立足單元教學 深度建構概念

甄榮

摘 ?要：在“函數的單調性”一課的教學設計中，聚焦“四基”，設計問題串，引導學生充分經歷觀察、分析、歸納、抽象、辨析的過程，整體把握概念本質，凸顯研究內容、研究過程、思想方法和活動經驗．

關鍵詞：單元教學；建構概念；函數的單調性；教學設計

一、教學內容解析

從內容來看，函數是刻畫客觀世界中變量關系和變化規律的工具，研究函數的規律有利于把握事物的變化規律，函數的單調性是高中階段學生要掌握的函數的重要性質之一. 本節課的教學任務是建構函數單調性的形式化定義，并用定義證明具體函數的單調性，讓學生經歷從直觀到抽象，從圖形語言、文字語言到符號語言的轉換過程，理解增函數、減函數及單調區間等概念，明白函數的單調性將自變量的變化方向和函數值的變化方向聯系起來，描述了函數的變化過程和趨勢.

從知識的上下位角度來看，學習函數的單調性既是學習函數的概念和表示方法等知識后的延伸與拓展，又是后續研究冪函數、指數函數、對數函數等基本初等函數的基礎，也是研究數列、不等式等問題的有力工具.

從單元教學的層序性來看，高中函數的單調性的學習分為四個層次. 第一層次，從圖形語言到符號語言的過渡，理解函數的單調性的概念，體會常用邏輯用語的重要意義，會用定義證明簡單函數的單調性；第二層次，研究幾種初等函數的單調性，理解用代數方法研究函數的單調性的基本思路；第三層次，利用導數研究函數的單調性，感悟導數是研究函數的單調性的有力工具；第四層次，利用函數的單調性研究數列、不等式、方程等問題，理解研究函數的單調性既是數學本身的需要，更是表達現實世界的需要，是構建數學模型的有效語言. 本節課的教學位于第一層次.

從蘊含的思想與方法來看，函數的單調性是函數性質研究的第1課時. 作為單元起始課，本節課的內容所滲透的研究函數性質的基本方法為研究函數的其他性質奠定認知基礎和參考路徑，積累經驗. 單調性的定義是用靜態的數學符號刻畫動態函數圖象在某個區間上的上升或下降的趨勢，具有高度的抽象性，是培養和提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算和直觀想象等素養的重要載體.

二、教學目標設置

本節課的教學目標設置如下.

（1）通過具體實例，引導學生經歷從直觀描述到符號表示函數的單調性的抽象過程，體會符號化定義的必要性，體會數形結合、類比、從特殊到一般等思想方法，發展直觀想象、數學抽象素養.

（2）能準確說出增函數和減函數的定義，體會全稱量詞的作用.

（3）能用函數的單調性的定義證明簡單函數的單調性，發展邏輯推理、數學運算素養.

三、學生學情分析

從認知基礎來看，學生在初中階段已經學習了一次函數、二次函數和反比例函數的相關知識，高中階段又從集合的角度系統地學習了函數的概念，對于函數的單調性已經有了“形”的直觀認識，也具備了一定不等關系的符號運算能力.

從認知障礙角度來看，用符號語言表示動態的數學對象，對剛進入高中的學生而言顯得很不適應，表現出認知力不夠. 學生對“為何要用符號語言來表達函數的單調性”這個問題是存在困惑的.

從心理特點來看，學生對于函數的性質只有一些感性的、模糊的認識，對于一般數學意義上的描述是學生所不能的，也是迫切需要知道的. 因此，認識函數的單調性正處于學生思維的最近發展區.

從學生可能的發展角度來看，除數據分析素養外，其他數學核心素養在本節課中皆有不同程度的體現，教師幫助學生在單調性概念不同的表征系統間進行靈活轉換，有助于學生良好認知結構的建構，不同程度地發展學生的數學核心素養.

四、教學重點和難點

1. 教學重點

理解函數的單調性的定義；根據定義證明函數的單調性.

2. 教學難點

函數的單調性形式化定義的生成.

五、教學策略分析

利用現實生活中的實例，創設與函數的單調性相關的情境，引出學生將要探索的數學問題，調動學生的求知欲，帶動學生的內驅力.

基于學生的思維水平和認知現狀，從具體的函數出發，從正向、逆向兩個方面，從證實到否定，高度重視“任意”所蘊含的邏輯要求，設計環環緊扣的問題串，從圖形語言到符號語言，從定性到定量，從特殊到一般，采用啟發講授和合作交流相結合的教學方式，讓學生充分經歷觀察、分析、歸納、抽象的思維過程，再將有雛形的函數的單調性的定義進行表達加工，形成完整準確的函數的單調性的定義. 在概念重構的過程中，加深學生對函數的單調性本質的理解. 對學生的數學眼光、數學思維、數學語言表達產生積極影響.

借助多媒體技術輔助展示抽象過程，投屏展示學生的思考結果，以及演算和證明的過程，及時反饋學生的學習情況.

六、教學過程設計

環節1：情境導入，把握方向.

情境1：一碗水中加入一定量的糖，未飽和狀態下，糖加得越多，糖水越甜.

情境2：嘉峪關某天的氣溫變化曲線如圖1所示，試根據圖1說一說氣溫的變化情況.

學生初步感受事物的變化規律后，教師指出：現實世界是運動變化的，為了研究這些運動變化的規律，人們在數學中引入了函數，通過對函數變化規律的研究，實現對現實世界中事物運動變化規律研究的目的. 從本節課起，我們開始學習函數相關的變化規律，即函數的基本性質. 總體而言，函數的性質指的是變化中的不變性和變化中的規律性.

【設計意圖】設計“糖水模型”“氣溫曲線”等情境，讓學生順理成章地感受到事物的運動變化趨勢一般有三種情況：① 整個運動過程呈上升趨勢；② 整個運動過程呈下降趨勢；③ 整個運動過程呈時而上升時而下降趨勢. 一方面，激發學生主動思考；另一方面，讓學生明白函數是描述事物變化規律的數學模型，以及研究函數性質的必要性.

環節2：直觀感知，形成沖突.

活動：畫出下列函數的圖象，觀察并說明圖象有何變化趨勢.

（1）[y=x+1]；（2）[y=-2x+1]；（3）[y=x2].

教師投屏展示學生所作的函數圖象，學生逐一說明圖象的變化趨勢及函數值隨自變量的變化情況.

【設計意圖】從學生現有的知識經驗入手，引導學生觀察具體的函數圖象，直觀感受函數圖象的增、減變化，體會數形結合思想，知道y隨x的變化趨勢與x的取值范圍有關.

思考：對于函數[y=x+2x x>0，] 函數值隨自變量的增大怎樣變化？

學生利用描點法作圖后，教師用畫板工具準確作圖，學生發現難以確定函數圖象下降與上升分界點的確切位置.

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數的單調性雖然比較直觀，但是有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的定量研究.

【設計意圖】設置問題，引發認知沖突. 教師引導學生從定性描述走向定量刻畫，體會“形缺數時難入微”，體會用數量大小關系嚴格表述函數的單調性的必要性.

環節3：抽象建構，形成概念.

問題1：對于函數y = x2，怎樣用符號語言刻畫“在區間[0，+∞]內，y隨x的增大而增大”？

教師引導：“增大”意味著比較，需要建立兩個量的大小關系.

預設：①“x的增大”的符號化為“ x1 < x2”；

②“y的增大”的符號化為“[fx1

③“隨”字的符號化為“當[x1

問題2：只取區間[0，+∞]內的兩個確定的值x1，x2，當[x1

學生分組討論，作圖說明.

預設：學生作圖情況如圖2所示.

問題3：只取[0，+∞]內的三個確定的值x1，x2，x3，當[x1

問題4：取[0，+∞]內的無數個值x1，x2，x3，…，當[x1

追問：“無數個值”不行怎么辦？“無數個值”和“所有的值”一樣嗎？“所有的值”能取完嗎？怎樣一一驗證呢？我們之前學過表示“所有”概念的量詞嗎？你能借助全稱量詞用符號語言嚴格表達“在區間[0，+∞]內，y隨x的增大而增大”嗎？

學生得出：對于[?x1，x2∈0，+∞，] 當[x1

問題5：對于函數[fx=x2 x>0，] 任意兩個值[x1，x2，] 當[0

預設：作差證明；利用不等式的性質證明.

問題6：你能模仿上述過程，用符號語言描述在區間[-∞，0]上y隨x的增大而減小嗎？

教師引導學生梳理函數y = x2的單調性，如表1所示.

[區間 [-∞，0] [0，+∞] 圖象特征 從左到右，圖象下降 從左到右，圖象上升 文字語言 y隨x的增大而減小 y隨x的增大而增大 符號語言 對[?x1，x2∈-∞，0，] 當[x1fx2] 對[?x1，x2∈0，+∞，] 當[x1

問題7：你能歸納出函數[y=fx]在區間I上單調遞增的定義嗎？

設D是函數[fx]的定義域，I是D的一個非空的子集. 如果不加以說明，我們認為I是個區間. 如果對于I上任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有[fx1

問題8：類比增函數的定義，你能給出減函數的定義嗎？

如果對于區間I上任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有[fx1>fx2，] 就稱[fx]是區間I上的減函數，也稱[fx]在區間I上單調遞減.

教師指出：如果函數[y=fx]在區間I上是增函數或減函數，那么就說函數[y=fx]在這一區間上具有（嚴格的）單調性，區間I叫做函數[y=fx]的單調區間.

問題9：你能舉出在整個定義域上單調遞減的函數的例子嗎？

預設：[y=-x，y=-x+1，y=1x]等.

針對[y=1x，] 教師引導學生根據單調減函數的定義判斷其是否在整個定義域上單調遞減，并提醒學生單調區間的準確表示.

【設計意圖】概括是數學概念形成的重要過程. 在這個過程中，通過對實例的觀察、分析、歸納、抽象，讓學生親身經歷數學概念從直觀到抽象、從特殊到一般、從有限到無限、從粗疏到嚴密的符號化過程. 概念的概括是一個逐級逐步概括、抽象的教學過程，在這個過程中設計問題串，搭建思維平臺，使得學生參與概括成為可能. 雖然概括不能一步到位，但通過反復糾錯、共同完善，最終得到嚴格的概念表述，這樣的概念概括過程是自然的、鮮活的. 在這個過程中厘清了概念的本質，培養了學生思維的嚴謹性，優化了學生的思維品質，發展和提升了學生的數學抽象素養.

環節4：例題練習，加深理解.

例1 ?定義在區間[-5，5]上的函數[y=fx]的圖象如圖3所示，根據圖象寫出函數[y=fx]的單調區間，并說明在每個單調區間上[y=fx]是增函數還是減函數.

例2 ?根據定義，研究函數[fx=kx+b k≠0]的單調性.

教師板書示范，歸納出作差法證明函數的單調性的基本步驟：取值—作差—變形—判號—結論.

教師說明：我們在初中已經通過函數圖象得到了一次函數的單調性，這里則是通過代數推理給出了嚴格證明.

接著，教師引導學生思考：假如任取的x1，x2滿足x1 > x2，怎么判斷[fx]是增函數還是減函數呢？

教師引導學生用差商模型刻畫函數的單調性，如圖4所示.

教師點評：函數的單調性把自變量的變化方向和函數值的變化方向聯系起來，描述了函數的變化過程和趨勢，是函數的最重要的特征之一. 直指函數的單調性的本質.

例3 ?你能用代數的方法嚴格證明“未飽和狀態下，糖加得越多，糖水越甜”這一生活常識嗎？

第一步：數學建模.

常溫常壓下，已知蔗糖的溶解度為210 g（在一定溫度下，在100 g水中達到飽和狀態時所溶解的蔗糖的質量），設水的質量為500 g，蔗糖的質量為x g，蔗糖水溶液中蔗糖的質量分數為y，則y與x之間的函數關系可以表示為：[y=x500+x，x∈0，1 050.]

第二步：證明函數[y=x500+x]是區間[0，1 050]上的增函數.

學生嘗試用作差法和差商法獨立完成.

【設計意圖】例2引導學生對照定義研究函數的單調性. 教師小結根據定義用作差法證明函數的單調性的一般步驟，還介紹了更簡明的差商法，直指函數的單調性的本質，培養學生嚴謹的數學推理能力和運算能力. 通過上述三道例題，讓學生分別從“形”和“數”兩個方面深入理解函數的單調性，使得學生的數學建模、邏輯推理、數學運算等素養得以發展.

環節5：歸納小結，積累經驗.

教師引導學生小結本節課的學習歷程、定義生成及應用過程.

（1）函數的單調性的定義是什么？

（2）如何用定義證明函數的單調性？

（3）得到函數的單調性定義的路徑是什么？

（4）得到函數的單調性定義的過程中蘊含著什么數學思想方法？

教學路線如圖5所示.

【設計意圖】教師通過以上四個問題引導學生小結學習歷程、定義生成及應用過程，聚焦“四基”，凸顯研究內容、研究過程、思想方法和活動經驗，這些經驗為學生后續學習函數的其他性質提供了認知準備和思維范式，體現了單元教學的整體性.

環節6：布置作業，拓展延伸.

作業1（必做題）：證明函數[y=x+2x]在區間[0， 2]上單調遞減，在區間[2，+∞]上單調遞增.

作業2（選做題）：利用畫板工具探究[fx1-fx2x1-x2]的大小與某區間內函數值增長快慢的關系.

【設計意圖】提供問題情境，引領學生思考，凸顯數形結合，為后續變化率和斜率的學習作好鋪墊、積累經驗.

課堂的最后，用艾濱浩斯遺忘曲線（如圖6）回歸到函數的性質. 讓學生感受數學對生活的指導意義，讓嚴謹的數學課堂又一次變得溫暖迷人.

教學反思

1. 立足單元教學，整體建構概念

統攬全局，將“函數的單調性”教學的每一步、每個環節都放到整個單元中去考量，讓后續奇偶性和周期性等函數性質的學習變成概念建構的同構活動，充分體現思想方法和數學觀念的一致性，凸顯教學的整體性.

2. 精心設計問題，發展核心素養

立足學生的學情，創設有梯度、有過渡的問題串開展問題導向教學活動，自然生成函數單調性的概念，引發學生共鳴，提升思維質量，發展核心素養.

3. 圍繞現實生活，創設問題情境

本節課從實際生活出發，原本設計了糖水模型、李白《將進酒》詩句、氣溫曲線等問題情境，引導學生體會函數是描述事物運動變化規律的數學模型，進而研究變化中的不變性和規律性的價值，感悟用數學的眼光觀察世界. 但在實際教學中，發現情境引入環節用時較多，且《將進酒》中的名句“君不見，高堂明鏡悲白發，朝如青絲暮成雪”這一情境與其他兩個情境的作用有所重疊，故結合展示中專家的點評，刪除了《將進酒》相關情境. 在課堂的最后，作為用定義法證明函數單調性的應用，證明“未飽和狀態下，糖加得越多，糖水越甜”這一生活常識，呼應情境，喚醒了學生的應用意識，提升了學生用數學語言表達現實世界的能力．

參考文獻：

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