巖溶塌陷區埋地管道的撓度和應力分析*

李喬楚，莊 波，李聯合

（西南石油大學，成都 610500）

0 前 言

由于埋地輸氣管道與巖土直接接觸，不可避免地受到巖土活動的影響[1]。我國西南一帶巖溶面積占地區幅員面積的三分之一以上[2-3]，地震、滑坡等地質災害頻發，降水量較大，極易引發巖溶塌陷導致埋地管道變形、懸空甚至斷裂。

國內外相關學者針對土體塌陷作用下埋地管道的力學響應開展了一系列研究。為了研究不均勻地層沉降對埋地管道受力變形的影響，E.Winkler[4]提出“Winkler 彈性地基梁理論”，此理論以彈性梁模擬埋地管道，將管道周邊土體積視為具有一定拉壓剛度且相互獨立的彈簧。高田至郎[5]將穿越沉陷區與非沉陷區的管道均視為彈性地基上的連續梁模型，得到了地層沉陷作用下埋地管線力學分析的簡化計算公式。高惠瑛[6]提出采用三次曲線方程模擬沉陷區域管道的力學特征，彌補了高田至郎計算公式不能完全適用最大沉陷發生在沉陷區域邊緣有限遠處時的問題。1998 年，Luo和Peng[7]以具有剛性接頭的薄壁管道作為研究對象，采用梁模型模擬了管道在地層沉陷作用下的力學響應特征。王小龍[8-9]基于Winkler彈性地基梁理論，建立了埋地管道在局部懸空時與土壤相互作用的力學模型。陳阿鋒[10]考慮到前人的研究大多針對剛性管道，而柔性管道由于不具備抗彎剛度所以在受力特性、破壞形式上存在特殊性，因此基于材料力學中的懸索受力模型模擬埋地柔性管道。王曉霖[11]以大柔度鋼制管道作為研究對象，建立三維力學分析模型，基于概率積分法對開采沉陷區埋地管道沿線地表的下沉趨勢進行預測。Kouretzis[12]考慮到不同延展性能對管道力學響應存在一定影響，采用雙曲線方程模擬不同材質管道在地層沉陷影響下的力學特征。Gregory C.Sarvanis[13]利用等效靜態模型計算沉降管道的橫向變形長度，提出了一種土層錯動作用下管道最大應變的簡化計算公式。

Winkler 彈性地基梁通過“土彈簧”模擬管周土對管道的力學作用，由于其具有簡捷易懂、便于工程應用等優點，因此已被國內外學者應用于土體塌陷區埋地管道的力學分析。但彈性地基梁模型的求解存在兩個假定條件：一是假設管道與土體具有相同的沉陷量，二是要求變量x趨于無窮大，即模型僅適用于最大塌陷點發生在距離塌陷區域邊緣無窮遠處的情況。然而在實際土體塌陷過程中，土體和管道均會發生大變形，且最大塌陷點往往發生在塌陷區域邊緣外側的有限范圍內，因此將塌陷區域埋地管道視為彈性地基梁模型的方法在適用性上存在一定的局限性。與此同時，現有研究涉及巖溶塌陷這一特殊地質災害的較少，但近年來在各種自然或人為因素影響下巖溶區域埋地管道時常遭受土體塌陷作用。鑒于此，本研究建立巖溶塌陷區埋地管道的力學分析模型，針對非塌陷影響區和塌陷影響區分別采用Winkler 彈性地基梁和彈性基礎上的連續梁開展分析，結合變形協調方程探討埋地管道的撓曲變形，并進一步從管道載荷、軸向應力、環向應力和徑向應力四個方面提出等效應力的計算方法，通過與ABAQUS 有限元模擬結果進行對比，驗證計算方法的有效性，以期彌補采用彈性地基梁模型模擬塌陷區埋地管道不符合實際情況的缺陷，并在滿足精度要求的同時簡化巖溶區埋地管道工程的力學分析過程。

1 巖溶塌陷區埋地管道力學響應理論解析法

巖溶塌陷是指在具備巖溶洞隙、一定厚度松散蓋層以及地下水活動等基本形成條件的基礎上，地下巖溶土洞在重力、地震以及人為因素等多重影響下逐步向上發育擴展直至頂板承受載荷超過強度極限，最終頂板破裂、土洞坍塌的現象。隨著頂板坍塌破裂，巖溶覆蓋層土體不斷向土洞內下陷，并對塌陷區域上部一定范圍內的埋地管道造成影響，即存在相應的巖溶塌陷影響區長度lty，通常在沙土中取塌陷量大于0.01 倍巖溶覆蓋層厚度的管道長度，在粘土中取塌陷量大于0.1 倍巖溶覆蓋層厚度的管道長度進行分析[14]。

巖溶塌陷范圍伴隨著頂板裂口的逐步發育而不斷擴展，在此過程中塌陷土洞兩側的非塌陷影響區管道受到未下陷土體的支撐作用，因此可將此區域視為Winkler 彈性地基梁。在巖溶塌陷過程中，覆蓋層土體的塌陷范圍隨著土洞頂板裂口的發展而逐步擴大，從力學角度看，即土洞上部的塌陷影響區管道在豎直方向上受到的支撐力逐漸減小，并以地下巖溶土洞為中心呈現出“中間大、兩頭小”的連續變形特征，因此可將塌陷影響區管道視為彈性基礎上的連續梁，以彌補采用彈性地基梁模型模擬塌陷區埋地管道不符合實際情況的缺陷。假定巖溶塌陷區埋地管道的變形及受力特征沿塌陷區域中心對稱，以未變形管道的中心軸線為x軸構建全局坐標系，建立埋地管道簡化力學模型，如圖1 所示。

圖1 埋地管道簡化力學分析模型

1.1 非巖溶塌陷影響區域埋地管道力學分析

因所構建的力學解析模型以塌陷區域中心對稱，故以右側的非塌陷影響區域管道為例開展力學分析。基于Winkler 彈性地基梁理論，可將B點外側管道視為右側無限長度的彈性地基梁，單位長度管道受到上覆土體壓力、管道自重、輸送介質質量構成的均布綜合荷載設為q（x），通過施加彎矩MB與剪力QB模擬塌陷影響區域管道對B點的力學作用，以B點為圓心、管道軸線為x軸構建局部坐標系x' -y'，非塌陷影響區域埋地管道力學解析模型如圖2 所示。

圖2 非塌陷影響區域埋地管道力學解析模型

設定非塌陷影響區域埋地管道的變形特征遵循曲線y=f(x)，則管道上側均布的土體載荷總集度為

基于彈性力學理論，在均布綜合荷載q0(x')、彎矩M(x')、剪力Q(x')三者耦合影響下，非塌陷影響區域管道的撓度y'及管—土間的相互作用壓力ps(x')遵循以下力學關系

將式（1）代入上述力學方程，通過進一步推導可以得出

式中：E——管道彈性模量，Pa；

I——管道慣性矩，m4；

D——管道外徑，m；

t——管道壁厚，m。

1867 年，國外學者Winkler 基于力學解析提出：理想化土體表面任意一點的受力大小與此點的位移存在線性關系，即為Winkler彈性地基梁假設。基于此假設可將管—土間的相互作用壓力表示為ps(x')=Ky'，將其代入式（5）可推導得出

式中：K——地基彈性抗力系數，N/m3。

由于B點外側的非塌陷影響區域管道被視為右側無限長度的彈性地基梁，當假定此區域僅受到彎矩MB及剪力QB的作用而不考慮均布綜合荷載產生的影響時，式（7）可轉化為

通過齊次微分方程分析，非塌陷影響區域埋地管道撓度方程的通解可表示為

式中：λ——特征系數，λ=；

c1、c2、c3、c4——方程待定系數。

巖溶塌陷對埋地管道的力學作用由塌陷中心向兩側逐漸減弱，故當x→∞時，巖溶塌陷引起的管道位移可近似為0，將此邊界條件代入微分方程即可反推得到方程通解的待定參數c1=c2=0，此時式（9）可轉化為

當塌陷影響區域右側邊界B點僅受到彎矩MB的作用而不考慮剪力QB及均布綜合荷載產生的影響時，式（2）及式（4）可轉化為

將式（10）的導數代入（11）即可反推得到通解的待定參數c3=-MB/2λ2EI，c4=MB/2λ2EI，此時得到管道撓度方程的一個特解為

依據λ=消除參數EI，式（12）可轉化為

當塌陷影響區域右側邊界B點僅受到剪力QB的作用而不考慮彎矩MB及均布綜合荷載產生的影響時，式（2）及式（4）可轉化為

將式（10）的導數代入（14）即可反推得到通解的待定參數c3=QB/2λ3EI，c4=0，此時得到管道撓度方程的另一個特解為

依據λ=消除參數EI，式（15）可轉化為

當非塌陷影響區域管道僅受均布綜合荷載作用時，可得管道撓度方程的第三個特解為

聯立式（13）、（16）和（17）對應的三個特解，即可得式（8）的解為

令x=x'+lty/2，y=y'，則將非巖溶塌陷影響區域埋地管道的撓度方程由局部坐標系轉至全局坐標系，即當x≥lty/2 時，埋地管道的撓度方程可表示為

此時B點右側非巖溶塌陷影響區域埋地管道任意截面的轉角θ、彎矩M以及剪力Q可表示為

由于巖溶塌陷區埋地管道的變形及受力特征沿塌陷區域中心對稱，即當x≤-lty/2 時，A點左側非巖溶塌陷影響區域埋地管道任意截面的轉角θ、彎矩M、剪力Q可表示為

非巖溶塌陷影響區域邊界A、B兩點的撓度和轉角可表示為

1.2 巖溶塌陷影響區域埋地管道力學分析

巖溶塌陷區埋地管道的變形及受力特征沿塌陷區域中心對稱，且塌陷影響區域管道與非塌陷影響區域管道在交界點處滿足力學連續性，通過彎矩MB與剪力QB模擬非塌陷影響區域對塌陷影響區域的力學影響，并利用簡支支座代替剪力，以A點為圓心、管道豎向下沉后的中心軸線為x軸構建局部坐標系x" -y"，即x" =x+l/2，y"=y-yB，塌陷影響區域埋地管道力學解析模型如圖3所示[15]。

圖3 塌陷影響區域埋地管道力學解析模型

當塌陷影響區域管道僅受到均布綜合荷載Qu作用時，可得管道撓度方程的一個特解為

當塌陷影響區域管道右側邊界B點僅受到彎矩MB作用時，可得管道撓度方程的另一個特解為

當塌陷影響區域管道左側邊界A點僅受到彎矩MB作用時，可得管道撓度方程的第三個特解為

聯立式（28）、（29）、（30）對應的三個特解，即可得到塌陷影響區域埋地管道撓度方程的解為

此時巖溶塌陷影響區域埋地管道任意截面的轉角θ、彎矩M以及剪力Q可表示為

巖溶塌陷影響區域邊界A、B兩點的撓度和轉角可表示為

基于變形協調理論，塌陷影響區域管道與非塌陷影響區域管道在交界點處滿足力學連續性。由式（26）及式（36）可得，交界點A和B處的管體撓度相同，此時為了保證轉角符合連續性條件，只需令式（27）及式（37）對應的數值相等，即

根據式（35）可得B點的剪力QB為

將式（39）代入（38）即可得到B點的彎矩MB為

綜上所述，通過保證塌陷影響區域及非塌陷影響區域交界點處管道撓度y、轉角θ、彎矩M、剪力Q的數值一致性可以實現巖溶塌陷區埋地管道力學性能的連續性。

1.3 巖溶塌陷區埋地管道等效應力分析

1.3.1 管道荷載分析

單位長度管道受到的上覆土體壓力、管道自重、輸送介質質量可簡化為方向豎直向下的均布綜合荷載，即

式中：Qu——管道承受的均布綜合荷載，N/m；

q1——管道上覆土體壓力，N/m；

q2——管道自重，N/m；

q3——輸送介質量，N/m。

管道上覆土體壓力q1[16]可表示為

式中：γ——土壤的容重；

K0——橫向土壓力系數，對于粘性土取為0.65；

H——管道埋深，m；

D——管道外徑，m。

管道自重q2可表示為

式中：A——管道橫截面面積，m2；

ρp——管材密度，kg/m3；

d——管道內徑，m。

對于埋地燃氣管道，輸送介質質量q3表示為

式中：P——管道內壓，MPa。

1.3.2 管道軸向應力分析

圖4 所示為巖溶塌陷區埋地管道軸向應力，參照已經發現的地層塌陷區域埋地管道軸向力的作用規律[17]，在實際管道工程中，當塌陷土體長度不超過50 m 時，軸向力對管道力學響應的影響可以忽略不計。本研究的巖溶塌陷范圍均未達到上述數量級，因此可不考慮軸向力對埋地管道等效應力產生的影響。

圖4 巖溶塌陷區埋地管道軸向應力示意圖

在巖溶塌陷過程中，由于管道沿線土體的下沉幅度存在差異，埋地管道隨土層錯動承受彎矩作用并在管道軸向發生彎曲變形，由彎矩作用引起的管道軸向應力可表示為

式中：σat1——彎矩作用引起的管道頂部軸向應力，Pa；

σab1——彎矩作用引起的管道底部軸向應力，Pa。

在日常運行工況下，埋地管道為了輸送介質還將承受內壓產生的力學作用，將內壓引起的軸向應力代入式（45），即可得到巖溶塌陷區埋地管道的軸向應力計算公式

式中：σat——管道頂部的軸向應力，Pa；

σab——管道底部的軸向應力，Pa；

D——管道外徑，m；

υ——管道泊松比；

t——管道壁厚，m。

1.3.3 管道環向應力分析

圖5為內壓作用下埋地管道環向應力 ，由管道內壓作用引起的環向應力可表示為

圖5 內壓作用下埋地管道環向應力示意圖

1.3.4 管道徑向應力分析

圖6為內壓作用下埋地管道徑向應力，徑向應力沿著管徑方向由內向外作用于管道，由管道內壓作用引起的徑向應力可表示為

圖6 內壓作用下埋地管道徑向應力示意圖

綜合上述，通過分析埋地管道軸向、徑向、環向的應力，結合Von Mises 屈服準則即可得到巖溶塌陷區埋地管道的等效應力計算公式

式中：σMt——管道頂部的Mises 等效應力，Pa；

σMb——管道底部的Mises等效應力，Pa。

2 算例分析

貴州某巖溶區段位于納雍—開陽東西向構造帶與織金北東向構造帶的交匯處，近年來在礦山無序開采、地下洞穴發育、持續強降雨及地震活動等多重因素影響下，每年發生明顯地面塌陷40 余次，并呈現出增加趨勢。該區段內運行有一埋地燃氣管道，管道材料為PE80，密度為950 kg/m3，管徑為200 mm，壁厚為18.2 mm，內壓為0.4 MPa，瞬態松弛模量為578.71 MPa。

為了驗證本研究算法結果的準確性，基于ABAQUS 軟件構建了圖7 所示的巖溶塌陷區埋地管道有限元模型[18]，采用4 節點Shell 單元、8 節點3D-Solid 單元分別對管道和土體進行離散建模，管—土采用3D-Contact非線性接觸，重力加速度取9.8 m/s2。由于PE 管道具有粘彈性特性，基于Prony級數建立PE80 管材的本構方程[19]。考慮到巖溶區域地質結構復雜多變，將土體模型簡化為素填土、粉質粘土以及基巖三種典型土層，選用Mohr-Coulomb 模型描述巖溶土體的非線性特征。由于PE 管道與管周土在法向和切向兩個維度產生力學作用，采用“硬接觸”描述法向行為，基于“罰函數”描述切向行為，摩擦系數設置為0.3。當巖溶土體塌陷長度為5 m、6 m、7 m、8 m、9 m 和10 m 時，基于彈性地基梁理論解析和基于ABAQUS 數值模擬得到的管道最大Mises等效應力數值見表1。

圖7 巖溶塌陷區埋地管道有限元模型

表1 巖溶塌陷區埋地管道最大Mises等效應力

由表1 可知，巖溶塌陷區埋地PE 燃氣管道最大Mises 等效應力的理論解析結果與基于ABAQUS有限元分析的數值模擬結果的平均相對誤差為5.23%（＜10.0%），處于可接受范圍內，由此說明采用本研究算法開展巖溶塌陷區埋地管道的力學反應分析是合理的，在滿足精度要求的同時可以簡化巖溶區埋地管道工程的力學分析。

3 結 論

（1）通過構建的簡化管-土相互作用理論模型開展巖溶塌陷作用下埋地管道的力學分析，與其他方法相比具有概念簡單、計算方便、便于工程應用等優點。但現有研究中常用的Winkler 彈性地基梁假設管道與土體具有相同的沉陷量，且不適用于最大塌陷點發生在塌陷區域邊緣外側有限范圍內的情況，本研究通過將塌陷影響區管道視為彈性基礎上的連續梁，從而解決采用彈性地基梁模型模擬塌陷區埋地管道不符合實際情況的問題。

（2）通過與仿真結果進行對比分析，證明本研究方法的計算結果比較合理，能夠在滿足精度要求的同時簡化埋地管道的力學分析，因此可用于巖溶區埋地管道的工程實踐。但以上研究均是建立在一定約束前提下，對管土參數及邊界條件進行了假設或簡化；與此同時，由于彈性梁理論自身的局限性，其往往無法準確反映管道進入塑性階段的力學行為，因此理論解析結果需要通過結合具體管材的強度極限數值開展有限范圍內的力學響應研究。未來此領域為了開展更為深入的研究，建議將理論解析法與數值模擬法、試驗分析法等聯合使用。