一種具有多普勒容忍性的通感一體化波形設計

王佳歡 范平志 時 巧 周正春(西南交通大學信息科學與技術學院 成都 611756)

1 引言

雷達感知與無線通信作為兩個獨立發展的學科各自研制出了不同的硬件且分別占用不同的頻譜資源。隨著各自的快速發展，兩者的寬帶化和網絡化趨勢更加明顯。然而，由于頻譜資源有限，雷達與通信效能降低[1]。為高效利用頻譜資源，學術界和工業界提出了兩種解決方案[2]：(1)雷達與通信頻譜共存(Radar Communication Coexistence,RCC)；(2)通感一體化(Integrated Sensing And Communication,ISAC)。

RCC技術是指分立的雷達與通信系統共用同一頻譜，其往往要求雷達和通信系統周期性地交換一些信息以實現合作互利，從而導致了高復雜度和兩者相互干擾的問題[2]。ISAC技術則直接通過共享硬件平臺實現頻譜共享，不需要額外的信息交換，因此受到學者的廣泛關注[2–6]。相比RCC技術，ISAC技術需要實現雷達感知與無線通信功能的深度融合，其核心方法主要是一體化波形設計，使其既能攜帶通信信息，又能用于雷達目標探測。現階段，一體化波形主要分為3種類型[3,7]：(1)以通信為主的一體化波形；(2)以雷達為主的一體化波形；(3)基于聯合設計的一體化波形。

以通信為主的一體化波形是在現有通信波形的基礎上實現感知功能，即通信是首要保證的功能。作為以通信為主的一體化波形的代表，正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)波形亦可實現部分的感知功能，而受到越來越多的關注[8,9]。然而，這種未對感知功能進行專門設計的OFDM波形，一般不具備感知所需的低相關性以及多普勒容忍性。此外，OFDM波形的高峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)也嚴重影響雷達感知的性能。另外，以通信為主的一體化波形由于通信數據的隨機性，無法保證穩定的感知性能[4]。

以雷達為主的一體化波形是指在不降低感知性能的前提下，把通信數據嵌入到已有的感知信號中。作為以雷達為主一體化波形的典型，線性調頻(Linear Frequency Modulation,LFM) 波形的幅度、斜率、載頻以及初相都可以攜帶通信信息而不影響其本身的感知性能[10,11]。此外，另一種經典的以雷達為主的一體化波形為相位編碼波形，其可將通信的相位信息在脈間進行調制，其中雷達波形設計中一般以降低旁瓣電平為主[12–16]，重點結合各種實際場景的限制(例如頻譜約束[17–19]、能量約束[18]、PAPR約束[15]、相似性約束[14]等)進行建模并優化，取得了大量研究成果，可以直接應用到以雷達為主的一體化波形中。綜上，以雷達為主的一體化波形設計主要采用脈間調制通信信息的方式，雖然具備一定的通信信息傳遞能力，但是通信速率低，不利于通信信息的實時傳輸。

基于聯合設計的一體化波形是指通過直接設計波形，使其同時具備通信信息傳遞與雷達感知的功能。在充分保證通信/感知性能的前提下，提升感知/通信的性能，或者根據實際需求對兩者的性能進行折中。由于聯合設計的一體化波形充分考慮了雷達和通信不同的性能需求，通過聯合設計，相比以通信為主與以雷達為主的一體化波形設計考慮得更為全面，因此近些年來越來越多的學者開始致力于研究此類波形[3,20–24]。文獻[21]在完美信道估計的假設下，以最小化多用戶干擾為優化準則，考慮雷達方向圖相似性約束構建優化問題，通過求解該優化問題設計出一體化波形，在MIMO系統中實現了感知和通信的功能。文獻[22]在充分保證每個用戶的信噪比前提下，以最大化雷達波束成形的性能為優化準則，不僅實現了一體化需求且雷達功能逼近以雷達為主的一體化波形。隨后，文獻[24]又以波形的協方差矩陣與給定的MIMO雷達最優協方差相等為約束，以最大化多用戶信干噪比的效用函數為優化準則，建立并求解此優化問題，進一步提升了波形的干擾抑制能力。上述文獻設計的一體化波形均能有效實現雷達和通信功能，但是均存在未考慮多普勒容忍性的問題。

在實際應用中，目標一般為運動目標，其產生的多普勒效應將使目標回波發生相位偏轉，從而導致匹配濾波器失配，嚴重影響雷達的脈壓性能的同時也會降低通信質量。因此，設計具有多普勒容忍性的一體化波形尤為重要。因此，針對以通信/雷達為主一體化波形的弊端以及現有的基于聯合設計的一體化波形中未考慮多普勒容忍的問題，本文提出一種多普勒容忍的通感一體化波形設計方法。本文的主要貢獻如下：

(1) 構建了具有多普勒容忍性的一體化波形設計模型。首先，通過分析脈沖串的模糊函數，推導出多普勒容忍波形所需滿足的低旁瓣要求。其次，為實現通信信息的有效傳輸，分析了一體化波形與通信數據調制波形所需滿足的相位差約束。最后，以最小化加權積分旁瓣電平為目標函數，結合能量約束、PAPR約束和相位差約束建立了一體化波形設計的優化問題。

(2) 提出了基于優化最小化(Majorization-Minimization,MM)框架的一體化波形設計算法。由于構建的優化問題為非凸問題，本文基于MM框架，利用一系列簡單的線性函數替代原始目標函數，并結合相位差、PAPR等約束的特點，推導出了原始優化問題的閉式迭代表達式，從而可以快速獲取一體化波形。

(3) 驗證了提出的多普勒容忍一體化波形的有效性。基于數值仿真實驗，本文綜合對比了所提方法與傳統方法的誤符號率(Symbol Error Rate,SER)、相關性以及模糊函數性能。結果表明，所提方法具有更低的SER和距離旁瓣，多普勒容忍度也更高，提升了雷達和通信的性能。

2 多普勒容忍的一體化波形建模

如圖1所示，考慮一個可以同時實現雷達目標感知與通信的ISAC系統。假設在一個相干處理周期(Coherent Processing Interval,CPI)內發射N個一體化脈沖，離散化的脈沖長度為L。對于第n個脈沖，發射的一體化波形離散化表示為

圖1 通感一體化模型圖Fig.1 ISAC model

其中，CL表示L維復數域。而后，回波被一體化系統接收，利用匹配濾波器與相干處理的方式對目標進行檢測。發送到通信用戶的波形，則通過解調獲取通信信息而實現通信功能。

由于雷達與通信對波形有不同的需求，下文首先分別分析雷達和通信對一體化波形的需求，然后提出相應的優化模型以構建一體化波形。

2.1 雷達需求

為使設計的波形具有多普勒容限，其模糊函數在一定的多普勒區間內應具有很低的距離旁瓣[25–27]。假設雷達接收濾波器為匹配濾波器，當考慮靜止目標時，濾波器的輸出取決于第n個PRT中發射波形xn的非周期自相關函數Cn(k)：

對一個CPI中所有濾波輸出的結果進行相干積累，其總的輸出取決于非周期自相關函數之和g0(k)：

其中，θ=2πfT是多普勒頻移，單位為rad[25,27]。T表示脈沖重復周期(Pulse Repetition Time,PRT)。

其中，D是最大多普勒頻移，滿足D ≤π，D越大表明多普勒容忍區域也越大；γ為很小的正數，一般取10?4。通常情況下，把具有互補性質的波形單獨拿出來分析，會發現其自相關性并不理想[25]。為了克服這個弊端，本文將提出一種新的多普勒容忍波形。在此之前，先提出一個命題。

命題1若自相關函數Cn(k)滿足條件

其中，Z是感興趣區間的寬度，且Z ≤L，則模糊函數滿足

證明：基于模糊函數定義以及式(6)，可得

從而可得式(7)。證畢

其中，ωk為權重，當|k|=1,2,...,Z ?1時，ωk=1；當|k|≥Z時，ωk=0。另外，WISL可以轉化為[29,30]

其中，Uk是特普利茨矩陣[27,30,31]，Uk的第(nu,mu)個元素Uk(nu,mu)為

綜上所述，雷達需求中的多普勒容忍波形設計問題可以轉化為單個具有局部零/低相關區[32]的波形設計問題，這為多普勒容忍波形的構造提供了新的思路。

2.2 通信需求

對于通信用戶而言，通信的準確性很重要。本節就通信的準確性與一體化波形之間的關系進行說明，并給出如何設計一體化波形，以滿足通信需求。

在第n個PRT中，一體化波形xn被發射，通信用戶接收到的波形為yn=[yn,1,yn,2,...,yn,L]T：

其中，通信信道響應h是瑞利衰落的[21]，可以假設h被完美估計[21]且在一個CPI中保持不變[33]；wn=[wn,1,wn,2,...,wn,L]T是噪聲符號向量且wn～CN(0,σ2IN)，即wn,l服從均值為0、方差為σ2的復高斯分布。

假設通信采用的調制方式是M-PSK (M-Phase-Shift Keying)，通信數據調制波形的離散化表示為en=[en,1,en,2,...,en,L]，其中，en,1的相位可以為

M為大于等于2的正整數，那么一體化信號的每一個符號xn,l應該滿足相位差約束：

其中，arg(·)是復數的相位，?是相位差閾值且?<π/M。通過設計xn,l，使其與通信符號en,l之間的相位差盡可能得小，從而實現通信信息的準確傳輸。

接收的每一個符號yn,l都可以在解調后以一定的SER得到所需的M-PSK符號。定義SER為

其中，Nerr是估計的錯誤符號數，即下述集合中的元素個數，該集合具體表示為

綜上所述，通信需求中的誤符號率問題可以轉化為相位差約束，相位差越小，誤符號率越低。

2.3 一體化波形需求以及優化問題建模

根據上述對雷達和通信需求的分析，為設計具有雷達通信雙功能的通感一體化波形，采用最小化WISL的優化準則，建立如下優化模型

其中，目標函數用于確保雷達需求，使設計的波形具有一定的多普勒容忍性；C1為通信約束，以確保通信SER；C2為波形能量約束；C3為模長約束。由于2.1節、2.2節并未提及模長約束C3，下文將介紹模長約束C3的由來。

在一體化波形發射接收過程中，若波形的PAPR過大，則由于功率放大器的限制將導致信息失真與低功效問題。因此，本文考慮引入PAPR約束對波形的峰值功率進行限制，而PAPR的定義為[15,29]

其中，α表示PAPR的上界，α≥1。結合波形的能量約束C2，PAPR約束等價于波形每個符號的模長均有上界，即

其中，0<αL ≤1。因此，可以得到模長約束C3：

針對上述優化問題PJ，即式(17)，當不考慮通信約束C1時，其退化為僅有能量約束與模長約束的優化問題Pr：

綜上可知，通過求解式(17)，可以獲得具有多普勒容忍性的通感一體化波形；通過求解式(23)，可以設計具有多普勒容忍性的雷達波形。接下來，將具體推導求解優化問題PJ和Pr的方法。

3 基于MM的一體化波形設計

觀察式(17)可以發現，優化問題PJ是一個非凸優化問題，難以直接對其求解。因此，本節提出一種基于MM優化框架的算法以求解優化問題PJ。

據此可得單調非增不等式：

λJ和λu分別表示J的最大特征值和R的最大特征值的上界，即

其中，Diag(F c)表示以F c為對角元素的對角陣。

式(33)表明Rx(>t)可由快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)/快速傅里葉逆變換 (Inverse Fast Fourier Transform,IFFT)實現，而式(28)中包含Rx(t)，因此可被快速計算，具體計算步驟見表1[30]。

表1 基于FFT/IFFT快速計算[30]Tab.1 Compute based on FFT/IFFT[30]

表1 基于FFT/IFFT快速計算[30]Tab.1 Compute based on FFT/IFFT[30]

表2中，eps=2.22×10–16。若實數a>0，則sign(a)=1；如果a<0，則 sign(a)=?1；若a=0，則 sign(a)=0。

表2 二分法求δTab.2 Bisection method forδ

4 數值結果與分析

本節利用數值仿真結果驗證提出的通感一體化波形設計方法的有效性。假設通信信道響應h～CN(0,1)。信號長度L=512，脈沖數N=64。通信信號en采用正交相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying,QPSK)調制方式，具體而言是π/4-QPSK調制方式。為了便于后續仿真，定義系統接收端信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)為SNR=P|h|2/σ2，其中，P=1為發射波形的平均功率。定義第n個PRT內發射波形的峰值旁瓣電平(Peak Sidelobe Level,PSL)[30,35]為

表3 基于MM算法的一體化波形設計Tab.3 MM-based algorithm for ISAC waveform design

接下來，本文首先對提出的基于MM的一體化波形進行性能分析，主要分析算法的收斂性、PSL和SER等性能。隨后，對本文提出的基于MM的一體化波形與傳統的基于LFM的一體化波形進行性能比較，主要從SER、自相關函數以及模糊函數這3個方面驗證所提方法的性能優勢。

4.1 性能分析

本節首先對所提算法進行收斂性分析，而后分析提出的一體化波形的PSL和SER性能。

4.1.1 收斂性分析

圖2(a)和圖2(b)展示了不同參數下所提算法的收斂性曲線。可以觀察到，WISL隨著迭代次數增加快速收斂到一個穩定值。

圖2 算法收斂曲線Fig.2 Convergence curve of the proposed algorithm

圖2(a)為相位差閾值?=0.3且模長下界αL=0.9的情況下，WISL隨著感興趣時延區間(?Z,Z)、PAPR以及迭代次數變化的曲線圖。可以看出，Z越小WISL的值越小。這是因為從優化的角度，當約束集固定時，目標考慮的要素越少越容易優化，從而感興趣的時延區間(?Z,Z)越小，越容易得到低WISL的波形。另外可以發現，PAPR越大，WISL的值也越低。這是因為PAPR增大，可行集也隨之增大，從而也更容易獲得低WISL的波形。

圖2(b)為相位差閾值?=0.3、感興趣時延區域寬度Z=100以及PAPR固定為2的情況下，WISL隨著模長下界αL與迭代次數變化的曲線圖。可以看出，αL越小，WISL的值也越低。這是因為αL減小，引起可行集增大，從而容易獲得低WISL的波形。綜合圖2(a)與圖2(b)可知，感興趣區域越小、PAPR越大、波形模長下界αL越小，波形的WISL值也越低。

4.1.2 PSL和SER分析

圖3展示了在?=0.3且PAPR=2的情況下，SER隨著感興趣時延區間(?Z,Z)、模長下界αL以及SNR變化的曲線，并計算了對應參數下無噪聲情況時波形的PSL。仿真結果為1000次獨立蒙特卡羅仿真實驗得到。從圖3可以看出：Z越大，則SER也越大。這是因為從優化的角度，目標函數考慮的要素越多，越難實現，導致部分相位在相位差約束的邊界取到，從而引起SER增加。當Z較小時，SER隨著模長下界αL的增加而幾乎不變。由于模長決定了符號能量，模長越小，符號能量越低，越容易受噪聲的影響導致SER增大。而上述現象表明了當Z較小時，實際優化得到的一體化波形中的符號模長均較大，導致SER的值均相差無幾，也表明這種情況下模長下界的約束作用較小。反之，當Z較大時，SER隨著模長下界αL的增加而增加，此時模長下界的約束作用明顯增大。

圖3 基于MM的一體化波形在不同參數下的SER比較Fig.3 SER comparison under various parameters based on MM-based ISAC waveform

此外，隨著模長下界αL的增加，PSL總體是增大的。這是因為模長下界αL增加導致可行集縮小，從而增大了獲得低旁瓣波形的難度。總之，當Z較大，即感興趣的時延區間(?Z,Z)較大時，隨著模長下界αL的增大，SER增大，PSL也增大，此時PSL的改善是以犧牲SER而達到的；而Z較小時，即感興趣時延區間(?Z,Z)較小時，隨著模長下界αL的增大，SER幾乎不變，而PSL會增大。因此，可根據實際應用需求，選擇適當的參數。

4.2 性能比較

為了進一步驗證本文所提算法的性能，本文采用文獻[21]提出的一種基于LFM的單天線情況下通感一體化波形設計方法作為對比方案。具體地，令s表示LFM波形，若設計的波形xn滿足xn=s，表明設計的波形以雷達功能為主；若滿足xn=en，表明設計的波形以通信功能為主。若采用兩者之間相互折中的方案，令ρ表示權重，則有如下優化問題：

顯然，式(43)為一個典型的二次優化問題，具有閉式解

然后，以式(44)設計的基于LFM的一體化波形為對比方案，對比分析兩種方案的SER、自相關函數以及模糊函數，驗證本文所提的基于MM的一體化波形的性能優勢。

4.2.1 MM與LFM的SER對比

圖4展示了當 PAPR=2,αL=0.9,Z=50時，SER隨著SNR變化的曲線，且分析了SER與基于LFM的一體化波形設計中參數ρ和本文所提方法中參數?的關系。可以看出，針對所提的基于MM的一體化波形，隨著參數?減小，誤符號率在不斷減小，這表明了發送的一體化波形與通信數據調制波形之間相位差越小，通信的準確性越高。此外，所提的基于MM的一體化波形方案的誤符號率大部分都低于對比方案。這表明基于MM的一體化波形比基于 LFM 的一體化波形具有更好的通信質量。

圖4 基于MM和基于LFM的一體化波形SER性能比較Fig.4 SER comparison between MM-based and LFM-based ISAC waveform

4.2.2 自相關對比

此處，對原始的LFM波形、基于LFM的一體化波形、基于MM的雷達波形以及基于MM的一體化波形的非周期自相關函數進行對比。其中，基于LFM的一體化波形的參數為ρ=0.3，而基于MM的一體化波形的參數為 PAPR=2,αL=0.9,Z=50。從圖5(a)、圖5(c)可以看出：基于LFM的一體化波形的自相關函數的旁瓣要高于原始的LFM波形的自相關函數的旁瓣。這是因為基于LFM的一體化波形方案是一種通信功能與雷達功能折中的方案，加權因子ρ對性能影響很大。此外，從圖5(b)、圖5(d)可以觀察到基于MM的一體化波形的自相關函數也略高于基于MM的雷達波形自相關函數，然而兩者在感興趣時延區間內的距離旁瓣均處于極低的電平。

圖5 非周期自相關函數Fig.5 Aperiodic auto-correlation functions

除此之外，通過橫向對比，可以觀察到基于MM的兩種波形比基于LFM的兩種波形在感興趣范圍內的旁瓣電平更低。顯然，基于MM的兩種波形是犧牲了測距范圍，而提高了感興趣時延范圍內的脈壓性能。值得注意的是，當感興趣時延范圍增大時，本文提出的波形脈壓旁瓣電平將相應增加。為實現更大的感興趣時延范圍內的目標檢測，未來可研究整個時延范圍內具有良好自相關電平特性的一體化波形設計。

4.2.3 模糊函數對比

圖6對比了4種方案下脈沖數均為N=64的情況下的模糊函數，以分析多普勒容忍性。首先需要明確的是，在某個多普勒頻移θ0處是多普勒容忍的，是指沿著模糊函數圖θ=θ0切過去得到的時延切片中，需要觀察到零時延處存在一個峰值且在感興趣的時延區間(?Z,Z)內距離旁瓣極低，顯示出良好的探測性能。

圖6(a)展示了原始的LFM波形的模糊函數圖。在(?π,π)中任意多普勒頻率處的時延切片中，零時延附近有高的距離旁瓣。這將導致面對兩個能量相差較大的目標，弱目標的峰值會被強目標的旁瓣遮蓋，使得無法對兩者進行分辨。然而，從圖6(b)關于本文提出的基于MM的雷達波形的模糊函數可知，在任意多普勒頻率的時延切片中限定在感興趣時延范圍內的距離旁瓣均很低；在零多普勒附近區域外，超出感興趣時延范圍的距離旁瓣也較低。因此，基于MM的雷達波形在測距能力上要強于LFM。

從圖6(c)可以明顯觀察到基于LFM的一體化波形的模糊函數在(?π,π)中任意多普勒頻率處的時延切片中距離旁瓣高；而在圖6(d)中，針對本文提出的基于MM的一體化脈沖串，在(?π,π)任意的多普勒頻率處的時延切片中，可以觀察到在感興趣時延區間內均具有極低的距離旁瓣，驗證了基于MM的一體化波形具有較高的多普勒容限。

圖6 模糊函數Fig.6 Ambiguity functions

值得一提的是，本文提出的基于MM的一體化波形與傳統的LFM雷達波形相比，在同樣的多普勒頻移下(任取θ0∈(?π,π))，觀察兩者的時延切片，發現它們在零時延處都存在峰值而在感興趣時延區間(?Z,Z)內距離旁瓣相差很大，主要體現在LFM雷達波形的旁瓣很高，而基于本文提出的MM的一體化波形的旁瓣非常低。

5 結語

本文提出了一種具有多普勒容忍性的通感一體化波形設計方案，在保證系統的通信性能以及滿足PAPR等約束的前提下，最小化波形的加權積分旁瓣電平。同時提出了一種基于MM框架的迭代優化算法來有效解決建立的非凸優化問題。數值實驗表明，相比現有方法，所提方案在給定多普勒區間內都能在感興趣的時延區間內保持接近理想的相關性能且能以較低誤符號率傳輸通信信息。在未來的工作中，可進一步考慮結合抗干擾特性，設計具有多普勒容忍性的通感一體化波形。