多元表征的理論基礎與應用措施的研究

［摘" 要］ 將單一的問題用多種形式表示，可增加學生表征的視角，提高學生的表征能力. 文章從多元表征的理論基礎出發，以“平面向量基本定理”的教學為例，具體從以下四方面展開教學與思考：舊知回顧，設置問題；問題驅動，探索新知；多元表征，完善定理；總結歸納，獲得圖式.

［關鍵詞］ 多元表征；認知負荷；應用措施

作者簡介：李明（1979—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.

多元表征是當前國際數學與教育心理學研究的熱點話題. 實踐證明，多元表征的應用能深化學生對知識本質的理解，增強知識的正遷移，促進學生思維與能力的發展. 多元表征主張通過對問題模式與規則的觀察，將一般問題轉化為具體問題，并應用多種觀點表達同一問題，達到順利解題的目的.

■ 理論基礎

1. 認知模型理論

從信息加工角度來看，數學多元表征是指人腦對表征信息進行提取、加工與貯存的過程，有工作記憶與長時記憶兩個系統（見圖1）. 認知模型理論從認知角度出發，對數學信息進行辨認，一般遵循以下步驟：第一步，信息直接作用到學生的感官，學生初步形成第一階段感知，獲得“感覺記憶”，這種記憶模式儲存時間短，往往幾秒鐘以后就會遺忘；第二步，教師進行適當引導，讓學生形成第二階段的“組織記憶”，信息經過組織形成淺層心象碼與淺層語言碼；第三步，深化學生對信息的理解，促進深層心象碼與深層言語碼的形成；第四步，變換與轉譯表征間的編碼，形成整合碼，獲得工作記憶，而后經過存儲形成長時記憶.

2. 雙重編碼理論

加拿大學者Paivio等人于1970年提出雙重編碼理論，對教育產生了重要影響. 該理論認為，圖象記憶強于文字記憶，若在同一時間呈現同一件事物的言語與非言語信息，和僅呈現一種信息相比較，前者更利于學習者形成言語碼與心象碼.

雙重編碼理論對多元表征具有重要的促進意義，該理論的實證研究給多元表征指導下的教學策略提供了重要方向. 比如我們所熟悉的幾何直觀化、代數化過程等，都可以將文字或語言轉化為直觀可視的圖象，這對學生的學習起輔助作用.

3. 認知負荷理論

20世紀80年代，澳大利亞學者Sweller等人共同提出認知負荷理論，該理論對教育學和心理學領域產生了重要影響. 該理論認為，認知負荷分為內在、外在與有效三種類型.

在認知負荷的啟發下，基于多元表征視角進行教學設計，需要考慮到知識的信息結構，同時還要注意策略的呈現以及無關信息的剔除等，要保證有效認知負荷的產生. 因此，基于多元表征理念的教學設計要著重關注認知負荷情況，盡可能讓認知負荷一直處于工作記憶狀態.

■ 教學分析

平面向量基本定理是向量知識模塊中的重點內容，學生在應用這部分知識解決實際問題時，常出現如下幾種障礙：①從向量本身來看，它存在大小與方向兩種屬性，類比物理知識容易理解，但難以掌握該定理所蘊含的數學思想方法，應用時錯誤百出；②對這部分知識的認識處于靜態，難以進行知識的整合與建構，更談不上應用.

將多元表征理念應用在平面向量基本定理的教學中，能讓學生自主發現問題，體會特殊和一般之間的靈活轉化與化歸，感知數形結合思想等，實現知識的整合與建構.

■ 教學過程簡錄

1. 舊知回顧，設置問題

首先要求學生回顧與平面向量相關的知識，說說當時的學習方法. 在筆者的啟發下，學生表示學過向量的加減法、數乘、向量共線定理等知識，并大致描述了當時的研究方法.

師：之前我們通過向量的數乘獲得了向量的共線定理，明確了一個向量可以表示另一個向量，且兩者可以互相表示. 本節課我們就研究平面內任一向量是否可以由同一平面內的兩個不共線向量表示.

設計意圖 舊知的回顧起到喚醒的作用，讓學生通過有效信息的提取，進行有意義的思考. 筆者從共線向量的關系出發，揭示本節課的探究主題——平面內任一向量可以由同一平面內的兩個不共線向量表示. 這種方法能快速吸引學生的注意力，讓學生自然而然地進入新知的探索.

4. 總結歸納，獲得圖式

本節課的課堂小結，筆者引導學生以圖示的方式進行高度概括、深化整合. 經歸納與總結，學生將本節課的關鍵內容整理如下：

一個定理：平面向量基本定理；

三個特征：任意性、不共線、唯一性；

兩個數學思想：數學方程思想、數學轉化思想.

設計意圖 對一節課的回顧與總結，是學生自主理清知識脈絡、提煉數學思想方法的過程，也是完善認知結構，獲得概念內部心象碼、生成整合碼的過程. 因此這個環節起著重要的承上啟下作用，是后續學習的關鍵.

■ 教學策略思考

1. 信息注意策略

對于平面向量基本定理而言，這是一個復雜且抽象的定理，單一的表達方式不足以引起學生的深度理解. 而多種表示形式的呈現，可引發學生對定理本質的認識. 因此，教師可在教學過程中引導學生對關鍵信息進行提煉、標注，讓學生將更多的精力投入到有意義的信息中來. 如定理講授時，教師先借助PPT展示定理，并要求學生根據文字描述將定理的關鍵性質羅列出來，這屬于信息注意策略的應用.

2. 多元表征策略

在信息打包原則下進行平面向量基本定理的教學，應引導學生從多元表征的角度對定理進行描述，以促進學生對定理非本質屬性的認識. 平面向量基本定理是一個抽象的定理，若僅用一種表征形式根本就無法揭露其本質. 鑒于該階段學生的抽象水平有限，教師在教學時應盡可能向學生呈現多種表征形式，以增強學生的理解程度.

3. 變式教學策略

變式是基于知識本質的訓練方式，與多元表征的本質具有統一性. 本節課的變式應用，不僅讓學生多維度了解了表征對象，還讓學生更好地應用所學知識解決了問題. 這種教學策略，一方面讓學生對教學內容的各種形式有了進一步的認識，另一方面讓學生對知識間的聯系有了研究. 因此，變式應用可以讓學生更深層次地認識平面向量基本定理.

總之，多元表征能幫助學生建構良好的認知結構，激發學生生成整合碼，讓學生對學習內容形成長時記憶，利于后期學習應用. 因此，這是一種值得推廣的教學模式，需要教師用清晰的思路，站到宏觀的角度設計教學，為提升學生的數學學科核心素養奠定基礎.