自主改編問題 提高解題能力

［摘" 要］ 解題的價值并不在于結論本身，而在于研究解題的方法. 自主改編問題能有效激發學生的潛能，發展學生的思維，提高學生研究問題的能力. 文章從兩道原題出發，通過教師的示范，引導學生自主改編問題，并提出幾點思考：教材是自主改編問題的依據；自由發散是自主改編問題的基礎；“以生為本”是自主改編問題的關鍵；自主改編可提高解題能力.

［關鍵詞］ 自主編題；思維；解題能力

作者簡介：王麗君（1989—），本科學歷，從事高中數學教學工作.

改編問題是指遵循一定的原則，將原命題中的條件、結論與圖形等要素進行改編，形成新問題的過程. 它屬于“類”訓練，具有拓寬學生的視野，靈活調動學生的思維，促使學生深化對知識本質的理解，培養學生的創新意識等作用. 在高三復習教學中，將改編問題的任務交給學生，能有效激發學生的潛能，讓學生自主完善認知結構，實現深度學習.

■ 理論基礎

心理學家皮亞杰提出：在教學中，一切真理都應讓學生重新發現并重建. 數學家萊布尼茲認為：用一，從無，可生萬物. 皮亞杰提出的“真理”與萊布尼茲提出的“一”都可以理解為原命題或教材例題，而“再發現”“萬物”則可以理解為變式拓展.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：數學教學要以發展學生的數學學科核心素養為導向，引導學生掌握知識本質，倡導學生通過獨立思考、自主實踐與合作交流等方式形成良好的思維習慣. 在復習過程中，雖然有些知識點學生都知道很重要，但在知識本質的理解與應用上卻總不盡如人意. 放權給學生，鼓勵學生自主改編并解決問題，能有效啟發學生的思維，增進學生思考的深度與廣度，提高其復習效率.

■ 實施過程

1. 初步引導

為了讓學生感知改編問題的樂趣，筆者特地精挑細選出兩道原題，并示范改編思路與過程，讓學生做好心理準備.

原題1 已知點P（2，3）為直線l上的一點，根據下列條件求直線l的方程.

（1）直線l在x，y軸上的截距和為0；

（2）直線l與坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積是16.

原題2 如圖1所示，已知點P，Q分別位于∠A的兩條邊上，∠A為定角，QP為定長. 當P，Q位于哪個位置時，△PQA的面積最大？

由于是帶領學生第一次嘗試改編，筆者對此做了示范（見改編題1和改編題2），并對改編的原因做了詳細的講解. 比如原題1比較簡單，在改編時，可以適當地加大它的難度；原題2相對抽象，在改編時，可以適當地降低它的難度，以通俗易懂為改編方向.

問題3 如圖4所示，某農莊有一個矩形（ABCD）池塘，AB=4，BC=10，點E是池塘AD邊上的一點，AE=2，點P是池塘內漁船的停靠點. 已知點P到AB，BC的距離均是3，CE，BE是池塘上的浮橋. 農莊主人為了充分固定浮橋，準備經過點P的位置再造一座浮橋NM，N，M分別為BE，CE上的點，忽略池塘岸邊的寬度與浮橋的寬度. 假設EM=d，浮橋NM處于什么位置可使△ENM的面積最小？此時d的值是多少？

3. 提煉總結

（1）題型.

上述三個問題都是定點定角類問題. 其中，問題1呈現的是鈍角定角α的正切，點P到兩邊的距離是確定的，這與原題沒有太大差異；問題2從方位的角度呈現了銳角定角θ和定點P；題3的關系稍復雜，對學生的思維要求也比較高，將相關模型藏匿在矩形里，需要學生從相似三角形或勾股定理的角度出發，才能證明問題中的定角為直角.

上述三個問題總結為：根據已知的定角、定直線來求三角形周長或面積的最值.

（2）方法.

數學解題常蘊含一定的技巧與方法，尤其是同一類問題常常存在一定的通性通法. 上述所有問題，雖然圖文有較大差異，但從本質上來看，都屬于同一類問題，因此解題的思想方法自然類似.

解題思路為：①設定角的兩條邊長分別是x，y，應用等面積法可探尋出x，y的等量關系，然后結合基本不等式得到最值. ②建立直角坐標系解題，即假設第三條邊的斜率是自變量，只要能得到三角形另外兩個頂點的坐標，就能順利獲得目標函數解題. ③將前面兩種解法結合在一起，即建立直角坐標系后，通過定角的兩條邊的直線方程引入變量，而后假設三角形另外兩點的坐標，通過三點共線來探尋其中的等量關系，最后用基本不等式得到結論.

綜上分析，后面的兩種解法可以統稱為建系法，歸為同一類進行研究. 解決問題的方法羅列出來后，接下來就是解法擇優的環節. 觀察發現，大部分學生首選等面積法來求解，因為等式比較清晰，而且利用基本不等式計算相對簡單，學生更容易獲得結論. 選擇建系法的學生相對少一些，但建系法的適用范圍更廣.

（3）總結.

面臨一個沒有直接給自變量而求最值的問題時，可從以下幾個步驟著手分析：①明確目標函數；②根據題設條件與圖形特征擇取合適的自變量，刻畫目標函數；③如果存在兩個自變量，要探尋滿足兩個自變量的等量關系；④用最簡單的方法求最值.

當題設條件明確點到直線的距離時，一般情況下從等面積的角度探尋等量關系；當目標函數或題設條件明確“和”“積”的關系時，一般情況下從基本不等式的角度探尋最值. 總體來說，解決這一類問題的原則就是先明確目標，然后想方設法接近目標，直至完成解題.

■ 幾點思考

通過自主改編問題活動的開展，筆者發現，放權給學生，給他們充足的思考時間與空間，往往能帶來意想不到的驚喜. 正如蘇霍姆林斯基所言：給學生留下充足可自由支配的時間，是順利完成教學的關鍵.

1. 教材是自主改編問題的依據

雖說近些年的高考試題越來越靈活，給學生帶來了較大的挑戰，但高考命題一直立足教材，這點是毋庸置疑的，不少試題都能在教材中找到它的“前身”. 因此，教學的首要步驟是引導學生吃透教材，只有在吃透教材的基礎上進行拓展與延伸才是不偏離方向的研究.

布魯納提出：想要將現成的知識變成自己的知識，必須經歷“發現”的過程. 不論高考試題的難度幾何，萬變不離其宗，都能在教材中找出它的身影. 教師帶領學生進行復習拓展時，可從教材出發，引導學生學會利用教材內容進行編題，深化學生對知識的理解，培養學生良好的創新意識.

2. 自由發散是自主改編問題的基礎

既然是讓學生自主改編問題，教師就應充分尊重學生，讓學生有自由發揮的余地. 從微觀角度看，學生的思維方式各異，每一個學生的思維起點、思維發散點均不一樣，他們對選題與編題的思路也各不相同，在這種背景下，學生挑選或改編出來的問題及題型有較大差別.

將這些思維、思路各異的問題集聚在一起，使改編問題的目標、條件、題型等的覆蓋面更加廣泛. 比如上述定角定長類問題，不少學生思考后將問題發散到了直線和圓相切的內容上，經過類似問題的歸納，學生的思維更上一個臺階，顯然自主編題并解題的方式明顯優于刷題或講題.

3. 自主改編問題可提高解題能力

學生在自主改編問題的過程中，很多時候并不能一次成功，尤其改編一些比較復雜的問題時，需要思考的內容較多，既要考慮改編問題的科學性，又要使其符合嚴謹性. 因此，在改編問題的過程中經歷思考、判斷、歸納，不僅使學生學會了甄別問題的優劣，還幫助他們提升了分析問題與解決問題的能力.

將學生自主改編的問題羅列在一起，通過篩選、展示，讓學生不由自主地思考：為什么老師會選擇展示那幾個問題，我改編的問題和展示的問題有什么本質上的區別？學生在反思中深入感知并體悟編題的關鍵與方向，為提高解題能力奠定基礎.

4. “以生為本”是自主改編問題的關鍵

新課標明確強調學生在課堂中的主體性地位，自主改編問題的過程體現了“以生為本”的教育理念. 自主改編問題是學生自主思考、整理的過程，必然經過深思熟慮，所改編的每一個問題都蘊含著學生獨特的見解. 教師放權給學生，讓學生擁有足夠的空間和時間去自主思考，探尋科學嚴謹問題的改編方法，挖掘解題的思想方法.

改編問題是學生展示想法的機會，也是學生升華所學理論的過程，通過對知識點、題型以及解題方法的琢磨與探索，可深化學生對一類或幾類問題的理解程度，發展學生的解題能力與思維能力，培養學生的創新意識，提升學生的數學學科核心素養.

總之，在新課改的背景下，“題海戰術”已經被時代摒棄. 想要有效發展學生的思維，提高學生的解題能力，可從自主改編問題的角度出發，通過各種手段激發學生的潛能，讓學生自主改編新穎、高質量的問題.