“指數”（第2課時）教學設計

梁穎利

摘 ?要：將指數冪的拓展過程放在數系擴充的大背景下，類比初中正整數指數冪到整數指數冪的拓展過程，引導學生經歷從整數指數冪到有理數指數冪再到實數指數冪的拓展過程，建立拓展指數冪的整體架構，理解數學運算的一致性.

關鍵詞：分數指數冪；無理數指數冪；指數冪的拓展；教學設計

一、內容和內容解析

1. 內容

分數指數冪和無理數指數冪的含義，指數冪的運算性質.

2. 內容解析

數及其運算的產生和發展是推動數學發展的重要源泉和動力，數、式、方程、函數等內容的基礎是數及其運算，函數是數及其運算的延伸和發展.

本節課是人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊（以下統稱“教材”）第四章“指數函數與對數函數”第一節“指數”的部分內容. 指數函數是以指數為自變量的一類函數，其定義域為實數集. 為研究指數函數，需要把指數冪運算的范圍進一步拓展. 類似于先把整數拓展到有理數，再把有理數拓展到實數，本節課將指數冪由整數指數冪拓展到有理數指數冪，然后拓展到實數指數冪，進而為指數函數的學習奠定基礎. 為了讓學生完整地體驗指數冪的拓展過程，將“指數”內容分為兩個課時，本節課是第2課時，主要內容是分數指數冪和無理數指數冪的含義和運算性質，以及指數冪的拓展過程.

在指數冪運算的拓展過程中，“整數指數冪的運算性質在有理數指數冪、實數指數冪中仍然成立”是核心思想. 對此，學生在初中學習整數指數冪時，在由正整數指數冪到負整數指數冪的拓展過程中已經有所體會，本節課要讓學生進一步體會.

學習指數冪的運算，必須解決無理數指數冪的問題. 但是冪的指數由有理數拓展到實數，指數變為無理數，很難有實際背景，這完全是數學理性思維的結果. 因此，對無理數指數冪的理解是本節課教學的難點. 可以類比初中用有理數逼近無理數的經驗，從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向，用有理數指數冪逼近無理數指數冪，并在數軸上表示對應的點，從數和形兩個角度認識無理數指數冪的意義，并體會其中的極限思想.

基于以上分析，確定本節課的教學重點為實數指數冪的運算及其性質，教學難點為用有理數指數冪逼近無理數指數冪.

二、目標和目標解析

1. 目標

本節課教學目標設置如下.

（1）認識有理數指數冪[amn]（[a>0]，[m，n]為整數，[n>1]）和無理數指數冪的含義.

（2）了解指數冪的拓展過程.

（3）掌握指數冪的運算性質.

2. 目標解析

達成上述目標的標志如下.

（1）認識正數的正分數指數冪的意義[amn=amn]（[a>0]，[m，n]為正整數，[n>1]）和正數的負分數指數冪的意義[a-mn=1amn]（[a>0]，[m，n]為正整數，[n>1]），知道分數指數冪是根式的另外一種表達形式，并能將分數指數冪與根式互相轉化. 無理數指數冪的理解是本節課的難點，只需要讓學生知道任何正數的實數指數冪都是確定的實數，能通過逼近的方法直觀認識它，并體會其中的極限思想.

（2）通過回憶，類比初中由正整數指數冪到負整數指數冪的拓展過程，經歷由整數指數冪到有理數指數冪的拓展過程，體會其拓展過程的核心思想是“使冪的運算性質仍然成立”，了解分數指數冪的引入不僅消除了運算性質中的一些限制，還實現了乘方與開方運算的統一. 而有理數指數冪拓展到無理數指數冪的過程是有理數指數冪逼近無理數指數冪的過程.

（3）實數指數冪的運算性質完全因襲了整數指數冪的運算性質，在操作層面上與整數指數冪的運算沒有區別，學生有一定的基礎，通過練習鞏固即可掌握.

三、教學問題診斷

本節課是“指數函數”的前一節課. 指數函數是以指數為自變量的一類函數，其定義域為實數集. 為了研究指數函數，需要把指數冪運算的范圍進一步拓展. 教材從已知的平方根、立方根的意義入手，先學習[n]次方根，再由幾個特殊的例子歸納發現分數指數冪與[n]次方根概念的聯系，規定了分數指數冪的意義. 在教學實踐中，這個過程學生會比較容易接受，但是學生會感覺不知道為什么要先學習根式，而是被教師牽著走. 因此，本節課從學生初中已經熟悉的整數指數冪的定義及運算性質入手，采用在初中引入零指數冪和負整數指數冪的定義過程，在“使整數指數冪的運算性質仍然成立”思想的指引下，將整數指數冪拓展到分數指數冪，建立分數指數冪與[n]次方根的聯系，得到分數指數冪的意義. 既讓學生認識到分數指數冪的含義，又使學生體會到指數冪運算的拓展過程的核心思想是“使原有的運算性質仍然成立”.

無理數指數冪的理解是本節課的難點，可以類比初中用有理數逼近無理數的方法，讓學生經歷從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向用有理數指數冪逼近無理數指數冪的過程，然后在數軸上表示它們的對應點，發現這些點逼近一個確定的點，其對應的數就是這個無理數指數冪. 由此讓學生體會其中蘊含的極限思想，并從數和形兩個角度認識無理數指數冪是一個確定的實數. 不需要對學生要求更多.

四、教學支持條件

多媒體PPT輔助教學；利用計算工具，計算[52]的近似值，幫助學生體會有理數指數冪逼近無理數指數冪的過程；利用信息技術作圖，在數軸上將[52]附近逐步放大，直觀展示逼近過程，加深學生對無理數指數冪的理解.

五、教學過程設計

1. 分數指數冪及其運算性質

問題1：某景區統計了近幾個月的游客人次，發現在免門票政策的帶動下，每月的游客人次都是上一個月游客人次的1.1倍，如果按照此規律增長下去.

（1）2個月后的游客人次為現在的多少倍？

（2）3個月后的游客人次為現在的多少倍？

（3）3個半月后的游客人次為現在的多少倍？

師生活動：學生回答. 回答后指出這是初中學過的冪運算[an]，當指數為正整數時，其意義是[n]個[a]自乘. 當指數為小數或分數時不會計算，需要把冪的指數拓展.

【設計意圖】第（1）小題和第（2）小題從學生認知的最近發展區出發，既是讓學生回顧初中指數冪及其運算的相關知識，又是搭建“腳手架”，為后面問題的提出作好鋪墊；第（3）小題是要激發認知沖突，使學生認識到拓展指數的必要性，從而引入本節課的課題和學習內容.

追問：我們以前學習過數系的擴充過程，是否可以借鑒呢？

師生活動：教師引導學生回憶數系的擴充過程，從而得到指數的拓展路徑.

【設計意圖】指數的拓展過程與數及其運算的擴充過程有關聯，通過回憶將本節課的內容放在數系擴充的大背景下進行，讓學生體會數學的整體性.

問題2：回憶初中由正整數指數冪到整數指數冪的拓展過程，零指數冪[a0]和負整數指數冪[a-n]是如何引入的？

師生活動：學生回答[a0]和[a-n]的意義，教師適當引導，使學生體會指數的拓展是為了使正整數指數冪的運算性質適用范圍得到擴充. 最后指出負整數指數冪的引入消除了運算性質中的限制，擴大了運算性質的適用范圍，簡化了運算性質. 其中，冪的乘法對應指數的加法，冪的除法對應指數的減法，引入負數后，加減運算統一，從而冪的乘除運算統一，運算性質合并為三條.

【設計意圖】學生通過回顧初中正整數指數冪到整數指數冪的拓展過程，體會指數冪運算的拓展過程的核心思想是原有的運算性質在新的范圍中仍然成立.

問題3：已知[x3=2]，求[x6]，[x9].

師生活動：學生思考并回答，[x6=x3×2=x32=22]，[x9=x3×3=x33=23]. 教師追問每一步的計算依據（即整數指數冪的運算性質）.

追問1：已知[x3=2]，求[x7].

師生活動：學生獨立思考并嘗試. 一是類比前面的問題利用整數指數冪的運算性質求解，但發現指數為分數，不確定能否適用；二是通過開方運算求出[x]，利用根式的運算求解. 教師展示學生出現的各種不同的運算過程和結果，讓學生互相評價，最后使學生感受到[n]次方根和分數指數冪之間是存在聯系的.

追問2：如果像求[x7]一樣，也通過開方運算，利用根式表示[x6]，[x9]，結果是什么呢？

師生活動：學生思考后回答，[x6=263=22]，[x9=][293=23]. 教師引導學生觀察冪的指數與被開方數的指數和根指數的關系，歸納規律，自然地得出[273]可以寫成[273]，而且根據根式的性質[2733=27=273×3]，指數冪的運算性質（如[akn=akn]）仍然成立. 推廣到一般情況，規定正數的正分數指數冪的意義為[amn=amn]（[a>0]，[m]，[n]為正整數，[n>1]）.

追問3：本節課開頭的問題[1.13.5]可以計算了嗎？

師生活動：學生回答，[1.13.5=1.172=1.17≈1.396].

追問4：當指數為負分數時，[a- mn]的意義是什么？

師生活動：學生回答，[a- mn=1amn]（[a>0]，[m]，[n]為正整數，[n>1]）.

【設計意圖】從實例出發，將[n]次方根與分數指數冪建立聯系，當指數6和9都是3的整數倍時，可以利用已有的整數指數冪的運算性質求解. 當指數7不是3的整數倍時，一方面可以利用已學過的[n]次方根的概念計算；另一方面，又迫切希望引入分數指數冪，并且使得整數指數冪的運算性質對分數指數冪適用. 將兩者自然地聯系起來，然后通過具體實例的歸納，從特殊到一般，從具體到抽象，建立分數指數冪與[n]次方根的關系：分數指數冪是[n]次方根的一種表現形式，兩者是統一的.

例1 ?求值：（1）[823]；（2）[1681-34].

師生活動：學生計算并回答. 之后學生指出分數指數冪的計算既可以利用概念轉化為根式計算，也可以利用運算性質計算. 教師讓學生比較兩種運算方法的簡潔性.

【設計意圖】通過具體的運算，鞏固分數指數冪的概念、意義及分數指數冪的運算性質.

例2 ?用分數指數冪的形式表示并計算下列各式（其中[a>0]）.

（1）[a2 ? a23]；

（2）[a ? a3].

師生活動：學生計算并回答. 之后學生指出把根式轉化為分數指數冪，再利用有理數指數冪的運算性質進行計算，可以簡化根式的運算.

【設計意圖】通過一般表達式的運算，鞏固分數指數冪和[n]次方根的互相轉化，特別是把[n]次方根轉化為分數指數冪進行運算，把結果表示為分數指數冪的形式.

2. 無理數指數冪及其運算性質

當指數是無理數時，[ax]的意義是什么呢？如[52].

師：初中，我們通過[2]的不足近似值這一串有理數和[2]的過剩近似值這一串有理數逐步逼近認識了[2]的意義. 那么，無理數指數冪[52]的意義是什么呢？

問題4：類比初中認識無理數[2]的過程，能否探究無理數指數冪[52]的意義是什么？

師生活動：教師引導學生回顧初中通過有理數認識無理數的過程，類比思考無理數指數冪[52]的意義. 教師展示表1中的數據，并將相應的數值在數軸（如圖1）上表示，讓學生理解逐漸逼近的過程.

【設計意圖】由于無理數指數冪沒有實際背景，完全是數學理性思維的結果，而且學生還沒有極限的概念，所以對逐步逼近理解起來比較困難. 這里通過表格和數軸兩種方式展示逐步逼近的過程，用表格展示數據呈現具體數值，用數軸表示數值直觀展示逼近過程，兩者結合，相得益彰，加深學生對無理數指數冪的理解.

師：類比[52]的探究過程，可以知道，無理數指數冪[aα]（[a>0]，[α]為無理數）是一個確定的實數，在數軸上有唯一的點與之對應. 這樣指數冪[ax]（[a>0]）中的指數就可以取任意實數，且原有的運算性質也適用于實數指數冪.

3. 歸納小結

（1）指數冪的拓展過程如圖2所示.

（2）指數冪拓展的核心思想：整數指數冪的運算性質在有理數指數冪、實數指數冪中仍然成立.

【設計意圖】回顧本節課的主要知識和研究過程，總結指數冪拓展的核心思想和基本原則.

4. 布置作業

教材習題4.1第2 ～ 10題.

六、目標檢測設計

計算下列各式.

（1）[364932]；

（2）[23×31.53×126]；

（3）[23m323].

【設計意圖】考查學生對實數指數冪意義和運算性質的理解.

參考文獻：

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［3］周星宇. 從數學內部提出問題，在運算法則下解決問題：對“分數指數冪”的教學思考［J］. 中小學數學（高中版），2019（11）：51-53.