“等比數列的前n項和公式”推導的教學分析與思考

數學教學不僅要關注學生對“四基”的掌握情況，還要注重學生在學習過程中能力與素養的提升. 隨著新課改的推進，如今的高中數學教學更注重學生在課堂中的主體性地位. 如何突破限定的教學目標，立足學生個體的發展進行課堂教學，是新課標對一線教師提出的新挑戰. 本文以“等比數列的前n項和公式”的推導為例，具體談談如何順應學生的思維促進個體的發展.

■ 教學分析

“等比數列的前n項和”是高中數學重點教學內容之一. 本節課的教學重點與難點為等比數列的前n項和公式的推導過程與簡單應用. 這部分內容承接了數列的概念以及等差數列等知識，是后續數列求和與數列極限教學的基礎［1］. 等比數列的前n項和公式的推導過程與方法，于學生而言確實比較抽象，教師如果直截了當地呈現“錯位相減法”，那么就脫離了學生的認知基礎，顯得過于突兀.

波利亞認為，脫離學生認知基礎的教學，就如同帽子里面突然出現一只兔子一樣荒謬. 證明若缺乏合理的目的、步驟與動機，則讓人難以理解，從論證與創造的角度來看，顯得毫無意義. 因此，我們應站在學生的立場，從學生的角度出發，結合學生的最近發展區，通過稚化思維的方式幫助學生重建思維，從真正意義上突破教學重點與難點，增強學生的理解能力.

■ 教學實錄

1. 創設情境

如何將知識的獲取過程變成一件快樂且有意義的事情，是新課改背景下值得思考的問題. 創設一些學生感興趣的情境，常能有效驅動學生的探索欲，讓學生對知識產生一定的研究興趣. 本節課，筆者結合學生的興趣與教學內容的特征，引用古印度國王獎勵國際象棋發明者的故事，順著學生的思維提出幾個實效性問題.

情境：古印度有一個人發明了國際象棋，得到了國王的賞識，國王打算給他一些獎勵，便問他想要什么. 這人沒有要金銀財寶，而是要求國王根據棋盤格子給他麥子，具體規則為：在棋盤的第1格里放1粒麥子，第2格里放2粒麥子，第3格里放4粒麥子，以此類推，后一格子里的麥粒數量都是前一格子里的2倍，已知棋盤共有64個格子. 國王聽了這個要求，覺得非常合理，便一口答應了. 請大家幫國王想一想，一共要給這人多少粒麥子？

這是一個經典故事，引用這個故事作為情境除了激發學生的探究興趣外，還能為課堂增添一絲數學文化氣息，讓學生感到數學與生活的緊密聯系，且故事情節與本節課的教學內容有所關聯，符合教學需求. 同時，與生活相關的故事，也能讓學生體會到數學學習的實用性，為增強學生的生活能力奠定基礎.

2. 組織探究

面對以上情境，學生很快就進入了思考階段.

生1：這個問題與我們之前接觸過的細胞分裂問題有著異曲同工之妙，但也有些區別. 區別主要在于每個細胞分裂成兩個細胞后，本身就沒有了；而這里所涉及的棋盤格子里的麥粒數量并不會消失，計算時需要將每一個格子里的麥粒數量疊加上去，這么來看的話就是第1格里1粒，第2格里2粒，第3格里4粒，第64格里263粒，總量為1+2+22+…+263（粒）.

師：非常好！沒想到你們能這么順利地完成第一步——“列式”，接下來就是獲得這個式子的答案了. 請大家大膽猜想一下這個式子的答案是多少.

學生熱情高漲，答案千差萬別. 學生基本上都沒有經過計算，而是直接喊出10億、100億、1000億等.

師：現在請大家思考一下，該如何用這個公式去求一個等比數列的前n項和？

生（齊）：直接套用公式就可以啦.

師：直接套用公式時，有什么值得注意的地方嗎？

生15：需要注意公比q的值，按照其是否為1的情況進行分類討論.

師：不錯，我們所獲得的這個公式還有其他作用嗎？

（引導學生通過對公式的觀察，發現“知三求二”的方法）

5. 實際應用

師：現在我們再次回到初始問題中去，大家算一算棋盤64個格子里究竟有多少粒麥子呢.

生（齊）：一共有（264－1）粒.

師：若1000粒麥子的重量為40克，2.5×107粒麥子的重量為1噸，你們能計算出64個格子里麥粒的重量嗎？

學生用計算器計算，很快就算出64個格子里麥粒的重量為7378億噸，這個數量讓學生嘖嘖稱奇.

師：據調查，那個時期世界年度小麥產量還不足6億噸，顯然這位古印度國王無法兌現承諾.

■ 教學思考

1. 關注認知經驗，落實教學起點

奧蘇貝爾認為，影響學習的最重要因素是學生已經知道了些什么，教師首先要探明這一點，才能因材施教. 確實，利用適當的教學方式，引導學生在當前所擁有的認知基礎上進行新知教學的引導是實現意義學習的有效策略，也是學生對新知與舊知建立聯系的關鍵.

實踐證明，從學生原有認知結構出發，以學生的認知經驗為教學起點，是實施新知教學的基礎. 教師可通過情境的設置，喚醒學生原有的認知經驗，為新知與舊知搭建橋梁，以促進學生更好地建構新知.

本節課伊始，筆者引導學生從感興趣的故事情境出發，讓學生從特殊的等比數列求和著手進行分析，課堂沿著學生的思維順流而下，順利將學生帶入公式的推導中，并在學生原有的認知經驗中探尋新知的生長點，不斷增加新舊知識間的層次，以縮小師生間思維的落差，讓教學過程變得更加自然、流暢.

2. 注重思維方式，實施探究活動

任何教學活動的開展都是基于學生認知水平而展開的，因此活動設計應從學生的思維方式著手，從學生的實際認知經驗與思維特點出發進行設計［2］. 為了能順應學生思維發展的規律，設計出契合學生思維的課堂教學方案，需教師在對學生充分了解的基礎上實施教學.

想要充分了解學生的思維，除了站在學生的立場思考問題外，還應通過課前測試、訪談等方式來熟悉學生的真實認知水平，只有從真正意義上做到“知此知彼”，才能“百戰不殆”. 教師一旦達到“學生化”后，就能將“教”與“學”有機地融合成一體，從而有效促進學生對新知的理解與建構.

本節課，教材直接呈現公式，但這個公式是如何得來的呢？從學生現有的認知水平出發，并不能完全理解. 鑒于此，筆者在教學過程中，創設了豐富的教學情境，激發學生學習興趣的同時引出實際問題，讓學生的思維順著問題而行，使其在不知不覺中想到減項，錯位相減法隨之而來.

在此過程中，學生并沒有感到突兀，而是有一種水到渠成之感. 同時，筆者還引出了兩種接近學生最近發展區的思路：①以等比數列的定義為出發點，通過定理獲得公式；②從項與項的聯系著手，以通項公式為載體，順應學生當前的認知水平與思維狀態，有效建構新知，促進學生知識的生長與思維能力的提升.

3. 立足研究方法，促進個體發展

在教學中，教師切忌以權威者自居，而應將自身原有的知識結構懸置，與學生一起成為新知的研究者. 教師與學生一起探究新知，可從學生的認知經驗出發，想學生所想，疑學生所疑，感學生所感，從而尋找出學生的困惑點，為教學指明方向.

“授人以魚不如授人以漁”，面對學生的困惑，教師可故意表現出與學生一樣的新鮮感，并投以較大的熱情與學生共同探尋問題的結論，拉近師生間心靈的距離. 若學生在解題過程中出現了思維受阻，教師也可以給予適當的點撥，不著痕跡地將學生引向正確的解題思路上，讓學生體驗到自主探索的樂趣. 如此，可讓學生獲得學習信心，從一定程度上激發學習熱情，為后續學習奠定基礎.

總之，教育是一門藝術. 在教學中，教師應結合學生的實際情況與教學內容的特征，科學合理地設計教學方案，俯下身子與學生溝通交流，讓師生在思維上同頻共振，使學生在學習中獲得研究問題的方法，形成“四基”與“四能”，達成“三會”，提升數學學科核心素養.

參考文獻：

［1］ 鮑道斌. 高中數學數列題的解題技巧探究［J］. 數學學習與研究，2019（08）：103.

［2］ 楊翠蓉，周成軍. 布魯納的“認知發現說”與建構主義學習理論的比較研究［J］. 蘇州教育學院學報，2004 （02）：27-31.