葉片安裝角偏差對動葉性能影響的不確定性研究

李玉,楚武利,姬田園

(西北工業大學動力與能源學院,710129,西安)

葉片是構成壓氣機的基本結構單元,對流過壓氣機的氣流進行加功,以此提高壓氣機出口的氣流壓力。壓氣機動葉旋轉和氣流發生能量轉換,將一部分能量轉化為壓力的升高。壓氣機葉片的生產質量與幾何型面的精度在很大程度上直接決定著航空發動機的工作性能,因此有必要針對壓氣機葉片加工誤差影響氣動性能的問題開展研究。在2003年,Garzon等[1]檢測了壓氣機大量實體葉片,將實際測量的葉型數據與設計葉型進行對比可看出,實際葉片實體與理論葉型存在不同程度的偏差。

國內外學者對扭轉度誤差進行了較多的研究表明,葉型扭轉對壓氣機影響較大。高麗敏等[2]采用數值模擬手段得出,0.5°的葉型扭轉角偏差造成的損失增加高達46.56%。鄭似玉等[3-4]對某多級高壓壓氣機的后面級,采用數值模擬方法和高斯概率密度函數的理論分析相結合的方法,選取扭轉度、位置度、輪廓度3種典型加工偏差進行敏感性分析。鄭覃等[5]針對跨聲速壓氣機轉子,采用準二維的數值方法,進行對最大厚度位置、安裝角等的敏感性分析發現,安裝角偏差對激波結構、葉型表面附面層厚度的影響最為顯著。Lange等[6-8]研究了動葉安裝角、最大厚度對高壓壓氣機氣動性能的影響。Lebele等[9]研究表明,葉片的扭轉會導致氣流轉折角增加,從而增加壓氣機的耗功,降低壓氣機的等熵效率。Fathi等[10]對渦輪葉片的扭轉度、位置度、前尾緣厚度及輪廓度這4種偏差進行了敏感性分析。Bammert等[11]研究表明,安裝角的加工誤差對出口氣流角的變化相對較大。

壓氣機在運行過程中,進出口氣流條件、模型、葉表粗糙度和葉片幾何參數的隨機性均會嚴重影響壓氣機性能。Garzon等[1]對壓氣機葉片的大量測量數據表明,加工誤差表現出高度的隨機性,會導致葉片幾何不確定性,進而對壓氣機氣動性能造成不確定性的影響。由于確定性分析沒有考慮到不確定性因素的影響[12],近年來,國內學者針對加工偏差的不確定性問題展開了大量研究,并自主發展了多種數學方法應用其中。郭正濤等[13]提出了一種由法向加工誤差導致的葉片表面幾何不確定性降階模型,通過給定加工誤差分布的標準差函數求解該模型,并對該模型概率分布構成的空間使用Halton抽樣,最終訓練自主發展的人工神經網絡作為代理模型,分析某高負荷壓氣機葉柵的幾何偏差影響。郭正濤等[14]還發展了基于高斯分布型輸入的非嵌入式混沌多項式,研究分析端壁倒圓半徑誤差對葉柵性能的不確定性影響。羅佳奇等[15]建立了基于伴隨方法的葉片加工偏差不確定性靈敏度分析方法,結合羅特卡羅方法,得到氣動性能的概率密度函數分布,該方法可以用來預測加工氣動性能偏差。傅玨等[16]研究葉頂間隙幾何不確定性對Krain離心葉輪效率、壓比性能統計變化規律的影響。趙軻等[17]研究表明,混沌多項式方法能大幅提高穩健型優化設計效率。由此可見,不確定性方法眾多,其中多項式混沌法在低維不確定性求解問題中得到了廣泛應用,多項式混沌法分為嵌入式混沌多項式(IPC)和非嵌入式混沌多項式(NIPC)。IPC需要對模型進行大量修改,而NIPC采用已有的數值模擬程序,不需要對控制方程和程序進行修改,其應用更為廣泛[18]。

目前對安裝角不確定性影響的研究甚少,本文采用自主編制的非嵌入式混沌多項式(NIPC)程序,將基于NIPC的不確定量化分析應用到葉片安裝角偏差對跨聲速壓氣機轉子的不確定性影響的研究中。將NIPC結合蒙特卡羅抽樣,獲得輸出變量的概率分布和統計值,探討安裝角偏差與性能的相關性,繼而得到安裝角偏差與總壓比和絕熱效率的函數關系式。本文分別在峰值效率工況和近失速工況下進行流場分析,并結合耗散函數說明安裝角偏差對動葉損失的不確定性影響機理,有利于深刻認識安裝角偏差對壓氣機氣動性能和流場的影響,同時為分析葉片加工偏差對壓氣機的不確定性影響提供理論基礎。

1 研究對象及方法

1.1 研究對象

本文研究對象是跨聲速軸流壓氣機轉子NASA Rotor 37,由NASA Lewis研究中心為研究載荷和展弦比對壓氣機氣動性能的影響而設計,它擁有大量的實驗數據[19],對于開展理論研究有重要的指導意義。該轉子的主要氣動設計參數和幾何結構參數如表1所示。

表1 Rotor 37的設計參數

1.2 數值方法及驗證

采用NUMECA中Fine/Turbo模塊進行三維定常數值計算,進口邊界條件給定總溫為288 K,總壓為101 325 Pa,采用軸向進氣,出口邊界給定背壓,固體壁面為絕熱無滑移邊界。經過數值校核,本文采用SA湍流模型,時間離散格式為二階迎風格式。網格劃分通過Autogird5模塊完成,總網格數為107萬,主通道網格拓撲為O-4H型網格拓撲結構。

主通道沿軸向、徑向和周向的網格點數分別為195、97、55,葉頂間隙采用蝶形網格拓撲結構,點數設置為41。如圖1所示,第一層尺度設置為3×10-6m,使得y+小于2。在近失速工況下,出口處的周向平均總壓比和絕熱效率沿徑向分布的對比見圖2。計算結果與實驗結果整體趨勢上吻合良好,較好地反映了總壓比和效率的徑向分布規律。

圖1 Rotor 37 網格示意圖Fig.1 Grid diagram of Rotor 37

圖3給出了近失速工況下,95%葉高截面相對馬赫數分布對比,發現數值模擬所捕獲的通道中的激波結構、位置及葉頂泄漏渦渦核軌跡與實驗大致吻合,說明數值模擬結果可靠。

(a)絕熱效率

(b)總壓比

(a)實驗

(b)數值模擬

1.3 安裝角偏差概率分布

葉片安裝角偏差指葉片在加工時所產生的角向位置偏差,即葉片繞積疊軸旋轉的角度,本文認為葉片的積疊軸為各葉高截面重心的連線。安裝角偏差為負代表葉片安裝角“關閉”,葉片繞積疊軸順時針旋轉。安裝角偏差為正代表葉片安裝角“打開”,葉片繞積疊軸逆時針旋轉。已有研究表明[20],當葉片數量足夠多時,加工偏差滿足正態分布,因此認為本文所研究的安裝角偏差服從零均值的正態分布,概率密度函數為

(1)

式中:a為均值;δ2為方差。

根據文獻[21]指出,葉型的安裝角偏差β是指葉型繞順時針方向轉動0.5β、逆時針方向轉動0.5β形成的角度。推薦的安裝角偏差如表2所示,選取5級精度等級,安裝角偏差β為1°,則安裝角正負變化0.5°。根據正態分布的3δ原則,在±3δ的誤差范圍內其置信區間可達整個誤差范圍的99.74%,選擇置信區間為(-0.5°,0.5°),則安裝角偏差分布服從正態分布N(0,0.166 7)。

表2 葉型安裝角公差精度等級

2 不確定量化方法

本文采用自主編制的非嵌入式混沌多項式(NIPC)程序對不確定性量化方法展開研究。根據Wiener的研究[22],多項式混沌本質上是用多項式對隨機變量進行級數展開,并將隨機變量的隨機特性轉移到多項式系數上,通過求解多項式系數,可以得到輸出變量的統計學意義的變量。

選用Hermite正交多項式構造多項式Z(θ),設Z(θ)是概率空間上關于隨機變量θ的隨機過程,則

(2)

式中:Hn(ξi1,…,ξin)是隨機變量ξ=(ξi1,…,ξin)的n階Hermite多項式,表達式為

(3)

(4)

式中:參數P由多項式有限階數j和變量有限維數k共同決定

(5)

接下來通過Galerkin投影法求得混沌多項式展開系數

(6)

式中:〈〉表示內積;w(ξ)代表正交多項式的權函數。

采用Gauss-Hermite數值積分公式計算式(16)后,式(6)可寫為

(7)

式中:m為積分點個數;Aj為對應各采樣點的積分權值,表達式為

(8)

由此可以得到混沌多項式各項系數。然后,根據Hermite多項式的正交性,易求得輸出變量的均值和標準差分別為

(9)

(10)

本文研究的葉型誤差為單變量誤差,故選取一元非線性試驗函數對不同NIPC階數的精度進行檢驗,試驗函數如下

Y=f(x)=

(11)

式中:x服從N(0,1)分布。

當采集的樣本數量足夠多時,認為蒙特卡羅抽樣(MCS)方法所模擬的結果能夠代表理論結果,可以檢驗NIPC的精度。蔡宇桐課題組研究得出4階或5階NIPC方法基本滿足精度要求[23]。表3給出了使用不同階數的NIPC方法和MCS方法針對試驗函數的統計結果,其中N1代表使用MCS方法所需要的樣本數量,N2代表使用NIPC方法所需要的樣本數量,e2代表NIPC模型響應與試驗函數相應的均方誤差,它可以表征NIPC輸出的擬合函數對試驗函數的擬合精度。試驗函數中的變量x服從N(0,1)分布,自變量在±3δ的變化范圍占完整正態分布概率的99.73%,x在[-3,3]內等距取1 001個點,e2定義如下

(12)

式中:H(x)為多項式混沌展開式。

從表3中看出,相較于MCS方法,使用NIPC方法明顯可以大幅度降低樣本數量,提升計算效率。對比不同階數的NIPC發現,當NIPC階數為5時,均值為3.654 024 6,且均方誤差的精度達10-8量級。隨著階數提高到6,均值保持不變,均方誤差的精度量級依舊是10-8。階數提高到7時,均值保持不變,均方誤差的精度達10-10量級?？紤]到5階NIPC方法計算精度已足夠高,且能節省計算時間,因此,本文選用6點5階NIPC方法進行不確定性分析。

表3 一元非線性試驗函數試驗結果

3 結果與討論

3.1 氣動性能統計分析

統一質量流量進行統計學分析,選取質量流量20.61 kg/s為峰值效率工況,質量流量18.84 kg/s為近失速工況。在給定流量的條件下,分別在峰值效率工況和近失速工況下進行性能的統計分析。

在不確定量化分析過程中,可以使用具有統計意義的變量來評價誤差影響。均值μ表示性能或穩定性相對于原型的平均偏移程度,標準差δ用于量化性能或穩定性受誤差不確定性影響偏離均值的波動程度,引入標準差與均值的比值δ/μ來除去均值的影響,表示受誤差影響的敏感性。圖4給出兩工況下具有安裝角偏差時總壓比π和絕熱效率η的均值μ與原型值的比較,發現安裝角偏差的波動幾乎不會對性能的平均水平造成影響。

圖5展示了峰值效率工況(PE)和近失速工況(NS)下轉子性能參數的δ和δ/μ。從圖中看出,安裝角偏差對氣動性能的影響程度與所處工況有關,NS絕熱效率的δ和δ/μ均大于PE絕熱效率。這說明安裝角偏差不確定性對近失速工況下絕熱效率的影響更大,也說明近失速工況下的損失受安裝角不確定性的影響擾動更強。PE總壓比的δ和δ/μ大于NS總壓比,說明PE工況下的總壓比相比較NS工況對安裝角偏差的不確定性更敏感。近失速工況下,絕熱效率的相對波動幅度相比較峰值效率工況增加了22.95%,峰值效率工況下,總壓比的相對波動幅度遠大于近失速工況。綜上可知,安裝角誤差對轉子性能的平均水平造成的影響微弱,但會影響轉子性能的波動程度。

(a)絕熱效率

(b)總壓比

(a)絕熱效率

(b)總壓比

采用蒙特卡羅法在安裝角偏差N(0,0.166 7)的概率空間內隨機抽取100 000個樣本,然后用NIPC所得模型預測這100 000個樣本的輸出響應,得到總壓比和效率在峰值效率工況下概率分布,如圖6所示。結果顯示,總壓比、絕熱效率近似服從正態分布,而安裝角偏差也服從正態分布,這說明了安裝角偏差與峰值效率工況下的總壓比和絕熱效率的線性關系較好。

(a)總壓比

(b)絕熱效率

圖7給出了近失速工況下性能參數的概率分布,發現總壓比和絕熱效率的分布與正態分布擬合效果良好,可見近失速工況下,總壓比和絕熱效率與安裝角偏差的線性關系也較好。

(a)總壓比

(b)絕熱效率

觀察圖6和圖7可知,安裝角偏差使得平均氣動參數產生了輕微下降。

3.2 相關性探討

為證實上文提到的性能參數與安裝角誤差之間的線性關聯性,引入Spearman和Pearson相關性分析,分別在兩種工況下探討安裝角偏差與性能的相關性。

Spearman相關性分析對要分析的兩個變量的分布不作要求,數據錯誤和異常值對Spearman相關性系數的影響很小。用于評估兩個變量之間的單調相關性,在單調關系里,隨著某一變量的增加,另一個變量也一起增加,但并不一定是隨之線性增加。Spearman系數為1時,代表單調正相關,Spearman系數為-1時,代表單調負相關。相關系數的絕對值越接近于1,單調相關程度越強。Spearman系數ρS計算公式如下

(13)

式中:d表示兩變量排序后秩次差值;n表示樣本數目;-1≤ρS≤1。

Pearson相關性分析用于評估兩個連續變量之間是否具有線性關系,需要被分析的兩個變量滿足正態分布,異常值會對其結果造成很大的影響。Pearson系數取值為[-1,1],絕對值越大,線性相關程度越強,其值為1時,代表線性正相關。需要注意的是,當兩個變量滿足線性相關時,說明一定滿足單調相關。當兩個變量滿足單調相關時,并不一定滿足線性相關。Pearson系數ρ計算公式為

(14)

針對蒙特卡羅抽樣生成的105個樣本,運用Spearman相關性分析,得到輸出與輸入之間的相關性系數,結果如表4所示。從表中得知,兩工況下總壓比與安裝角偏差呈單調正相關,絕熱效率與安裝角偏差呈單調負相關。

表4 安裝角偏差與性能參數的Spearman系數

Pearson相關性分析要求被分析的兩個變量服從正態分布。從圖6和圖7可知,PE工況和NS工況下總壓比和絕熱效率均近似服從正態分布,用自編寫程序計算得到Pearson系數,結果如表5所示。在兩工況下,總壓比與安裝角偏差呈較強線性正相關,絕熱效率與安裝角偏差呈較強線性負相關。

表5 安裝角偏差與性能參數的Pearson系數

根據上文分析可知,兩工況下總壓比、絕熱效率均與安裝角偏差的線性關系較強。本文選用5階非嵌入式多項式混沌方法,選取了6個誤差點進行計算,最小二乘法擬合得到安裝角偏差與峰值效率工況下絕熱效率的線性函數關系式,如圖8所示。函數關系式為y=-0.008 030 5x+0.861 435 8,x為安裝角偏差,y為總壓比,誤差適用范圍為-0.554 05°≤x≤0.554 05°。為檢驗該函數關系式的擬合精度,選取幾個誤差點,將NIPC模型的預估絕熱效率和函數關系式的計算值進行對比,結果見圖9,發現擬合精度較高,誤差在0.05%以內。由此可見,該函數關系式在本文所研究的誤差范圍內能較為準確地反映安裝角偏差與峰值效率工況下絕熱效率的關系。

同理得到峰值效率工況下安裝角偏差與總壓比的函數關系式為y=0.052 289 6x+2.092 765 1, NIPC模型預估值與函數關系式計算結果之間誤差在0.5%以內,誤差較大。近失速工況下安裝角偏差與絕熱效率的函數關系式為y=-0.010 189 4x+0.823 104 7,誤差在0.07%以內。近失速工況下安裝角偏差與總壓比的關系式為y=0.012 942 9x+2.154 191,誤差在0.1%以內。

圖8 安裝角偏差與絕熱效率的函數關系式Fig.8 The function relationship between stagger angle deviation and adiabatic efficiency

圖9 絕熱效率NIPC預估值與函數關系式計算值的對比 Fig.9 Comparison of NIPC predicted values and function formula

3.3 流場不確定性分析

圖10展示了出口處絕熱效率和總壓比的無量綱標準差沿葉高的分布。從圖10(a)看出,絕熱效率無量綱標準差從葉根到葉頂呈現逐漸增加的趨勢,兩工況在95%～98%葉高范圍內絕熱效率的無量綱標準差均較大,說明這一區域的流場受安裝角偏差的影響程度較大。從圖10(b)看出,峰值效率工況下,總壓比受安裝角偏差不確定性的影響明顯更大,且兩工況下總壓比的δ/μ在80%葉高以上的區域內較大。綜合圖10可以看出,安裝角偏差的波動對葉頂區域的流場影響較大。下文將著重針對95%葉高截面的流場進行分析。

(a)絕熱效率

(b)總壓比

靜壓系數可以用來評價轉子的擴壓能力,表示葉片表面某一點處的靜壓相對于進口平均靜壓的提升,定義如下

(15)

圖11給出了95%葉高處兩工況下靜壓系數的標準差沿無量綱軸向弦長的分布。標準差可以體現靜壓系數波動的幅度。NS工況下,壓力面的靜壓系數標準差變化趨勢非常平穩,吸力面在40%弦長位置處出現了一個波動峰值,該大幅度波動位置對應于激波位置,說明激波位置的流動受到顯著不確定影響。PE工況下,靜壓系數在前緣出現較大幅度波動,說明前緣繞流加速段受到明顯的不確定影響,吸力面在59%弦長位置處出現一個局部大幅度波動。對應于該位置處的激波,波動峰值大于NS工況處的靜壓系數波動幅度。峰值效率工況下,激波處的靜壓系數的波動幅度大約是近失速工況下的2.59倍。這說明,95%葉高處葉片表面擴壓能力在峰值效率工況下受擾動影響更強烈。

圖11 95%葉高處靜壓系數標準差沿無量綱軸向弦長的分布 Fig.11 Distribution of δ(Cp) along dimensionless axial length at 95% span

相對馬赫數的標準差可以體現流場受誤差不確定性影響的程度,無量綱標準差越大,表明該位置處的相對馬赫數波動程度越大,說明該位置處的流場對安裝角誤差波動越敏感。圖12給出了95%葉高處相對馬赫數無量綱標準差分布,從中發現,安裝角誤差不確定性主要對激波、葉尖泄漏流動、分離流動造成影響。兩個工況下,相對馬赫數標準差幅值較大的區域有所不同,峰值效率工況下,激波位置及波后葉尖間隙泄漏流動軌跡的δ/μ明顯更大,該處流動受誤差不確定性的影響程度較大。近失速工況下,馬赫數的相對波動幅值最大的區域為間隙泄漏渦破碎區域和距離前緣40%弦長位置處出現的吸力面附面層分離流動,說明波后間隙泄漏渦破碎區域和吸力面附面層分離流動區域受安裝角誤差不確定性影響程度較大,對安裝角不確定性較為敏感。峰值效率工況下,激波和分離流動區域的相對馬赫數相對波動幅度達5%。近失速工況下,間隙泄漏渦破碎區域和激波引發的分離流動區域的相對馬赫數的相對波動幅度達5%。

(a)峰值效率工況

(b)近失速工況

3.4 耗散函數分析

近失速工況下的損失受安裝角不確定性的影響擾動更強,因此著重在NS工況下研究損失機理。高相對總壓值的區域代表機械能損失累積的區域,是低速流聚集的區域,但它不能表示高損失源的分布[24]。為了分析流場中高損失區域出現的機理,引入耗散函數進行探討。耗散函數將機械能轉化為熱能,可以評估生成的損失,耗散函數Ф定義如下

(16)

式中:Vi代表圓柱坐標系下氣流相對速度的3個分速度;xi代表坐標軸3個方向的單位向量;考慮湍流黏性項μt后,動力黏度修正為μeff=(μ+μt)。

圖13給出了近失速工況下耗散函數面積平均值的無量綱標準差沿無量綱軸向弦長的分布。從中可看出,前緣位置、40%弦長截面和尾緣位置截面的耗散函數的無量綱標準差較大,這些位置的損失受安裝角誤差不確定性影響程度較大。其中,尾緣位置截面耗散函數無量綱標準差最大,對安裝角偏差的波動最為敏感。

圖13 耗散函數面積平均值的無量綱標準差沿弦長分布 Fig.13 Distribution of δ/μ(Φ) along dimensionless axial length

4 結 論

本文自主編制了非嵌入式混沌多項式(NIPC)程序,通過該不確定性量化方法,研究葉片安裝角偏差對動葉的不確定性影響,分別在峰值效率工況和近失速工況下進行性能統計分析。采用Spearman和Pearson相關性分析,探討各性能參數與安裝角偏差間的相關程度,并通過流場分析,深入研究葉片安裝角偏差波動對內部流場規律的影響,闡釋氣動性能不確定性的變化機理,可以得到以下結論。

(1)安裝角偏差波動幾乎不會對轉子性能的平均水平造成影響,應該使用標準差和無量綱標準差來評估性能的波動程度。近失速工況下,絕熱效率的相對波動幅度相比較峰值效率工況增加了22.95%,說明近失速工況下的損失受安裝角不確定性的影響擾動更強。

(2)兩種工況下總壓比和絕熱效率均近似服從正態分布。安裝角偏差與總壓比呈線性正相關,與絕熱效率呈線性負相關,建立了安裝角偏差與總壓比和絕熱效率的擬合關系式。

(3)峰值效率工況下,激波及波后葉尖間隙泄漏流動軌跡受誤差不確定性的影響程度較大;近失速工況下,波后間隙泄漏渦破碎區域和吸力面附面層分離流動對安裝角不確定性較為敏感,這些區域的流動是引起性能不確定性變化的主要原因。峰值效率工況下,激波和分離流動區域的相對馬赫數波動幅度達5%。近失速工況下,間隙泄漏渦破碎區域和激波引發的分離流動區域的相對馬赫數的波動幅度達5%。

(4)尾緣位置截面的耗散函數無量綱標準差值最大,說明尾緣處損失對安裝角偏差的不確定性最為敏感。