落實(shí)核心素養(yǎng)發(fā)展 優(yōu)化學(xué)科育人方式

周鑫森 祝維男

摘 ?要：以“函數(shù)的概念和圖象”一課的教學(xué)為例，在“函數(shù)變量說”的基礎(chǔ)上嘗試用集合和對(duì)應(yīng)的語言定義函數(shù)概念，對(duì)如何在課堂教學(xué)中優(yōu)化學(xué)科育人方式進(jìn)行了探索.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；函數(shù)的概念；學(xué)科育人

一、教學(xué)內(nèi)容解析

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的核心概念之一，函數(shù)概念的形成與發(fā)展凝聚著數(shù)學(xué)家“前赴后繼”的努力. 在“函數(shù)變量說”的基礎(chǔ)上，本節(jié)課嘗試用集合和對(duì)應(yīng)的語言來定義函數(shù)概念.

本節(jié)課是蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章的起始課，是一節(jié)概念課. 學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)會(huì)經(jīng)歷四個(gè)階段：第一階段是在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)了初步的函數(shù)知識(shí)；第二階段為本章即將研究的函數(shù)的概念與性質(zhì)；第三階段是研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等具體的函數(shù)模型；第四階段是對(duì)在數(shù)列、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、概率等內(nèi)容中涉及的函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí). 函數(shù)在物理、化學(xué)、生物等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用. 之后我們還將繼續(xù)研究函數(shù)的表示方法和性質(zhì).

本節(jié)課從初中函數(shù)知識(shí)出發(fā)，利用集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行再認(rèn)識(shí). 重點(diǎn)是從具體情境問題中歸納出函數(shù)的三個(gè)共同要素，建立函數(shù)的概念，讓學(xué)生完成“從事實(shí)到概念”的認(rèn)識(shí)過程.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)“函數(shù)的概念”的要求，確定教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）經(jīng)歷概念構(gòu)建的過程，抽象出函數(shù)的概念，形成函數(shù)概念的基本結(jié)構(gòu)，體會(huì)函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.

（2）通過自主探究、合作交流，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.

（3）通過學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，認(rèn)識(shí)概念發(fā)展的價(jià)值，培養(yǎng)勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神，提高學(xué)習(xí)興趣.

三、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象為江蘇省某高中高一年級(jí)的學(xué)生，其具備較好的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力. 學(xué)生通過初中階段的學(xué)習(xí)，有了一定的函數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等具備一定的處理經(jīng)驗(yàn). 依托具體函數(shù)模型，學(xué)生具備理解“函數(shù)是在一個(gè)變化過程中變量之間存在依賴關(guān)系與對(duì)應(yīng)方式”的能力.

但是初中階段研究的函數(shù)沒有交代自變量取值范圍的習(xí)慣. 學(xué)生之前接觸的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示形式多樣化，但缺乏對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)理解的思維方式. 函數(shù)的概念文字多，包含的邏輯用語多，抽象的概念高度符號(hào)化、形式化，學(xué)生不具備相關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)的理解和函數(shù)概念的抽象形成過程.

為了突破這些教學(xué)難點(diǎn)，本節(jié)課以情境引入增強(qiáng)學(xué)生研究的興趣，用問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生合作交流，展示思維過程. 通過信息技術(shù)輔助實(shí)現(xiàn)抽象內(nèi)容可視化，靜態(tài)內(nèi)容動(dòng)態(tài)化，促進(jìn)學(xué)生理解.

四、教學(xué)策略分析

從教與學(xué)的現(xiàn)實(shí)出發(fā)，確定本節(jié)課采用如下教學(xué)策略.

本節(jié)課以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、概念構(gòu)建過程為主線，以發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、促進(jìn)真學(xué)習(xí)為主旋律. 確定教學(xué)路徑如圖1所示.

[第三次抽象][第一次抽象][第二次抽象][目標(biāo)][明線][暗線][現(xiàn)實(shí)問題][數(shù)學(xué)概念] [情境引入][例證分析][概念辨析][概念應(yīng)用][歸納特征][抽象概念] [圖1]

本節(jié)課采用基于問題串的討論交流教學(xué)模式（如圖2），以問題引領(lǐng)活動(dòng)，課堂活動(dòng)形式多樣，既有個(gè)體的觀察、分析與思考，也有小組的合作、交流與展示.

教學(xué)中關(guān)注學(xué)生在探究過程中暴露的數(shù)學(xué)思維，鼓勵(lì)不同層次的學(xué)生通過多種方式展示自己的觀點(diǎn)，教師及時(shí)給予多元評(píng)價(jià)，提供適當(dāng)?shù)膸椭?

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

根據(jù)本節(jié)課的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和目標(biāo)設(shè)置，將教學(xué)過程設(shè)計(jì)為以下五個(gè)主要環(huán)節(jié). 旨在為學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)概括和領(lǐng)悟函數(shù)概念搭建“腳手架”.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

播放“中國(guó)載人航天工程立項(xiàng)實(shí)施30周年”視頻，彰顯社會(huì)主義建設(shè)偉大成就，激發(fā)學(xué)生探索知識(shí)的興趣，立德樹人.

學(xué)生從視頻中的現(xiàn)實(shí)問題中抽象出三個(gè)數(shù)學(xué)問題，貫穿概念研究的全過程.

【設(shè)計(jì)意圖】通過數(shù)學(xué)史的引入，了解函數(shù)概念發(fā)展的歷程，引出函數(shù)再認(rèn)識(shí)的必要性，明確研究問題的方向.

引言：華羅庚有言，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué).

問題1：觀看視頻，你能從中發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)問題？

師生交流，并提煉出三個(gè)數(shù)學(xué)問題情境，分別為2022年上半年我國(guó)航天發(fā)射次數(shù)的表格，天宮實(shí)驗(yàn)中冰墩墩勻速直線運(yùn)動(dòng)的解析式[s=0.3t，] 以及太陽黑子活動(dòng)次數(shù)的擬合曲線.

【設(shè)計(jì)意圖】引用華羅庚的名言讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)無處不在，生活中處處有數(shù)學(xué).“中國(guó)載人航天工程立項(xiàng)實(shí)施30周年”視頻彰顯了社會(huì)主義建設(shè)的偉大成就.

問題2：以上問題都與數(shù)學(xué)中的什么知識(shí)有關(guān)？為什么？

師生交流：它們都是函數(shù)問題.

追問：初中階段的函數(shù)概念是怎樣表述的？

一般地，在一個(gè)變化的過程中，如果有兩個(gè)變量[x]與[y，] 并且對(duì)于[x]的每一個(gè)確定的值，[y]都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說[x]是自變量，[y]是[x]的函數(shù).

隨后教師向?qū)W生介紹函數(shù)的發(fā)展史.

【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)際情境幫助學(xué)生復(fù)習(xí)初中階段所學(xué)的函數(shù)概念. 通過數(shù)學(xué)史的介紹，不僅讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)概念隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展也在不斷完善，而且使學(xué)生感受到集合概念的出現(xiàn)使函數(shù)的概念又得到了進(jìn)一步發(fā)展，人們用集合和對(duì)應(yīng)的語言來定義函數(shù)可以更深入地理解函數(shù)的本質(zhì)，從而指明研究的手段和方向. 同時(shí)，數(shù)學(xué)史的引入也提升了數(shù)學(xué)的育人功能.

2. 引導(dǎo)歸納，經(jīng)歷過程

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體例證的屬性進(jìn)行分析、比較、綜合. 學(xué)生在類比操作中，逐漸把作用于函數(shù)的操作、各種表示法（箭頭、表格、圖形、符號(hào)、語言描述等），以及作為對(duì)象的函數(shù)，一起內(nèi)化到頭腦中. 在內(nèi)化過程中，始終伴隨著“一般化”活動(dòng)，為后續(xù)抽象出[x→fx]作準(zhǔn)備.

學(xué)生通過歸納三個(gè)實(shí)例中函數(shù)的共同特征，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過程，概括出用集合語言與對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)概念的定義.

需要在學(xué)生已學(xué)“變量說”定義的基礎(chǔ)上，通過實(shí)例歸納概括出函數(shù)的基本要素，建立“對(duì)應(yīng)說”定義這一教學(xué)重點(diǎn)，以及突破“在實(shí)例的基礎(chǔ)上歸納、概括、抽象出函數(shù)的概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”這一教學(xué)難點(diǎn).

問題3：怎樣進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念？

情境1：2022年1月—6月，中國(guó)航天發(fā)射數(shù)據(jù)如表1所示.

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生共同分析月份與發(fā)射次數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具體如圖3所示.

[每一個(gè)[x]

[A=1，2，3，4，5，6]] [（表格）][對(duì)應(yīng)關(guān)系][唯一的[y]

[B=2，3，4，5]][圖3]

情境2：冰墩墩以0.3 m / s的速度勻速前進(jìn)10 s，這段時(shí)間內(nèi)，冰墩墩行進(jìn)的路程[s]（單位：m）與行進(jìn)時(shí)間[t]（單位：s）的關(guān)系可以表示為[s=0.3t.]

學(xué)生在分析情境1的基礎(chǔ)上，歸納出情境2中時(shí)間與路程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖4所示.

[每一個(gè)[t]

[A=t0≤t≤10]] [[s=0.3t]][對(duì)應(yīng)關(guān)系][唯一的[s]

[B=s0≤s≤3]][圖4]

情境3：2010年初至2021年末（依次記作時(shí)刻t = 0到時(shí)刻t = 12）太陽黑子活動(dòng)次數(shù)的擬合曲線，如圖5所示.

學(xué)生在分析情境1和情境2的基礎(chǔ)上，通過交流得到對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖6所示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過分析三個(gè)情境，引導(dǎo)學(xué)生完成三個(gè)層次的抽象：第一層次是由“生活問題”到“數(shù)學(xué)問題”的抽象；第二層次是由“變量（數(shù)）與變量（數(shù)）的對(duì)應(yīng)”到“集合與集合的對(duì)應(yīng)”的抽象；第三層次是對(duì)函數(shù)本質(zhì)的抽象. 為函數(shù)概念的形成奠定基礎(chǔ). 三個(gè)情境的處理方式也有所變化，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律. 通過部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象水平一和水平二. 特別地，第三個(gè)情境中的[B=θ0≤θ≤140]由師生討論、交流確定，既實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)記錄的便利性，也為后面探討值域與集合[B]的關(guān)系埋下了伏筆.

問題4：上述探究中包含了有關(guān)函數(shù)的哪些共同特征？

教師通過PPT展示圖7.

學(xué)生通過小組討論總結(jié)：非空數(shù)集[A][對(duì)應(yīng)關(guān)系f]非空數(shù)集[B.]

特征1：都包含兩個(gè)非空數(shù)集.

特征2：都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系.

特征3：對(duì)于數(shù)集[A]中的任意元素[x，] 按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集[B]中都有唯一確定的數(shù)[y]與之對(duì)應(yīng).

思考：結(jié)合特征，試用集合語言與對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)的概念.

教師在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上完善補(bǔ)充，生成函數(shù)的概念：給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合[A]和[B，] 如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系[f，] 對(duì)于集合[A]中的每一個(gè)實(shí)數(shù)[x，] 在集合[B]中都有唯一的實(shí)數(shù)[y]和它對(duì)應(yīng)，那么就稱[f：A→B]為從集合[A]到集合[B]的一個(gè)函數(shù)，記作[y=fx，x∈A.] 其中，[x]叫做自變量，集合[A]叫做函數(shù)的定義域.

【設(shè)計(jì)意圖】在對(duì)三個(gè)情境的分析和抽象的基礎(chǔ)上，對(duì)三個(gè)情境（數(shù)學(xué)問題）進(jìn)行歸納概括，函數(shù)概念的生成水到渠成.

3. 鞏固理解，嘗試應(yīng)用

概念辨析是獲得概念的必要步驟. 辨析始終圍繞函數(shù)的三要素這個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，聚焦在對(duì)應(yīng)關(guān)系這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)上.

通過具體實(shí)例幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念關(guān)鍵詞的含義，使新概念具有清晰性、可辨別性和可利用性.

問題5：對(duì)于情境1中的問題，如果6月份的發(fā)射數(shù)據(jù)未公布，判斷[f：A→B]是否為集合A到集合B的函數(shù)？

師生活動(dòng)：如圖8，集合A中的元素6在集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng).（強(qiáng)調(diào)“每一個(gè)”.）

追問：調(diào)整對(duì)應(yīng)方式如圖9所示，集合A到集合B的對(duì)應(yīng)是函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：發(fā)現(xiàn)集合A中的元素2在集合B中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).（強(qiáng)調(diào)“唯一的”.）

【設(shè)計(jì)意圖】通過辨析，強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念的語言表述中“每一個(gè)”和“唯一的”對(duì)概念理解的重要性.

問題6：怎樣理解[y=fx]？結(jié)合具體實(shí)例談?wù)勀愕南敕?

師生活動(dòng)：結(jié)合三個(gè)具體情境，表達(dá)對(duì)[f]的理解. 學(xué)生先指出函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，是研究函數(shù)問題的第一步，隨后又明確了三個(gè)具體情境中自變量[x]是如何對(duì)應(yīng)到因變量[y]的. 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師以情境1為例引入函數(shù)機(jī)的模型（如圖10），并帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)機(jī)模型不依賴于具體函數(shù)形式.

【設(shè)計(jì)意圖】通過函數(shù)機(jī)的引入，統(tǒng)一對(duì)不同形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，形成對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

給出函數(shù)值域的定義：若集合A是函數(shù)[y=fx]的定義域，則對(duì)于集合A中的每一個(gè)x（輸入值），都有一個(gè)y（輸出值）與之對(duì)應(yīng). 我們將所有輸出值y組成的集合[yy=fx，x∈A]稱為函數(shù)的值域．

追問：圖11中兩組對(duì)應(yīng)所表示的函數(shù)的值域[C]分別是什么？情境3中，函數(shù)的值域[C]和集合[B]有什么關(guān)系？

問題7：判斷下列各組函數(shù)是否是同一函數(shù)，并說明理由.

（1）[y=x，y=x2;]

（2）[y=x，y= x2x;]

（3）[y=x2，s=t2.]

【設(shè)計(jì)意圖】在給出函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，針對(duì)概念中的幾個(gè)要點(diǎn)，通過設(shè)置具體、直觀的問題讓學(xué)生在問題辨析的過程中理解概念. 在處理方式上，從具體到抽象，不斷強(qiáng)化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng).

4. 組織探究，深化內(nèi)涵

從對(duì)具體函數(shù)的理解入手，在教師的引導(dǎo)和信息技術(shù)的輔助下，學(xué)生逐步突破對(duì)教學(xué)難點(diǎn)“對(duì)應(yīng)關(guān)系[f]內(nèi)涵”的理解. 將具體實(shí)例的對(duì)應(yīng)關(guān)系抽象為“[y=fx，][x∈A]”的符號(hào)表示，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 從具體函數(shù)問題中抽象出一般概念后，再用概念來解釋熟悉的具體函數(shù). 研究它們的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域問題.

例1 （多選題）下列對(duì)應(yīng)是函數(shù)的有（ ? ?）.

（A）[x→2x，x≠0，x∈R]

（B）[x→y，y2=x，x∈N，y∈R]

（C）[x→1，x∈R]

（D）當(dāng)[x]為有理數(shù)時(shí)，[x→1;] 當(dāng)[x]為無理數(shù)時(shí)，

[x→0]

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用函數(shù)概念判別對(duì)應(yīng)是否是函數(shù)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解、鞏固函數(shù)的概念.

例2 ?根據(jù)所給信息完善表2.

[函數(shù) 定義域 值域 [fx=x-1] — [fx=1x] [fx=x-12+1] [-1，0，1，2，3] [fx=x-12+1] [R] ][表2]

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在具體的問題背景中理解定義域、值域的含義. 在問題解決的過程中感悟簡(jiǎn)單的定義域、值域問題的求解方法，并能用集合語言規(guī)范表達(dá)定義域和值域.

探究：已知一個(gè)函數(shù)的解析式為[y=x2，] 它的值域?yàn)閇0，4，] 你能寫出幾個(gè)這樣的函數(shù)？

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)開放性的探究問題，幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉函數(shù)機(jī)的模型. 讓學(xué)生更加深刻地理解函數(shù)的三要素之間的關(guān)系.

5. 課堂小結(jié)，形成結(jié)構(gòu)

采用開放式的課堂小結(jié). 教師給予學(xué)生交流和表達(dá)的機(jī)會(huì)，學(xué)生交流后表達(dá)自己的觀點(diǎn). 通過本環(huán)節(jié)，完善函數(shù)的“統(tǒng)攝性”觀念，厘清概念生成的一般結(jié)構(gòu)，展望單元學(xué)習(xí)的后續(xù)內(nèi)容（如圖12）.

【設(shè)計(jì)意圖】在課堂小結(jié)的同時(shí)，用單元思想引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的系統(tǒng)性和整體性.

6. 布置作業(yè)，自主提升

為了進(jìn)一步鞏固、深化本節(jié)課的知識(shí)，布置一定量的作業(yè)題. 為了促進(jìn)學(xué)生更好地理解函數(shù)概念的形成和發(fā)展過程，建議學(xué)生閱讀歷史材料，開闊視野.

必做題：教材第100頁練習(xí)第3題，第4題，第6題，第7題，第105頁習(xí)題5.1第4題.

拓展題：閱讀教材第123頁“函數(shù)概念的形成與發(fā)展”，并查閱相關(guān)資料了解函數(shù)概念的發(fā)展過程．

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)布置體現(xiàn)層次性、選擇性和開放性.

最后，以恩格斯的一段名言“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù). 有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)就進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法就進(jìn)入了數(shù)學(xué)”結(jié)束本節(jié)課的教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生思考，旨在讓學(xué)生形成用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和函數(shù)的眼光去認(rèn)識(shí)世界的思維習(xí)慣.

六、幾點(diǎn)思考

對(duì)于本節(jié)課的設(shè)計(jì)主要有以下三點(diǎn)思考：（1）以“中國(guó)載人航天工程立項(xiàng)實(shí)施30周年”視頻引入，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，讓學(xué)生親歷概念構(gòu)建的全過程，凸顯數(shù)學(xué)的育人價(jià)值；（2）搭建“腳手架”促進(jìn)學(xué)生活動(dòng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生真學(xué)習(xí)；（3）單元整體的設(shè)計(jì)理念，大單元觀念下的數(shù)學(xué)教學(xué)探索.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍，陶維林. 注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（6）：19-24，30.

［3］章建躍. 如何幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（9）：1-8.