“數學建模活動：測量學校內、外建筑物的高度”（第3課時）教學設計

盧龍

摘 ?要：在學生經歷了數學建模活動選題、開題、做題等環節的基礎上，進行以研究成果匯報為主題的結題展示交流活動. 在信息技術的支持下，通過小組測量及計算成果的展示，結合形式多樣、主體多元的綜合評價及應用函數模型解決實際問題，感知數學建模的完整過程，形成和發展數學核心素養.

關鍵詞：數學建模；測量高度；展示交流

一、教學內容解析

實際問題的函數建模是培養學生高層次思維、應用數學的意識及分析和解決問題的能力的重要載體. 本節課的內容來源于《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中的案例15“測量學校內、外建筑物的高度”. 對于運用所學知識解決實際高度測量的問題，學生從初中階段開始就有所接觸. 通過測量操場上旗桿的高度，學生了解了相似與全等知識在實際生活中的應用. 在高中階段學習三角函數和立體幾何知識后，再一次進行實際建筑物高度的測量，讓學生體驗數學建模活動的完整過程.

學校內的建筑物一般是底部可達的，學生可以通過構造直角三角形、計算樓層數和層高，以及數磚塊層數等簡單的方式來獲取建筑物的近似高度. 學校外部的建筑物一般是底部不可達的，測量時需要制訂完整的測量方案并選擇合適的模型進行計算，才能夠得到建筑物的近似高度.

根據《標準》中對數學建模活動與數學探究活動的教學提示，將“測量學校內、外建筑物的高度”課題研究分為3個課時進行. 第1課時，教師在課堂上組織開題交流，讓每個項目小組陳述初步測量方案，教師和其他學生可以提出疑問，在討論的基礎上，項目小組最終形成各自的測量方案. 學生需要撰寫開題報告，開題報告應該包括選題的意義、文獻綜述、解決問題的思路、研究計劃、預期結果等. 第2課時，帶領學生實地測量，以小組為單位，先測量校內一個建筑物的高度，再測量校外一個建筑物的高度，做好數據記錄和過程性資料的留存. 第3課時，呈現研究結果，教師組織學生進行結題匯報. 本節課呈現的是第3課時的教學內容.

基于以上分析，確定本節課的教學重點是：讓學生學會從實際問題中抽象出數學模型，解決測量建筑物高度的問題，體驗數學建模的完整過程，體會數學在實際生活中的應用.

二、教學目標設置

本節課的教學目標設置如下.

（1）經歷數學建模活動的基本過程，體會數學建模思想.

（2）能對現實問題進行數學抽象，制訂合理的測量方案，準確收集數據，正確分析數據，建立適當的函數模型，利用信息技術工具求解模型、檢驗模型、優化模型，最終達到解決實際問題的目的.

（3）感受數學來源于生活并能應用于生活，用數學知識和方法可以解決實際生活中的問題，體驗數學在生活中的價值，激發學生學習數學、應用數學的興趣. 以小組為單位，在討論方案、實地測量、探索建模的過程中提升創新能力，體驗成功的喜悅，同時培養團隊協作的意識.

三、學生學情分析

測量高度是傳統的數學應用問題，與實際生活密切相關，學生在初中階段學習平面幾何中的勾股定理及三角形全等與相似知識后就可以解決此類問題. 本次數學建模活動的對象為高二年級的學生，學生思維活躍，具有一定自主探究與合作學習的能力，能運用信息技術解決簡單的數據運算問題. 從數學知識角度來看，學生學習了任意角的三角函數和三角函數的圖象與性質，掌握了解三角形的不同方法；學習了空間幾何體的相關性質與運算，會將實際生活中的問題抽象成數學問題，并用數學的語言來表達. 從物理知識角度來看，學生學習了自由落體運動，知道光沿直線傳播等基本原理. 但是將理論知識轉化成實踐的能力還有所欠缺，解決實際問題的經驗還不夠豐富. 對于如何準確利用已有工具測量仰角、如何優化模型得到最優解等，還需要教師進行指導.

因此，確定本節課的教學難點是：選擇合適的測量方案和測量工具測量相關數據.

四、教學策略分析

（一）依據數學建模活動的內容和要求組織教學材料

通過精心設計的開題問題，引導學生利用已有的知識儲備思考實際問題，在解決實際問題的過程中構建函數模型開展數學建模活動，歸納出數學建模活動的一般方法，幫助學生形成完整的認知結構.

（二）依據學情組織教學活動

根據學生的思維特點和認知基礎，對教學重點和教學難點內容（模型的建立、檢驗與優化等）采用核心任務探究的教學方式，在每個核心任務下設置子任務，通過獨立思考、小組合作、展示交流、互評反思等師生活動來強化教學重點、突破教學難點. 學生在嘗試和探索中掌握數學建模活動的數學思想和一般方法.

（三）突出數學思想方法的提煉和滲透

在引導學生主動建構數學知識的同時，保持積極有效的思維活動，培養學生的批判性思維和開放性視野，提升學生分析問題和解決問題的能力，以及交流合作和用數學語言表達的能力，發展學生的數學建模、數學抽象、數據分析、數學運算、邏輯推理和直觀想象素養.

（四）運用“互聯網 +”提高教學效率

學生借助數學軟件和圖形計算器求解模型，體會信息技術在科學研究過程中起到的重要作用.

五、教學過程設計

由于本次數學建模活動是指定課題，學生不需要經歷選題的過程，因此共分為3個課時來完成，分別為開題、做題和結題. 前期已經完成前兩部分，本節課為本次活動的第3課時，即結題匯報環節.

（一）開題

開題部分用1個課時來完成，課前提供了研究課題，設置了開題任務單，讓學生通過復習回顧、調查研究、查閱資料等方式思考以下問題，并在課堂上進行解決.

（1）測量什么建筑物？

（2）如何測量？理論依據是什么？至少設計兩套方案.

（3）需要的測量工具和計算工具有哪些？可能會遇到哪些實際困難？怎么解決？

【設計意圖】培養學生通過查閱資料、請教師長、自主思考、小組探討等途徑獲取信息和分析問題的能力.

（二）做題

做題部分用1個課時來完成，學生以小組為單位進行實地測量并記錄數據，隨后求解模型、修改模型，并進行誤差分析等.

【設計意圖】讓每位學生親身經歷通過實驗收集數據的過程，感受建立數學模型解決實際問題的過程. 通過對結果的分析，讓學生認識到實際測量會產生誤差，進而分析誤差產生的原因，探究減小誤差的方法.

（三）結題

1. 前情回顧

教師帶領學生簡要回顧本次數學建模活動前期經歷的過程，包含開題和做題兩個重要環節. 開題部分，學生通過小組討論、查閱資料、詢問教師等多種方式探討了測量建筑物高度的方案. 每個小組根據實際情況撰寫了開題報告，并設計了至少兩種測量方案. 做題部分，對校內建筑物的測量由小組自行選擇時間開展活動，對校外建筑物的測量由教師帶領全班學生在同一時間開展.

【設計意圖】通過對之前活動的回顧，讓學生體會數學建模的過程，為本節課的活動作好鋪墊. 同時展示學生課下測量的照片等，提高學生對本節課的探究興趣.

校內建筑物底部可達，測量較為容易. 各小組上交方案后，由教師進行匯總分析，共展示7種不同的測量方案. 具體的測量方案與對應模型如下.（記建筑物AB的高為H.）

方案1：單點位測仰角法（如圖1）；單點位測仰角與俯角法（如圖2）.

單點位測仰角法中，[H=atanα+h]；單點位測仰角與俯角法中，[H=n+m=atanα+atanβ.]

方案2：用等比例法同時刻測量物高與影長（如圖3）.

建筑物AB的高[H=bha].

方案3：臺階總數 × 每級臺階的高度.（假設每級臺階高度相同.）

方案4：樓層數 × 每層樓的高度.（假設每層樓高度相同.）

方案5：自由落體運動實驗.

方案6：在樓頂直接測量高度.（建筑物樓頂可達且高度有限.）

方案7：利用Phyphox軟件測量.

【設計意圖】校內建筑物的測量較為容易，學生設計的方案簡單易操作，由教師進行成果匯總展示，留下更多的時間和空間讓學生匯報校外建筑物的測量方案和測量結果.

各小組經過討論，對校外建筑物的測量都選擇了西安市地標性建筑物——大雁塔（在學校操場上可以看到）. 測量地點選定了三處，分別為學校操場、大慈恩寺外和大慈恩寺內.

2. 展示交流

分析比對學生提交的數學建模成果，選擇具有代表性的成果進行課堂展示交流.（但提前不告訴學生，以免影響學生課堂學習的積極性.）

（1）組1展示交流.

① 選擇測量的建筑物及選擇原因.

選擇測量大雁塔. 因為大雁塔聞名中外，用所學的知識解決對它的高度的測量問題，對我們來說是一個很好的實踐活動.

② 測量方案及模型選擇.

經查閱資料及詢問相關工作人員，得知大雁塔周圍樹木掩映，遮擋物較多，塔底不具備單點位測量的條件. 我們組在與《海島算經》相關的高考試題的啟發下，建立了雙點位測量的模型，如圖4所示.

在該模型中，需要知道兩個測量點D，E到塔的頂點B的仰角及兩個測量點間的距離[a，] 從而利用三角函數相關知識計算出塔[AB]的高度[H=BC+h=atanαtanβtanα-tanβ+h.]

在探討過程中，考慮到仰角的正切值可以利用三角形邊之間的比值來獲得. 圖4中的[l]為比人略高的標桿，借助標桿高度、目高和人桿距可得兩次仰角的正切值，故此方案不用測量仰角的大小. 計算公式為[H=al-hd2-d1+h.]

注意到在圖4中有一個[△BCD]與兩次測量的仰角和距離均有關系，于是考慮在該三角形中用所學的正弦定理來計算[BD]的長，從而計算[BC.] 加上目高即可得塔高[H=asinαsinβsinα-β+h.]

我們采用的測量仰角的工具是自制測傾器，自制測傾器用到的工具有大量角器（度盤）、三腳架和鉛錘.

③ 測量數據.

分別利用公式[H=al-hd2-d1+h]和[H=asinαsinβsinα-β+h]對大雁塔的高度進行3次測量，測量數據如表1和表2所示.（記桿高[l為2 m，] 目高[h][為1.62 m].）

基于上述測量數據，求得大雁塔高度的平均值為69.37 m.

④ 結果及誤差分析.

經測量，校內建筑物的高度為[25.4 m，] 與實際高度相差[0.1 m;] 大雁塔的高度為[69.37 m，] 與實際高度[64.5 m]相差較大. 于是我們進行了誤差分析和模型應用. 由于校內建筑物底部可達，便于測量，因此測量結果較為精確. 大雁塔的測量結果誤差較大，考慮到是由大慈恩寺內地面不平整，測量數據較多，且測量的仰角精度不高等原因造成的. 隨后，為了驗證模型的可行性并且對模型進行應用，我們測量了位于學校操場西邊校園外的一座底部不可達的建筑物，結果為[85.2 m，] 與實際高度[85.7 m]相差較小，說明模型具有可行性.

解決教師提出的問題：如何用一張A4紙測量大雁塔的高度？

根據小組建立的測量模型，在實際測量時需要測量仰角以計算其正切值，而A4紙的長度和寬度為定值，沿對角線折疊以后會產生兩個正切值已知的銳角，可以作為天然的測傾器來使用，從而可以根據測量數據計算出大雁塔的高度. 測量模型如圖5所示.

模型計算公式：[H+c-d+a-1.5tanβ-H+c-d-1.5tanα=b.] 計算結果為[65.1 m.]（記目高為1.5 m，兩個測量點間的距離為[b].）

⑤ 活動感受.

測量底部不可達的建筑物高度的核心是測量長度和角度，靈活利用手邊可以利用的工具開展測量活動.

正所謂“預則立，不預則廢”. 在進行實踐活動之前，應該充分準備，提前制訂方案，并且要詳細計劃，預設可能遇到的實際問題并確定解決方案.

（2）組2展示交流.

① 模型展示.

實際測量時，考慮到雙點位測量過程中兩個測量點與塔心共線這一要求較難達到，于是對模型進行了改進，如圖6所示.

圖6中，[M，N]兩點為測量點，測出這兩點與塔心的夾角及兩點間的距離，再測出某個測量點處到塔尖的仰角，即可計算出塔高. 考慮到大雁塔底部不可達，因此角[α，β]無法準確測量，于是優化模型如圖7所示. 為了便于觀察，圖中略去了目高，利用指南針，將兩個測量點分別放在塔的正南方和正西方. 這樣，塔心與兩個測量點之間的夾角為直角，只需要測量兩次測量點處的仰角[α 和 β]、距離[a]和目高[h，] 即可用公式[H=atanαtanβtan2α+tan2β+h]計算出塔的高度. 但是這個模型依然面臨一個實際測量的困難，即兩個測量點之間的距離由于有遮擋物而無法測量，于是對模型又進行了優化. 如圖8，將底面三角形的直角頂點作為一個測量點，選取合適的距離作為另一個測量點，分別測量兩個測量點處的仰角[α 和 β]、兩點間的距離[a]及目高[h，] 即可利用公式[H=atanαtanβtan2β-tan2α+h]計算出塔的高度.

我們組確定的另外一個方案是給待測量建筑物拍照，利用比例尺的原理通過已知參照物的高度來計算建筑物的高度. 在實際測量時發現該方法測量出來的大雁塔的高度為[31.6 m，] 還不到實際高度的一半. 改變拍攝位置、拍攝角度和拍攝參照物，依然有非常大的誤差，該方法并不適合用于測量大雁塔. 經過小組分析，原因在于拍攝的位置與大雁塔距離較近，塔身有一定的高度，拍攝時會存在仰角，導致塔的上半部分比例失調. 考慮到此方法的理論可行性，小組認為，找到合適的拍攝位置，且參照物與塔身距離足夠近時，誤差相對較小. 此方案在本次測量活動中以失敗告終.

② 數據運算.

我們組對數據的計算利用了圖形計算器，它的優勢是對于同一模型可以在編輯好公式后，輸入不同的數據反復運算，提高了運算速度.

最終通過雙點位共線測量的方法測得塔高為[64.81 m，] 通過雙點位不共線測量的方法測得塔高為[64.80 m.] 兩次測量結果非常接近，與大雁塔的實際高度相差較小，說明在減小誤差方面的舉措是成功的.

③ 活動感受.

我們組在探討方案時還提到了利用放風箏的方法，通過計算風箏線與地面夾角的正切值來測算塔高，但是出于對文物的保護，以及風箏線自身的重力無法忽略不計等原因，沒有通過. 另外，還想通過氣壓計測量氣壓差來測算高度，此方案受限于塔頂不可達和空氣密度不均勻等實際因素，仍然沒有通過. 拍照利用比例尺的方法提醒我們，現實和理想是有差距的，有些時候理論上很完美的事情，在實際執行時會遇到各種各樣的困難.

（3）組3展示交流.

① 校內建筑物的測量.

校內建筑物采用Phyphox軟件測量，該軟件可以實現對一些生活中基本物理量的測量，可以根據電梯的運行速度及時間來計算運行高度. 通過此軟件，測量出校園內崇是樓的高度為[18.88 m，] 與真實值[18.9 m]相差較小.

② 校外建筑物的測量.

校外建筑物采用平面鏡兩次觀測塔頂的方式來測量，模型如圖9所示.

其中[M，N]兩點為平面鏡放置位置，為了盡可能減小誤差，在平面鏡上找一個標記點為眼睛看到塔頂的位置，同時測量了三組數據取其平均值. 計算公式為[H=hcb-a，] 統計數據如表3所示.

經過計算，得到大雁塔的平均測量高度約為[64.9 m，] 與實際高度相差較小.

【設計意圖】小組展示交流活動是本節課非常重要的一個環節，是本節課實現教學目標、突出教學重點、突破教學難點的有力活動支撐，也是對課下學生做題活動的肯定，同時為接下來的模型評價環節奠定了基礎.

3. 評價提升

模型評價環節通過對所建立的數學模型進行評價，讓學生更加深入地分析不同模型的優點、缺點及可行性等，從中體會數學與生活的聯系，感受數學建模活動的成果及其應用價值.

（1）教師評價.

從模型的可行性、誤差大小及小組成員探索問題的精神等方面進行評價.

組1的模型是各個小組都用到的模型，該組在測量和運算兩個方面都有亮點，測量時利用了測量標桿等數據來計算正切值的思路，并且采用自制的測傾器對仰角進行了測量，具備很強的動手能力；計算時用到了正弦定理，體現了對所學知識的靈活運用及轉化與化歸的思想. 通過測量另外一座建筑物，對模型進行可行性驗證. 但是測量結果誤差較大，還需要繼續探討減小誤差的方法.

組2建立的模型為立體幾何模型，并且進行了多次模型優化，在計算時還考慮到了三垂線定理，知識運用很全面. 計算采用了圖形計算器，借助工具，使得運算便捷. 測量結果誤差較小，可以嘗試推廣.

組3的模型運算簡單，數據易測，使用的工具也很便捷，測量校內建筑物時還有效利用了手機軟件，方法獨特. 此方法由于人為觀測的原因，易產生較大誤差，可以繼續思考怎樣做能夠減小誤差.

【設計意圖】通過教師的引導讓學生了解如何對模型進行評價，體現了教師“教”的主導地位，同時通過教師的評價，讓學生感受評價的方式也是實現本節課的教學目標、突出教學重點、突破教學難點的重要載體.

（2）小組自評與互評.

開展課堂小組討論活動，通過小組內部討論，結合自己小組的模型選定一個模型在課堂上進行評價，每個小組選派一名代表發言.

組1學生代表評價組2的模型：首先，組2的模型與其他組的都不同，他們考慮到實際情況，建立了立體幾何的模型，并且有多次對模型進行優化的過程. 計算數據時，也考慮到了幾何關系，應用了三垂線定理. 值得我們學習.

組2學生代表評價組3的模型：組3是我們一起測量時所帶的儀器最少的，測量時也非常便捷，他們化繁為簡，值得我們學習. 但是他們的測量誤差較大，應該考慮多換幾個方向去測量.

組3學生代表評價本組的模型：我們組的模型測量數據為長度和高度，相比于其他模型，沒有測角的過程，測量簡單、運算簡潔，可行性較高.

組4學生代表評價組2的模型：組2在建立模型過程中遇到困難時能夠及時解決，不輕言放棄的精神值得我們學習.

組5學生代表評價組1的模型：組1解決了用[A4]紙測量大雁塔高度的問題，非常不可思議，利用手邊最簡單的工具，結合所學知識，解決實際測量問題，是生活數學化的最好體現.

組6學生代表評價組2的模型：組2在模型求解時運用了圖形計算器，使得運算過程簡單、準確，在測量時所用的工具也獨樹一幟.

【設計意圖】通過自評與互評，讓學生感受相互學習、交流的重要性和必要性，在發現他人優點的同時也關注自身建模活動過程中存在的問題，為后期改進、優化模型奠定基礎. 同時，讓更多學生參與到課堂活動中來.

4. 模型應用

各小組設計的測量方案，建立的測量模型可行性如何呢？課后嘗試去測量西安“西部之光”電視塔的高度.

教師介紹從古至今測量高度用到的工具，包括現在常用的全站儀、激光測距儀、無人機等，讓學生感受精密的測量儀器使用的也是最基本的數學原理，我國對于高度的探索從未停止. 從而引發學生思考：如何測量一座山的高度？進而引出對珠穆朗瑪峰高程的測量，以及我國連同尼泊爾對珠穆朗瑪峰新的高程的測定結果——[8 848.86 m，] 這是世界新的高度！

【設計意圖】讓學生感受數學來源于生活、應用于生活，從而解決生活中的問題，激發學生的求知欲和探索欲，提升學生的民族自豪感. 本環節是實現本節課育人目標的重要載體.

5. 小結提升

學生回憶本節課的主要內容，教師引導學生從多方面來思考和表達. 學生自述，教師補充總結，同時完善板書.

（1）對于底部可達與底部不可達的建筑物，從平面與空間，以及數學與物理等角度看，有多種不同的測高方式.

（2）數學建模活動的基本步驟，如圖10所示.

[不符合實際][實際情境][提出問題][建立模型][實際結果][檢驗結果][求解模型][符合實際][圖10]

6. 作業布置

基礎作業：查閱資料，了解更多我國關于測量的歷史與現狀.

【設計意圖】學生課下獨立完成，通過查閱資料，對本次數學建模活動的研究意義和價值有更深入的認識.

拓展作業：（1）總結本次數學建模活動經驗，以小組為單位嘗試測量西安“西部之光”電視塔的高度.

（2）修改完成本次數學建模活動的結題報告.

【設計意圖】模型的推廣與應用是數學建模活動的一部分，應用模型解決實際問題，為下一次的數學建模活動作好準備，課下小組合作完成.

六、課后反思

（一）珍惜建模機會，發展數學建模素養

數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程. 各版本的教材中，以數學知識及其蘊含的數學思想和方法為主要學習任務的課程內容中滲透數學建模的學習，使學生在潛移默化中了解了數學建模的基本思想、基本過程與步驟，掌握了數學建模活動不同環節的“操作要領”，并使學生建立數學模型解決實際問題的技能得到了循序漸進的鍛煉，從而為開展數學建模課題研究作好了必要的準備. 現在帶領學生走出課堂，實地測量，讓學生經歷完整的“選題—開題—做題—結題”數學建模活動過程，在做中學、做中思，不斷發現問題、分析問題、解決問題，通過開展識模、建模、解模、驗模的活動提升思維能力，發展數學建模素養.

（二）師生不斷學習，適應角色要求

數學建模素養是一種綜合素養，數學建模活動是一種綜合實踐活動，涉及的知識、方法和能力其實不只在數學中. 做好數學建模活動的教學，也需要以教師的綜合能力為保障. 教師應該樹立終身學習意識，適應各種角色. 教師提高數學建模活動教學能力的最直接途徑就是投身其中，積極開展數學建模活動的教學案例研究. 筆者認為，在整個數學建模活動過程中，教師應該是一個多樣的導師角色，絕對不能用自己的知識儲備代替學生發現問題和解決問題的過程. 教師應該把握好指導的時機和內容，讓學生經歷數學抽象的過程得到模型，從而真正提升學生解決問題的能力和思維品質.

（三）抓住實踐拓展，落實學科育人

數學學科育人要發揮數學的內在力量. 數學教育要引導學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，促進思維能力，提升實踐能力，發展創新意識，動手解決實際問題，建立相應的數學模型并求解，在實踐活動中將書本知識與實踐能力相結合.

這次跨學科（數學、物理、地理等）實踐活動，提醒學生要有團隊合作素養和意識. 為了落實數學學科的育人目標，教師還要從現實生活中的例子（珠穆朗瑪峰高度的測量）出發，讓學生感受數學在生活中的廣泛應用，激發學生學習數學的熱情. 另外，筆者還通過“測量文化”的搜集與交流展示，讓學生獲得了民族自豪感，增強了學生的文化自信.

（四）抓住評價機會，促進學生發展

設置數學建模活動旨在加強數學與學生現實生活的聯系，培養學生數學地觀察周圍世界，逐步學會從數學的角度發現和提出問題，用數學的方法分析和解決現實問題，從而改變單純而機械的解題操練，形成多樣化的學習方式.

通過學生的展示，結合學生和教師的評價，學生在交流的過程中既展現了個性，又學會了交流及明辨優劣. 借助評價，教師和學生的獲得感大幅度提升，這有利于本節課教學目標的順利實現. 在本次數學建模活動中，學生表現出了非常高的熱情，整個活動中學生的綜合能力得到了明顯的提升. 關注數學核心素養發展的連續性和階段性特點，數學建模活動的開展應該常態化、系列化，將主動探索、積極驗證的動手操作過程變成真實的活動過程，鼓勵學生深度學習.

（五）待完善的選題環節

本次數學建模活動為指定課題，學生經歷了選擇測量什么樣的建筑物的過程，但并未經歷完整的選擇研究什么樣的問題的過程，教師在教學過程中滲透了從實際生活中發現問題、提出問題的必要性，后期開展數學建模活動時可以嘗試讓學生自己發現問題，給學生足夠的探索空間，經歷通過討論確定選題的過程，這更有利于提高學生進行實踐活動的積極性.

參考文獻：

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