技術助力教學 探究提升素養

常磊

摘 ?要：“函數[y=xa-logbx]的圖象與性質”一課選題新穎、導入自然，通過類比探究冪對差值函數. 課堂上，執教教師引導學生經歷“描繪具體函數圖象—歸納猜想函數共性—代數推理嚴格論證”的過程，帶領學生使用信息技術探究函數的圖象與性質，讓學生體會信息技術在數學教學中的作用，從而提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：信息技術；核心素養；探究函數；冪對差值函數

在“互聯網 +”時代，信息技術的廣泛應用對數學教育產生了深刻影響. 在數學教學中，信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段，為師生交流、生生交流搭建了平臺，為學習和教學提供了豐富的資源. 在數學課堂上，信息技術的有效使用可以優化教學，為學生理解概念創設背景，為學生探索規律啟發思路，為學生解決問題提供直觀，引導學生自主獲取資源.

信息技術與數學課程的深度融合，可以實現傳統教學手段難以達到的效果. 例如，利用信息技術可以展示函數的圖象、探究函數的性質，將幾何圖形直觀化、動態化，探究算法、研究編程，將數據繪制成合適的統計圖表，等等. 同時，還可以利用計算機的隨機模擬結果進行較大規模的計算.

“函數[y=xa-logbx]的圖象與性質”一課給人耳目一新、眼前一亮的感覺. 執教教師教學立意明確，總體設計清晰，關注學生數學核心素養的培養. 下面就這節課進行分析.

一、選題新穎，構造基本差值函數

“信息技術在探究函數的圖象與性質中的運用”是第十一屆高中青年數學教師課例展示活動的指定課題，該課題要求教師自主選擇一個新函數，借助代數推理和幾何直觀探究函數的圖象與性質，并通過函數的圖象和代數運算理解和解決問題. 本節課的探究對象是由冪函數與對數函數這兩個基本初等函數通過作差運算得到的新函數[y=xa-logbx]，新定義為“冪對差值函數”，來源于滬教版《普通高中教科書·數學》必修第一冊“4.3 對數函數”中的“探究與實踐”，基于對冪函數、指數函數與對數函數的增長速度比較的思考與對教材拓展內容的質疑. 該函數非常新穎，充分體現了執教教師對教材的鉆研，以及勇于探索、敢于挑戰的精神. 本節課是在已學知識的基礎上尋求新的突破，培養學生結合后續知識的學習解決前面問題的意識，實現了學生學習函數知識的系統性和連貫性，也為之后探究新的函數提供了方法指導，是高中數學函數學習的點睛之筆.

二、導入自然，使用數學方法研究

本節課執教教師從搭載問天實驗艙的長征五號B遙三運載火箭引入，然后結合教材“課后閱讀：火箭速度的計算公式”和“探究與實踐：冪函數、指數函數與對數函數增長速度的比較”引導學生通過比較，體會對數函數的增長速度.

執教教師利用“通過課前練習，我們發現對數函數的增長速度并非一直很慢，當x充分大時，冪函數與對數函數的差值構成的函數可能是嚴格增函數，今天我們就研究這一函數”導入新課，并板書課題“函數[y=xa-logbx]的圖象與性質”.

由實際問題引入新課自然流暢，接下來執教教師通過問題“回顧函數的學習經歷，探究一個新的函數主要探究哪些內容？”引導學生思考. 學生回答：定義域、值域、對稱性（奇偶性）、周期性、單調性、最值、極值點、零點、特殊點……

本節課是一節探究課，盡管冪函數和對數函數都是基本的、應用廣泛的函數，但是新函數[y=xa-][logbx]是冪對差值函數，同時又有兩個參數，如果研究方法不合適，也會帶來很多麻煩. 課堂教學中，學生在執教教師的引導下采用研究數學的一般路徑進行探究，很快對參數進行了合理分類，從特殊到一般進行探究，提升了學生的數學抽象和直觀想象素養.

三、動手操作，親歷研究函數的方法

執教教師引導學生使用Excle軟件進行列表、描點、連線，觀察函數圖象的形狀，學生通過調整數據，觀察圖象、總結規律，得到函數的性質. 教師舍得花時間給學生，讓學生不斷嘗試、觀察、討論、思考和總結. 學生在動手實踐的基礎上，經過深入思考積極討論，大膽質疑，并在課堂上分享了自己的得失，課堂氛圍積極，學生展示充分，并有學生能夠提出自己的困惑.

執教教師以恰時、恰點的提問加以引導，層層遞進，提高了學生的思維能力. 課堂上讓學生在實踐中體驗，在探究中進步，親歷探究一個新函數的圖象與性質的過程，讓學生感受信息技術在研究函數圖象與性質中的作用，也讓學生體會到了數學軟件的強大作用.

四、技術助力，體現信息技術的力量

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中指出：“教師應注重信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果.”本節課通過精心設計，充分利用了多種途徑的信息技術輔助教學. 在課前的學習活動中，讓學生在解決問題的過程中感受計算器的計算功能，在比較計算結果中增強數感. 在回顧冪函數和對數函數的性質時，通過課件演示動圖，清晰、快捷地鞏固已學知識. 課中設計了學生的動手操作活動，學生用Excel軟件描點、繪圖，通過觀察、分析和交流自主調整取點，在感知、體驗的基礎上內化形成新知，切實感受信息技術強大的數據處理與圖象繪制功能. 但也發現有一部分函數的性質不突出，存在一定的局限性，執教教師進而采用GeoGebra軟件演示冪對差值函數的圖象，分別改變a，b的值讓學生觀察函數圖象：a不變，改變b的值，發現函數圖象的單調性很明顯；b不變，改變a的值，如果a變大，函數圖象的單調性很明顯，當a變小時，感覺函數圖象有漸近線，但是不確定. 于是執教教師不改變縱坐標的值，只改變圖象橫坐標的值，將圖象縮小，開始時圖象好像有漸近線，但是隨著橫坐標的縮小，函數圖象的性質顯現出來了，這時學生驚奇地發現原來圖象是先減后增，沒有漸近線，函數有最小值. GeoGebra軟件的演示幫助學生更好地歸納了函數的共性，發展了學生的直觀想象和數學抽象素養.

執教教師的信息技術運用能力較強，對信息技術的使用恰到好處，提高了課堂教學的效能，更易于調動學生學習數學的熱情和積極探索的精神，啟發學生在將來自主創造工具，合理運用技術.

五、注重探究，引導學生深入思考

《標準》中指出：“通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.”注重數學基本活動經驗的體驗和積累是提升學生數學核心素養的有效途徑之一. 本節課從教材內容出發，在回顧已學的冪函數和對數函數的圖象與性質的基礎上，類比探究冪對差值函數的圖象與性質. 對于無法通過分析性質直接得到結論的情況，類比冪函數、指數函數與對數函數的探究過程，明確需要經歷“描繪具體函數圖象—歸納猜想函數共性—代數推理嚴格論證”的過程，并在探究過程中根據問題解決的需要不斷調整，實現知識的同化與順應.

例如，在課堂上學生大致了解了冪對差值函數[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時的圖象，那么它的性質是不是就確定了呢？執教教師通過信息技術讓學生大致了解了函數的圖象，但是要想真正理解函數的性質還需要用數學方法推理才能得到. 在執教教師的引導下，學生使用導數確定了函數的單調性，找到了函數的最小值，進而得到了冪對差值函數[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時的性質. 整堂課中，在執教教師的啟發和引導下，學生借助信息技術探究函數的性質，使用數學方法驗證函數的性質. 執教教師引導學生從知識內容和學習過程兩個方面總結自己的收獲，強調數形結合的思想方法和從特殊到一般的研究問題的方法，以及信息技術在探究過程中的作用. 理解數學方法的嚴謹性，通過探究冪對差值函數[y=xa-][logbx]的圖象與性質讓學生深刻理解數學思想方法.

六、作業布置，由課內延伸到課外

本節課的作業包含“基礎練習”和“能力拓展”兩部分，分層作業使得不同的學生在數學上能夠得到不同的發展，學生在分層作業的彈性空間中充分展示自己的學習能力. 同時，執教教師還給學生布置了思考作業：你能從冪對差值函數[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時的性質類比得到其在[a<0，0

信息技術作為一種認知工具，對于促進學生對數學本質的理解，以及發展學生的數學思維和數學能力等都有積極作用. 在數學學科上發揮著六個方面的作用：建構數學概念，發現數學結論，突破學習難點，改進課堂生態，增強數學表達，傳播數學技術. 教師要適應時代的發展，按照《標準》的要求，發揮信息技術直觀便捷、資源豐富的優勢，幫助學生發展數學核心素養.

本節課中，執教教師教態親切，過渡自然，課堂教學效果好，注重學法指導，信息技術的運用恰到好處，核心素養導向的問題化學習活動有序、有效，達成了預設的教學目標，發展了學生的數學核心素養. 這是一堂精彩的數學探究課.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.