課程實施者的深思熟慮.

（3）質疑（Inquiry）.

質疑甚于傾聽，與確信相伴增長，沒有質疑的確信，那便是無價值、低層次的確信.質疑本在學問之中，不是表面化的表演與熱鬧，而是沁人肺腑的爭鳴與發問. 封閉的思維會扼殺質疑，顛覆性的反思才是滋生質疑的源頭活水. 課程應當避免文本的邏輯化、形式化，創設質疑生成的環境，讓學生嘗試發問，嘗試質疑，嘗試解決問題.

（4）直覺（Intuition）.

直覺是與生俱來的獨特能力，后天培植的邏輯僅是直覺的梳理器、健身法［3］，直覺與邏輯是科學的雙翼，但直覺重于邏輯，有了直覺，邏輯才會在天賦的土壤中結出碩果.重大的自然科學源于直覺，這是直覺的開拓性.直覺的表現形式沒有固定的模式，對于直覺的培養，后現代課程觀尤其看重隱喻的作用，隱喻可以提供直覺生成的載體，能夠促使體驗的產生，從而容納直覺.

（5）智慧（Intelligence）.

智慧通常被視為才智、聰明、智力等，但是智慧高于聰明，高于才智.它是指智性智慧、理性智慧與道德智慧的協同發展.智慧尚知、尚智、尚思，會使人更理性、更崇高. 學生獲得知識不一定就能開發智慧，而學生獲得智慧便可以獲得知識.智慧的發展需要建立于思維之上，離不開思維與認知的啟動，是超思維的；但理性智慧、道德智慧的實現還需要體驗，需要知、情、意的全面融合.？搖

“五I”要素間是相互聯系、綜合體現的，它們沒有絕對固定的先后順序. 其基本關系可以借助圖1來描述.

“五I”要素的有機配合構成了一個活生生的“人”. 信息是人賴以生存的土壤與環境，滋養著人的成長；興趣是人的心靈，是人發展的核心動力；直覺和質疑是人的雙腳，是人發展的雙輪驅動器；智慧是人的頭腦，是人達到的終極目標.

2. “五I”理論下的教學模式

“五I”指向教育公理理論下人本主義智慧人的結構層面. 強調“五I”驅動的課堂，教師不能停留于忠實執行者的身份上，需要運用自己的專業知識，滿懷情感與意志去改造、創生課堂. 基于“五I”理論與核心素養，構建了具有學科特點的課堂教學模式，如圖2所示.

鑒于對三角函數內容特點的把握以及“五I”理論結構的分析，落實基于“五I”理論的教學設計模式，教師需從現實層面剖析學生的知識掌握現狀與情感狀況，以準確把握學生的學科基礎、素養水平以及學習情感趨向，進而結合教學內容組織規劃教學目標，真正實現以人為本的教學.

第一，依托最近發展區，開拓學生的思維. 在解決任務時通過方法引領，促使學生順利完成任務并達到發展的可能性領域.這正是蘇聯心理學家維果茨基所倡導的最近發展區教學范式，其核心是指學生獨立解決問題的實際發展水平與在成人指導下或與更有能力的同齡人合作解決問題所決定的潛在發展水平之間的距離［4］. 最近發展區是開拓學生思維的有力抓手.基于最近發展區的教學能夠誘發潛在能力（新心理機能）的產生，而實際能力（成熟心理機能）往往借由社會性合作活動獲得. 社會性合作活動通過改變各種心理機能之間的關系與聯結方式，使個體的心理結構重建，達到學生潛在的學科能力與素養水平. 最近發展區理論的滲透能夠有效促進個體思維的拓展與突破，從而讓自身實現由“不能”到“能”的進階性轉變.

第二，立足問題導向，探求知識本源. 哈爾莫斯認為“問題是數學的心臟”. 顯然，沒有問題支撐的教學，是無意義的教學. 如何設置問題，如何激發問題，是問題導向課堂的關鍵，也是教師教學的藝術所在.問題導向是創造性人才培養與造就的中堅力量.“好問題”關注知識與技能目標的切實達成，挖掘知識本質，揭示數學思想與方法，讓學生基于特定問題情境形成思路，并歷經思維碰撞的認知過程來實現自我建構，學會“數學地”思考，進而促進高階思維深度發展與數學學科核心素養有效落實.

第三，注重整體關聯，建構知識體系. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》在實施建議中指出：“整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展.”［5］可見，在新課改形勢下，“為素養而教的整體性教學”已是大勢所趨. 有效促進核心素養落地的整體教學方式引起了許多教育者的廣泛關注. 過往零散的課時教學割裂了數學知識間的內在關系與思想方法，導致知識的碎片化、淺表化，不利于學生對數學知識的全面理解. 整體性建構注重教材內容的結構化整合，強調知識間的互通性，促進學生深度參與和整體感知，有助于學生構建邏輯連貫的思維過程，把握數學知識的實質與意義，從而站在系統高度洞悉知識間的關聯性，實現有意義的學習.

■ “五I”理論下的三角函數的概念教學

1. 依托最近發展區，開拓學生的思維

以上節“任意角”的概念內容為基點展開三角函數的概念教學.借助幾何畫板的動態演示，回顧任意角的推廣過程，并提出以下問題.

問題1 如圖3所示，觀察點P的變化，生活中有哪些類似情境可以借助此模型來描述？

追問1：怎樣刻畫點P的位置變化？

追問2：如圖4所示，角α的變化引起了哪些量的變化？

設計意圖 以章節典型的圓周運動為研究背景，統一的情境為學生學習三角函數內容建構了整體性認識.從學生的最近發展區著手，在教師的引導與帶領下，感知任意角周期性變化的共同特點，直覺聯想類似的變化模型（比如摩天輪、水車），將三角函數與現實生活緊密相連.而后，通過觀察角的變化情況，在喚醒與函數內容相關認知基礎的同時，引導學生將關注點由形的角度轉至數的形態，為后續內容的學習奠定基礎.

2. 立足問題導向，探求知識本源

問題2 能否建立一個數學模型具體描述點P的變化情況呢？

學生思考后，教師引導學生建立如圖5所示的數學模型，并指出：為了方便起見，以最簡單的圓，即單位圓，作為模型載體進行探究.

問題3 三角函數的本質是什么？

追問：初中學習的銳角三角函數與任意角三角函數的定義有什么聯系嗎？你能否用今天所學的三角函數的定義解決以下問題？

設α是一個任意角，它終邊上的任意點與原點O不重合，點P（x，y）與原點之間的距離為r，證明：sinα=，cosα=，tanα=（x≠0）.

設計意圖 質疑是實現深度學習的基本途徑之一，也是問題探究的價值所在. 本環節設計問題鏈，借助問題驅動課堂教學，鼓勵學生獨立思考、合作探究，運用自己的語言描述三角函數的概念，了解三角函數的本質特征.問題是一種信息，學生發問、發省也是一種信息，教師將這些信息視為有效的課堂教學資源加以利用，激發學生的興趣，使學生深切體會“問題—方法—方法論”的思維發展過程. 此外，類比函數的研究過程，既激發學生的探索精神與研究興趣，促進學生數學思維的發展，又帶領學生重溫先驗知識，從先前的利用銳角三角函數求特殊角的三角函數值，走向借助平面直角坐標系求任意角的三角函數值，深度體現知識的“再創造”.

3. 注重整體關聯，建構知識體系

問題4 通過本節課的學習，你有哪些收獲呢？能否依據自己的理解把今天學習的內容與以往的知識聯系起來？

為了讓學生進一步理解三角函數的概念，教師引導并輔助學生建構知識框圖（如圖6所示）.

設計意圖 三角函數是描述現實世界中周期現象的一種數學模型.為了三角函數概念的構建，我們把角的概念推廣到了任意角，而且引進了弧度制. 在弧度制下，角的集合與實數集R之間就建立起了一一對應的關系. 刻畫三角函數的實際意義與價值，可讓數學與自然界聯系得更加緊密. 數學知識的整體建構讓學生從新的視角再認識三角函數，加強學生對三角函數知識的理解與把握，從而推進智慧人的完美實現.

■ 教學思考

“五I”教育是一個復雜的過程，涉及學生情感與認知的綜合發展. 在實踐層面，“五I”理論的有效落實并非易事，我們應當積極探索“五I”教育的發展路徑，為學生自由而又獨特地成長做好充足準備.

1. 以“五I”理論為錨點，創設素質教學新空間

“五I”要素緊密相連，可以根據特定的教學需求進行組織.基于“五I”理論的教學，不僅要注重學生認知能力的訓練與培養，更要注重直覺與情感的投入，倡導整體的、學生全身心參與的課堂. 本節課把信息、興趣、質疑、直覺及智慧五個要素協調融入，以智慧目標為引領，遵循學生的直覺，鼓勵學生質疑、發問，將問題、反饋以及情感意志等多種形式的信息作為課堂教學資源，帶動整個探究過程，使學生的思維、情感、智力等多方面得到和諧發展. 在“五I”理論下，要創設素質教學新空間，教師必須熟練掌握“五I”理論，并將其靈活地應用于課堂，全面了解不同信息的使用狀況，明確各種信息的特性，聚集不同要素的特點，以及各要素在素質教學空間建設過程中所發揮的優勢，從而有效連接外界環境與內部課堂，促使教學空間多元化.

2. 設計開放性問題，激活學生思維動力

涂榮豹先生曾經指出：啟發探究最重要的就是要在教學中盡可能多采用一些元認知問題，少采用一些認知性問題，即要通過提高問題的開放性來激發學生探究的積極性［6］. 因此，在構建新型教學體系時，應沖破傳統的教學模式，抓住問題的發散點和學生思維的關鍵點，以開放性問題為中心，滿足學生獨立思考和自主探究的需求，幫助學生啟動封閉的思維，打開緊鎖的思想，從而建立具有廣闊思維空間的教學環境. 同時，在開放性問題的解決過程中，學生會從多重視角思考問題，深入理解數學知識本質，領悟數學思想方法，促進高階思維能力的綜合提升. 在概念探究環節中，教師通過設置“能否總結一下求解任意角的三角函數值的步驟？”及“初中學習的銳角三角函數與任意角三角函數的定義有什么聯系嗎？”等開放性問題，既可以引導學生主動思考與探索，又能提高學生分析與解決問題的能力.

3. 聚焦知識整體結構，發展結構化思維

“五I”教育時代，教學活動更加注重靈活和自由，因此推動學生的自主思考與建構很顯得尤為必要. 課堂小結是促使學生構建知識內在體系，激發結構化思維的關鍵載體. 布魯納曾說過：“掌握事物的結構，就是以使許多別的東西與它有意義地聯系起來的方式去理解它．”數學知識體系并不是知識點與概念的機械羅列，而是由知識之間的內在聯系構成的邏輯結構體系［7］. 本環節旨在體現學生的主觀能動性，通過對數學知識進行思維重組，注重知識的整體結構與內在關系，根據知識點與概念的邏輯關系建立知識體系，使知識結構化、系統化. 在這一階段，學生可以運用自己的語言表達觀點，分享建構經驗，提高與發展語言表達能力與結構化思維能力.

4. 建立“五I”評價體系，保障教學活動的有效開展

基于“五I”理論的教學系統的運轉，需要特有的評價體系作為保證. 同時，評價體系要發揮到一定的強度，才能支撐教學活動的改善與進步. 就此而言，要改變教學現狀，建構屬于“五I”理論的教學系統，就要有意識地推動“五I”評價體系的創建. “五I”評價體系是“五I”教育的靈魂，它是教師根據“五I”理論與學生的特點提煉創建的，具有獨特的優勢. 在教學中，教師應有意識地根據教學目標展開教學，在“五I”理論為依托的評價體系中發現教學問題，正是這些多樣的問題，才有利于教師捕捉教學中的不足，引發深度思考，不斷總結反思，從而促進學生智慧的生成. 為了更好地完成基于“五I”理論的教學，筆者構建了一個“五I”教學評價標準（如表1所示）.

“五I”教育的持續滲透給數學教學帶來了諸多挑戰，推動著教學體系的更新與發展. “五I”教育是智慧課堂建設的出發點和歸宿，以人本性信息為載體，依托興趣與直覺，憑借體驗溝通心靈的同時，通過對傳統教學方式的改造、協調與統整，營造適宜調動學生個性化表達與開拓思維空間的教學環境. 因此，倡導“五I”教育，建構一種具有良好主體間性的課堂，有助于教師基于素養指向下，革新教學觀念，改變教學模式，促進教師專業的發展，也有助于形成一個立足興趣、尊重直覺、廣泛質疑、智慧至上的教學場地，從而實現育人價值.

參考文獻：

［1］ 劉陽科. “五I”課程觀：基于教育公理的課程構想［J］. 湖南科技大學學報（社會科學版），2015，18（06）：169-175.

［2］ 劉陽科. 人的課程：張楚廷五I課程思想研究［D］. 湖南師范大學，2015.

［3］ 張楚廷. 課程的“五I”構想［J］. 課程·教材·教法，2003（11）：5-9.

［4］ Wertsch J V.The zone of proximal development：Some conceptual issues［J］. New Directions for Child and Adolescent Development，1984， 1984（23）：7-18.

［5］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［S］. 北京：人民教育出版社，2018.

［6］ 楊勇. 用問題驅動探究 讓結論自主建構——以“導數在研究函數單調性中的應用”為例［J］. 數學通報，2019，58（04）：46-50+53.

［7］ 李建華，胡軍. 基于數學高階思維培養的中考數學專題復習課架構——以“相似三角形”專題復習課為例［J］. 數學通報，2022，61（06）：42-48.