“函數[y=xa-logbx]的圖象與性質”教學設計

樂哲君

摘 ?要：在學生學習冪函數、指數函數與對數函數，函數的概念、性質及應用，導數及其應用等內容的基礎上，類比已有經驗，運用計算器、Excel軟件、GeoGebra軟件等多種信息技術工具，探究函數[y=xa-logbx]的圖象與性質，目的是使學生學會用幾何直觀和代數推理的方法探究函數，為之后研究新的函數提供方法指導．

關鍵詞：冪對差值函數；信息技術；圖象與性質；探究函數

一、教學內容解析

1. 教學內容

借助代數推理與幾何直觀探究函數[y=xa-logbx]的圖象與性質，并通過函數圖象和代數運算理解和解決問題. 教學內容與函數單元框架，如圖1所示.

2. 內容解析

本節課從滬教版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）必修第一冊“4.3 對數函數”的課后閱讀、探究與實踐出發，主要內容是在學生已經學習了冪函數、指數函數與對數函數，函數的概念、性質及應用，導數及其應用的基礎上，運用信息技術探究函數[y=xa-logbx]的圖象與性質，并通過代數推理證明部分性質. 目的是使學生學會用幾何直觀和代數推理的方法探究函數，為之后研究新的函數提供方法指導，同時使學生對對數函數的增長速度有更嚴謹的認識，是高中數學學習的點睛之筆.

函數是中學數學的核心內容之一. 高中的函數內容主要安排在教材必修第一冊第四章“冪函數、指數函數與對數函數”和第五章“函數的概念、性質及應用”，教材必修第二冊第七章“三角函數”，以及教材選擇性必修第二冊第五章“導數及其應用”．函數的概念、函數的基本性質以及基本初等函數的圖象與性質既是高等數學的基礎，也是建立函數模型解決諸多實際問題的重要工具．學習函數，有助于增強學生對用數學方法描述客觀規律的認識，有助于學生感悟用數學模型解釋自然現象的作用，有助于在用函數知識解決一些簡單實際問題的過程中增強學生的數學應用意識．

本節課是一節探究課，探究的內容是一個新的函數[y=xa-logbx]，基于教材的拓展內容新定義該函數為冪對差值函數. 冪函數和對數函數都是基本的、應用廣泛的函數，是進一步學習函數相關內容的基礎，也是本節課探究的基礎. 根據冪函數與對數函數的圖象與性質的分類，本節課在此基礎上先將冪對差值函數[y=xa-][logbx]按[a，b]的取值范圍進行分類. 直接利用冪函數與對數函數的性質，從代數角度分析冪對差值函數[y=xa-logbx]在[a≤0，b>1]與[a≥0，0

對于難以通過性質分析直接得到函數性質的情況，即當[a>0，b>1]和[a<0，0

函數性質的探究需要經歷“描繪具體函數圖象—歸納猜想函數共性—代數推理嚴格論證”的過程，并運用信息技術開展探究，這是本節課的重點. 本節課讓學生完整地經歷觀察、猜測和證明等探究過程，引導學生嘗試從代數推理和幾何直觀兩個角度研究函數，讓學生充分體驗分類討論、從特殊到一般、數形結合的數學思想，發展邏輯推理和直觀想象素養．同時，使用Excel，GeoGebra等軟件能讓學生感受到信息技術在探究過程中的作用，讓學生感受到信息技術讓實踐和創新成為可能，驅動學生在數學探究活動中有更多的熱情，并投入更多的精力．

二、教學目標設置

1. 教學目標

本節課的教學目標設置如下.

（1）回顧冪函數和對數函數在[0，+∞]上的性質，了解冪對差值函數[y=xa-logbx]的分類方法，學會分析冪對差值函數的性質，體會類比思想.

（2）經歷用Excel軟件描點繪圖的過程，并觀察用GeoGebra軟件繪制的冪對差值函數圖象，體會從特殊到一般的研究方法，學會通過觀察具體函數圖象歸納猜想冪對差值函數的圖象特征，感受信息技術在探索函數的圖象與性質中的作用，提升運用數形結合思想解決問題的能力，發展直觀想象素養.

（3）在歸納猜想的基礎上學會用代數推理證明性質，能夠用導數證明冪對差值函數的單調性，發展邏輯推理素養.

（4）在交流活動中分享探究的喜悅與困惑，養成規范表達的習慣，反思研究函數的一般方法，培養勇于探索的思維品質，樹立學好數學的信心．

2. 目標解析

達成教學目標（1）的標志：能在回顧冪函數與對數函數在[0，+∞]上的圖象與性質后，對冪對差值函數[y=xa-][logbx]按[a，b]的取值范圍進行分類，能通過分析冪函數和對數函數的性質得出當[a≤0，b>1]時的冪對差值函數的性質，并類比得到[a≥0，0

達成教學目標（2）的標志：讓學生用Excel軟件繪制冪對差值函數[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時的幾個具體函數圖象，并觀察用GeoGebra軟件演繹的參數變化時的函數圖象，感受冪對差值函數[y=xa-logbx]的形態變化與運動規律，能歸納猜想出圖象特征與函數的性質.

達成教學目標（3）的標志：能用導數證明冪對差值函數[y=][xa-logbx]在[a>0，b>1]時的單調性.

達成教學目標（4）的標志：讓學生經歷完整的冪對差值函數[y=xa-logbx]的圖象與性質的探究過程，在交流活動中分享探究的喜悅與困惑，養成規范表達的習慣，學會探究函數的一般思路（描繪具體函數圖象—歸納猜想函數共性—代數推理嚴格論證），并能自主地對本節課的探究過程和思想方法加以總結．

三、學生學情分析

本節課的授課對象為高三年級的學生，他們經歷了對冪函數、指數函數與對數函數的探究過程，掌握了函數的概念、性質及其應用，了解了導數的概念，能借助導數研究函數的單調性，對函數的研究思路與方法有了一定的感性認識，具有一定的觀察、分析和推理能力，這為本節課的探究提供了保障. 學生能較好地表達自己的觀點，渴望應用所學的知識解決問題，但對新的函數進行探究仍然存在一定的困難. 學生需要進一步鞏固與實踐“為什么要研究”“研究什么”“如何研究”這些問題．

此外，在數學課堂上，該班級學生較多地呈現出被動學習的狀態，缺少主動研究的意識. 但是通過溝通了解，大部分學生能夠接受合作學習，并喜歡合作學習，也希望數學教學方法能夠更加多元化，并富有趣味性．

因此，本節課從教材中對數函數的增長速度的探究出發，讓學生自己動手計算函數值，交流對三類函數增長速度差異的思考；讓學生親自用Excel軟件描點繪圖，觀察用GeoGebra軟件演示參數變化時冪對差值函數的形態變化. 組織合作交流、觀察圖象、歸納性質、代數證明等環節，鼓勵學生分享自己的發現，讓學生完整地參與研究函數的過程，有效激發學生的學習興趣，增強學生的學習能動性．

四、教學策略分析

1. 類比已有經驗，構建整體研究架構

本節課從教材內容出發，在回顧已學的冪函數和對數函數相關內容的基礎上，類比得到探究函數[y=xa-logbx]的分類情況，并啟發學生通過分析初等函數的性質直接得出當[a≤0，b>1]時函數[y=xa-logbx]的性質，并由此類比得到[a≥0，] [0

2. 借助信息技術，提高課堂教學效能

課前安排學生借助計算器計算三對函數的函數值，讓學生在計算中感受計算器的計算功能，在比較計算結果中增強數感. 在回顧冪函數和對數函數的圖象與性質時，通過課件演示動圖，清晰、快捷地鞏固已學知識. 在通過分析性質得到結論1和結論2之后，由性質指導作圖，并通過課件演示，促進學生對這兩類情況下冪對差值函數[y=xa-logbx]的圖象與性質的理解. 通過課前活動的計算已經發現了冪對差值函數[y=xa-logbx]的數據結果較為復雜，不易描點作圖，借助Excel軟件的繪圖功能，可以繪制出多個具體函數的散點圖，且能通過多次改變自變量的初始值、步長、個數探究自己想觀察的部分，既清晰準確，又方便快捷，讓學生體會到信息技術強大的數據處理功能與圖象繪制功能. 同時，用GeoGebra軟件輔助演示參數變化時的函數圖象，讓學生感受冪對差值函數[y=xa-logbx]的形態變化與運動規律，通過觀察更好地歸納函數的共性，更好地提高學生用數形結合思想解決問題的能力.

3. 以學生為中心，通過引導輔助探究

本節課通過安排課前學習活動，讓學生在比較中產生認知沖突，繼而思考用已學知識研究這一問題，引出本節課要探究的新函數[y=xa-logbx]. 引導學生類比已學知識得到研究方法，明確研究思路，安排小組活動，讓學生自己使用Excel軟件描點繪圖，觀察冪對差值函數的圖象特征，鼓勵學生多次嘗試，并分享自己的發現. 本節課采用開放式小結，親身經歷了完整探究過程的學生一定有自己最真切和強烈的感受，鍛煉學生的語言表達能力和歸納能力，肯定學生的發現與收獲，建立積極的正反饋．

五、教學過程設計

課前活動：學生在課前完成“探究與實踐”學習單（如圖2）.

【設計意圖】對于教材中的探究與實踐，本節課進行了適當改編，增設了計算當[x]位于較小數區間時的函數值和計算兩個函數的差值，旨在讓學生感受對數函數在不同區間的增長速度. 借助兩個增函數的差值變化來了解這兩個函數增長的快慢，并制作了課前學習單，讓學生在計算中感受計算器的計算功能，在比較計算結果中增強數感，為本節課的探究作準備.

1. 創設情境，引入課題

材料1：北京時間2022年7月24日14時22分，搭載問天實驗艙的長征五號B遙三運載火箭在我國文昌航天發射場點火發射，約495秒后，問天實驗艙與火箭成功分離并進入預定軌道，發射取得圓滿成功．

材料2：教材必修第一冊第101頁“課后閱讀：火箭速度的公式”. 航天之父、俄羅斯科學家齊奧科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年給出火箭速度的計算公式[v=V0ln1+Mm0]，其中V0是燃料相對于火箭的噴射速度，M是燃料的質量，m0是火箭（除去燃料）的質量，v是火箭將燃料噴射完之后達到的速度. 可以看出v與M是對數函數的關系，由于對數函數增長速度很慢，通過大量增加燃料（[即增加Mm0]）難以達到航天器繞地球運行所需要的第一宇宙速度，據此他又提出了采用多級火箭發射航天器的設想. 現代運載火箭大多采用三級火箭，當第一級火箭的燃料用完時，點燃第二級火箭并拋棄第一級火箭，這相當于減小第二級火箭推進時的m0，從而在第二級火箭燃料用完時航天器可以達到較高的速度. 然后類似地點燃第三級火箭并拋棄第二級火箭，最終可以將航天器送入太空軌道．

材料3：教材必修第一冊第101頁“探究與實踐：冪函數、指數函數與對數函數增長速度的比較”.

我們已經知道，如果指數函數的底數[a]大于[1]，當自變量[x]增大時，指數函數[y=ax]增長得非常快，稱為“指數增長”. 類似地，可以分析底數[a]大于[1]的對數函數[y=logax]的增長速度．

（1）計算函數[y=0.01x]和[y=lgx]當[x=102，104，][106，108，1010]時的值，并由此比較兩個函數的增長速度.

（2）計算函數[y=x0.1]和[y=lgx]當[x=1010，1020，][1050，][10100，10200]時的值，并由此比較兩個函數的增長速度．

（3）計算函數[y=1.1x]和[y=lgx]當[x=102，104，106，][108，1010]時的值，并由此比較兩個函數的增長速度.

通過上述比較，你對對數函數的增長速度有何體會？

展示課前學習單的學生成果，學生分享課前小組活動的學習體會．

【設計意圖】用長征五號B遙三運載火箭的新聞作為開篇，激發學生的學習興趣，增強學生的民族自豪感. 材料2和材料3源自教材必修第一冊“4.3 對數函數”，旨在說明本節課源于已學內容，又通過之后的學習解決并深化所學內容. 由多名學生分享體會，讓學生發現對數函數的增長速度并非一直很慢，從而產生認知沖突，引發學生思考，激發學生的探究熱情，引出本節課要探究的新函數[y=xa-logbx]．

定義：當[a，b]為常數，且[b>0，b≠1]時，等式[y=xa-logbx]確定了變量[y]隨變量[x]變化的規律，稱為指數為[a]、底數為[b]的冪對差值函數，簡稱冪對差值函數．

【設計意圖】為本節課探究的新函數定義一個名稱，踐行提出一類函數、給出一種研究思路的探究理念. 同時，激發學生的學習興趣，幫助學生實現大膽創新和積極探索．

2. 鞏固舊知，溫故知新

問題1：回顧函數的學習經歷，探究一個新的函數主要探究哪些內容？

探究一個新的函數主要探究定義域、值域、單調性、對稱性（奇偶性）、周期性、特殊點、零點、極值點、最值……

因為只有當[x>0]時[logbx]才有意義，此時[xa]總有意義，所以冪對差值函數[y=xa-logbx]的定義域是[0，+∞]．

回顧冪函數[y=xa]和對數函數[y=logbx]在[0，+∞]上的圖象與性質．

問題2：根據在探究冪函數和對數函數時對[a，b]展開的分類，能否推測冪對差值函數[y=xa-logbx]可以分為哪幾類進行探究？

【設計意圖】由于冪對差值函數是由冪函數和對數函數經過初等運算得到的，因此在開始探究前先回顧冪函數和對數函數的圖象與性質，旨在基于已有經驗開展探究，也由此為開展探究確定分類依據和分類情況，培養學生的分類討論思想，并為快速得出結論1與結論2作鋪墊．

問題3：在以上幾類中，哪幾類冪對差值函數的圖象與性質較易探究？

結論1：當[a≤0，b>1]時，冪對差值函數[y=xa-][logbx]的圖象過點[1，1]，在定義域[0，+∞]上是嚴格減函數，值域為[R，] 函數零點[x0∈1，+∞]．

問題4：能否根據結論1，類比得到冪對差值函數在[a≥0，0

結論2：當[a≥0，0

【設計意圖】通過分析冪函數和對數函數的圖象與性質快速得出結論1，合理運用已知函數的單調性是判斷未知的相關函數的單調性的重要方法之一，將新函數的零點問題轉化為兩個已知函數圖象的交點問題也是處理函數零點問題的重要方法，為學生以后的函數學習提供了方法指導. 類比結論1，推測當[a≥0，][0

3. 運用技術，合作探究

探究：當[a>0，b>1]時，冪對差值函數[y=xa-logbx]的圖象有何特征？冪對差值函數[y=xa-logbx]有什么性質？

問題5：面對一個無法通過基本函數的性質直接分析得到其性質的復雜函數，我們該如何展開探究呢？

取[a，b]的一些特殊數值，描繪冪對差值函數的大致圖象．

問題6：運用Excel軟件，小組合作描繪8個具體的冪對差值函數的大致圖象，你能觀察到它們的圖象有哪些共性特征嗎？

【設計意圖】在開始探究前，先結合已有的高中函數的學習經驗得出探究思路，給出方法指導. 引導學生認識圖象作為數學問題直觀模型的作用，借助圖形探索解決問題的思路，體現“數缺形時少直觀”，發展直觀想象素養. 安排小組活動，讓學生親身經歷使用Excel軟件描點作圖的過程，激發學生的學習興趣，感受信息技術對數據與圖象處理的強大輔助作用. 同時，在實踐中體會取點的要義，并為學生提供了思考、討論、歸納的時間和空間，讓學生感受冪對差值函數的圖象特征，體現了數學探究學習的高度自主性，注重學生在學習過程中的體會．

歸納猜想當[a>0，b>1]時，冪對差值函數[y=xa-][logbx]的圖象特征和函數性質．

問題7：觀察利用GeoGebra軟件得到的冪對差值函數的圖象，歸納猜想，冪對差值函數的圖象有哪些共性特征？

問題8：由上述圖象的共性特征，能歸納得到冪對差值函數的哪些性質？

【設計意圖】由Excel軟件描繪幾個特殊的冪對差值函數的圖象，到用GeoGebra軟件呈現改變[a，b]時圖象特征發生的變化，引導學生感悟從特殊到一般的研究方法，多個信息技術軟件的使用有利于學生更好地歸納猜想冪對差值函數的圖象特征與函數性質，充分發揮了信息技術在探索函數的圖象與性質中的重要作用，有利于學生更好地探究冪對差值函數的圖象特征，從而分解本節課的難點，也發展了學生的幾何直觀能力，增強了學生運用幾何直觀和空間想象思考和解決問題的意識. 將直觀操作、合情推理和邏輯推理有機整合在一起，使后續的推理論證成為學生實驗、觀察、歸納猜想的自然延續．

4. 代數推理，生成結論

通過代數推理，證明[a>0，b>1]時冪對差值函數的圖象特征與函數性質．

問題9：若[a>0，b>1]，是否存在[c>0]，使得冪對差值函數[y=xa-logbx]在區間[0，c]上是嚴格減函數，在區間[c，+∞]上是嚴格增函數．

性質1：若[a>0，b>1]，則冪對差值函數[y=xa-][logbx]在區間[0， 1alnb1a]上是嚴格減函數；在區間[1alnb1a，+∞]上是嚴格增函數．

性質2：若[a>0，b>1]，則當[x=1alnb1a]時，冪對差值函數[y=xa-logbx]取到最小值[1alogbealnb]．

性質3：若[a>0，b>1]，則冪對差值函數[y=xa-][logbx]的值域為[1alogbealnb，+∞]．

推論：若[a>0，b>1]，則在區間[0， 1alnb1a]上冪函數[y=xa]的增長速度慢于對數函數[y=logbx]的增長速度；在區間[1alnb1a，+∞]上冪函數[y=xa]的增長速度快于對數函數[y=logbx]的增長速度．

結論3：當[a>0，b>1]時，冪對差值函數[y=xa-logbx]的圖象特征和函數性質如表4所示.

【設計意圖】僅由觀察圖象歸納猜想得到函數的圖象特征與函數性質并不嚴謹，也不能得到具體的值，需要進一步通過代數推理嚴格論證，引導學生經歷從猜想到論證的過程，體會從幾何直觀到代數推理的過程，發揮導數在證明函數單調性中的作用，并通過計算得到具體的單調區間、最小值等，體現“形少數時難入微”，提升學生用數形結合思想解決問題的能力，得到函數性質的同時也回答了引入環節存在的疑惑. 冪對差值函數的性質還有很多，留給學生很大的探究空間，體現數學探究的開放性．

5. 總結反思，深化認知

問題10：本節課研究了什么內容？

問題11：本節課經歷了一個怎樣的探究過程？

問題12：在探究過程中，你覺得有哪些重要的方法？有哪些收獲或體會？

【設計意圖】引導學生從知識內容和學習過程兩個方面總結自己的收獲，強調數形結合的思想方法和從特殊到一般的研究問題的方法，以及信息技術在探究過程中的作用. 本節課的小結具有開放性，親身經歷了完整探究過程的學生一定有自己最真切和強烈的感受，通過小結鍛煉學生的語言表達能力與歸納能力，關注不同層次的學生對所學內容的理解和掌握情況.

6. 拓展延伸，探究思考

思考1：你能通過類比，研究當[a<0，0

思考2：你能進一步研究“指冪差值函數”或“指對差值函數”的圖象特征和函數性質嗎？

思考3：（2022年全國新高考Ⅰ卷第22題第（2）小題）已知函數[fx=ex-x]，[gx=x-lnx]，證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

【設計意圖】本節課的學習為通過類比結論3得到結論4，甚至為進一步研究“指冪差值函數”或“指對差值函數”提供方法指導，讓學生體會化未知為已知的思想. 思考3是一道選編題，旨在應用本節課所學的知識與方法探索求解方法，提升學生運用數形結合思想解決問題的能力，發展學生的直觀想象素養．

7. 作業設計

（1）基礎練習.

練習1：函數[y=-x+lgx]在區間[0，+∞]上是（ ? ?）.

（A）嚴格增函數

（B）嚴格減函數

（C）先嚴格增，再嚴格減

（D）先嚴格減，再嚴格增

練習2：已知函數[fx=x-lnx]，若[fx≥a]恒成立，則實數[a]的取值范圍是（ ? ?）.

（A）[-∞，1] （B）[1，+∞]

（C）[-∞，e-1] （D）[-∞， 1e+1]

練習3：對于任意實數[a]，函數[y=xa+lnx]的圖象恒經過定點______．

練習4：已知函數[fx=1x-lgx]，則不等式[fx+1

練習5：若函數[fx=x2-logbx]（其中[b>1]）有唯一的零點，則[b]的值為______．

練習6：根據本節課結論3，類比得到結論4，并對其中的單調性加以證明．

（2）能力拓展.

練習7：（2022年全國新高考Ⅰ卷第22題第（2）小題）已知函數[fx=ex-x]，[gx=x-lnx]，證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

練習8：結合本節課的學習，以小組為單位，合作探究“指冪差值函數”或“指對差值函數”（二選一）的圖象與性質，完成一份研究報告．

【設計意圖】分層作業設計旨在關注學生的學習差異，使不同的學生在數學上得到不同的發展. 基于分層作業的彈性空間，學生充分展示自己的學習能力，收獲成功的喜悅，增強做數學作業的興趣，進而提高數學教學的質量．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020．

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.