數學家張景中：用“教育數學”為“數學教育”做減法

范琪

張景中，中國科學院院士，著名計算機科學家、數學家和數學教育家，中國科普作家協會第四屆理事長，中國高等教育學會教育數學專業委員會第一屆理事長，廣州大學計算機科學與網絡工程學院教授、名譽院長，計算科技研究院名譽院長，廣東省數學教育軟件工程技術研究中心主任。

“數學課上，上一秒我在撿筆，下一秒我就聽不懂講到了哪里?！边@句自嘲真實反映了當下不少孩子學習數學的困境。據教育部基礎教育質量監測中心發布的《2018年國家義務教育質量監測——數學學習質量監測結果報告》顯示，參與本次監測的四年級學生數學學習自信心低和較低的占比為27.1%，數學學習焦慮程度高和較高的占比為24.8%；八年級學生的該兩項占比分別為41.2% 和40.9%。

學生因學習數學而生發負面情緒并非近年來流行的新問題。1974年，身為中學數學教師的張景中在課堂上就發現了這一點，從那時起，他便開始探索如何讓數學變得更容易，幫助更多學生樹立起學好數學的信心。帶著這份思考，張景中堅持教書育人，提出“教育數學”的思想理念，努力為每個難點尋找簡單路徑；他致力數學科研，深耕機器證明、距離幾何及動力系統等領域，使幾何定理可讀證明自動生成的難題取得突破；他從事科普創作，用作品闡釋數學主張，履行自己眼中“科學家的責任”；他研究教育信息技術，與團隊共同打造出互聯網動態數學工具——網絡畫板，用信息技術賦能數學課堂……在與數學相伴的漫漫長路上，張景中逐漸成長為一名數學家和數學教育家，一步步將教育理念轉化為教學實踐。

為了教育改造數學

《教育家》：您曾在《從數學教育到教育數學》一書中首次提出“教育數學”的概念，請結合自身經歷談一談當時提出這一理念的緣由和初衷。

張景中：1974年，我在新疆二十一團子女中學做數學教師，看到很多學生為學數學頭疼，尤其是學到幾何部分時，有不少學生向我反映做不出題目。作為教師，我為他們想了一些更簡單的解法，發現很有效，還有好幾位初中生當時就學會了高中的數學知識。1978年，我被調到中國科學技術大學教少年班和數學系，又看到很多學生為高等數學發愁，于是我開始針對他們認為難度較大的幾個問題，研究使其“變簡單”的方法。直到1989年，我接到出版社寫書的邀請，才把這一理念正式提煉命名為“教育數學”。簡單來說，“教育數學”就是為了教育改造數學，它的形成和國外許多數學理念的提出有所不同，國外的數學家往往喜歡先提出一種數學教育主張，然后讓教師按照這個主張開展實踐，比如西方建構主義有學者曾主張學習乘法口訣表重點要依靠理解，當時便有教師不建議學生在小學階段背誦這部分內容。

從分類上看，“教育數學”的理念生長在教育學與數學之間的以數學為主體的交叉范疇，更多是對數學的創新，而非純粹教學方法的改變。面對當前數學教育中存在的一些問題，我們不能把責任都推給教育，從學科本身出發，解決學科內知識的疑難雜癥，往往會達到更好的教育教學效果。

《教育家》：在實踐“教育數學”這一理念的過程中，您遇到過哪些困難？又是如何解決的？

張景中：最大的困難是很多人不愿意嘗試新理念，用“教育數學”做實驗。新理念要想落地，首先需要經過實驗的驗證和認可，之后才能得到推廣的機會。對于大多數教育工作者而言，“教育數學”的理念和傳統的數學教學方法相差太大，雖有成功的可能，但和已經過多重檢驗的現有數學教育體系相比，風險指數的確很高。而且做實驗不是一節課的事情，需要幾年的澆灌才能看到結果，一旦實驗未能達到預想的效果，不單已有的投入付諸東流，這批實驗生的數學成績也要有人負責。

我能理解他們的心態，不過我還是堅持推動“教育數學”落地。我寫了很多科普文章，宣傳讓數學變得容易學的新方法，之后部分奧數參考書開始選用這些內容。為了更好地貼合學生的學習實際，我嘗試用這些新方法做了大量中小學數學習題，并在這個過程中提煉出了幾何證明的算法。漸漸地，華東師范大學的張奠宙先生開始注意到我的理念，他很欣賞“教育數學”的理念，在他的倡導下，寧波崔雪芳老師開始用“教育數學”做實驗。他們面向初一學生用我的方法講了一節課引入正弦，發現學生都能夠理解，還生發出了想要繼續深入學習的興趣。當時距離這一理念的提出已過去了將近20年的時間。后來，我又得到廣州市科學技術協會的支持，在“千師萬苗工程”的助力下獲得了更多實踐機會。廣州市海珠區實驗中學將兩個班作為實驗班，其他四個班作為對照班，還和實驗班的學生家長簽訂了協約，如果實驗班的學生因數學成績不理想而沒考上高中，本校會予以接收，以此減輕家長的精神負擔。實驗班的數學教師參考我的科普書改編教材，創新了九十多節數學課，三年后，實驗班105名學生的數學中考成績全部優秀（120分以上），對照班級的優秀率約為60%。實驗班學生也表示學得很輕松，感覺學習數學的負擔一下子減輕了。這次實驗成功后，貴州、成都等地也開始做類似的教學實驗，到目前為止結果都很理想。2004年，在老師們的關心和推動下成立了中國高等教育學會教育數學專業委員會，每年組織年會， 開展交流。國家級教學名師李尚志教授主編的推廣教育數學成果的初中教材《新思路數學》出版了，目前已有十幾個省的一百多所學校加入實驗隊伍，并有了初步成效。

換一種思路，數學也能變容易

《教育家》：要讓學生更加輕松且高效地學習數學，離不開您對數學理論的深入思考和科研成果的支撐，您是如何將這些內容滲透到不同學段的數學教學當中，讓數學變容易的？您怎樣看待數學教育與科研之間的關系？

張景中：基礎教育階段，學生學習數學的難點主要集中在幾何、向量、微積分等內容，不論是哪個學段的數學知識，我都相信一個原則：熟悉了就容易，簡單了就容易，理解了就容易，直觀了就容易。

在新疆教書時，有一道幾何題難倒了我們教研室的所有教師，最開始我也做不出來，后來才找到解法。解法的關鍵就是用了下面的共邊定理：

假設AB、PQ兩條直線相交于點M，則PM/QM=S? ? ? /? ? ? ? S? ? ? ? ? 。（用相似形容易看出上述比值等于兩個三角形高之比）

后來發現，想象讓線段AB沿所在直線滑動，當點A或B滑到M處時，立得所求，這樣小學生更容易理解。過去教材上沒有共邊定理的內容，它可以大大簡化射影幾何中許多定理的證明，如梅涅勞斯定理和塞瓦定理，我分別只用了一行字代替了國外科普書中給出的半頁解法。

再例如，荷蘭數學家弗蘭登塔爾曾提出：能否實現提前兩年讓學生學三角函數？這個想法在國外沒有實現。結合學生在理解定義環節反映的難點，我為正弦函數找到了一種更為直觀的幾何模型，以求使其與小學數學知識相聯系，降低對學生已有知識的儲備要求——

S? =長×寬，在小學課本中可用單位面積為1的正方形表示，即假設矩形長為3，寬為2，矩形便可用兩行三列的單位正方形羅列表示。假設矩形的邊框可以活動，使矩形傾斜變為平行四邊形，單位正方形即變為邊長為1的菱形，S? =3×2×S? 。假設菱形有一角為α，為了簡便，我們用sinα來表示這個邊長為1的菱形的面積，那么S? =3×2×sinα，連接對角線取一半，即可獲知三角形的面積公式，計算三個角并列出等式，輕松得出正弦定理。

像這樣的案例還有很多，研究起來難度不同，有的研究只花了我一夜的工夫，而有的我前前后后18年的時間才想明白。我覺得數學課堂中的許多問題，實際上都能轉化為科研課題，如果能在數學科研上做出探索和突破，那么前者的復雜問題也就有了迎刃而解的可能。

《教育家》：多年來，您一直致力于科普創作，還提出“科普是科學家的責任”，您如何理解科學精神？它在數學學科上體現在哪里？日常的數學學習和科普閱讀對培育孩子的科學精神有何助力？

張景中：科學普及和科技創新同等重要。我認為科學精神可以概括為：求真、務實、探索、創新。日常的數學學習和科普閱讀可以為孩子提供生動的情景和榜樣，啟發他們的學習興趣，引發他們在生活中多動手動腦，比如《十萬個為什么》中的很多情景都來自日常生活，我們為何就不能從中發現問題然后探索出答案呢？

不同學科的學習對培育科學精神都有一定推動作用。我想，數學不僅是科學的工具，還是一種科學思維和文化。我希望學生能以求真務實的態度，用準確的數學語言表達所思考的內容，并在其中探索、發現新的東西，它的內涵也與我們的核心價值觀一致，其中更突出自由與平等，不論研究者是何種身份，只要提出創新的、正確的數學研究成果就會被認可；一旦嚴密的邏輯論證出現問題，不論是大數學家還是小學生也都應當承認是自己不對了。

此外，學習數學、閱讀科普讀物還可以幫助學生開闊眼界，認識到數學知識的廣泛應用，了解提出和解決數學問題的曲折有趣的歷史。比如當初看不到抽象代數這門數學課程有什么用處，所以稱之為“抽象”代數。后來發現因式分解幾乎用到了它的所有理論，它的理論還可用來研究構造和破譯密碼，有著很高的實用價值。

網絡畫板，讓數學教學更高效

《教育家》：“2022全球智慧教育大會”上，您提出要打造學科專用的教育信息技術，與普適的教育信息技術相比，它有什么不同？網絡畫板可以為教師和學生分別提供哪些支持？

張景中：普適的教育信息技術可以為各個學科服務，比如統計成績、電子閱卷等系統。每一門學科都各有特色，教師授課、學生聽講的需求也有所不同。例如，英語學科需要聽、說、讀、寫等方面的支持，物理、化學需要搭建必要的實驗操作環境。數學教師課上需要寫公式、作圖、測量圖形參數、做演示……這些內容可以總結為8個字——“寫、畫、測、算、編、演、推、變”，用網絡畫板都可以輕松實現。假如沒有教育信息技術的助力，教師要畫出準確的圖需要花費很長時間。我們研發網絡畫板，正是為了解決這些問題，用數學學科專屬的教育信息技術，幫助教師更加高效地備課、授課，并將更為直觀的內容呈現給學生，調動他們的學習興趣，讓數學學起來更容易。

《教育家》：教育的數字化轉型不單需要技術的引入，更重要的是，應用技術的人的改變，您將網絡畫板比作“人人都能用的數學實驗室”。在您看來，一線教師需要做出哪些轉變，才能在應用教育信息化成果的過程中實現從“能用”到“用好”的飛躍，探索出教師自身應用教育信息化技術的特色？

張景中：首先，教師要愿意借用教育信息化成果，樂于實踐。有時，“用不好”可能只是因為教師不熟悉。以網絡畫板為例，網上提供了大量拿來就能用的教學資源，可以直接插入課件用于教學，可見，實際上部分教育信息化成果的應用門檻并不高，即使是信息技術水平一般的教師用起來也不會有障礙。教師踏出應用教育信息化成果的第一步，很快就可以熟練起來，繼而漸漸形成自己的習慣和特色。

其次，在討論中提高。在功能允許的前提下，教師可以在網上發表作品或方案，尋求其他教師和學生的建議。這個函數想用什么樣的動畫、這個幾何圖形應該如何設計、現有的方案可以怎樣修改……這些問題都可以討論。聽到多種聲音，才能讓教師發現現有方案的更多亮點和不足。

尖子班要抓，普通班也要抓

《教育家》：黨的二十大報告提出要加強基礎學科建設，著力造就拔尖創新人才，從基礎教育到高等教育，您對基礎學科拔尖創新人才的貫通式培養有哪些建議？

張景中：清華大學的丘成桐教授曾經開設研究生班，后來又辦了本科生班，再后來又辦了高中生班，最近他還提出初中是培養學生數學興趣的好時機，我們在基礎教育階段就要為他們夯實基礎。在貫通式培養的過程中，我提出兩點建議——

一是基礎教育階段要抓尖子班也要抓普通班。我認為辦數學尖子班是好事，可以為這些有數學專長的學生提供更適配的數學教育，但我們也需要關注普通班的學生。首先，學生在整個青少年時期對數學的興趣與天賦會發生變化，每顆種子萌發的時機不同，有些學生在小學就能凸顯出來，有些學生可能就需要等到高中；其次，許多地方由于資源有限，無法組建尖子班，這一點在我們各地的實驗班中尤其明顯。這些原因都讓各個學段里的普通班藏龍臥虎，如果教師能在平常的數學課堂上啟發他們，重視對這些學生的培養，那么未來國家數學拔尖人才的數量或許就能迎來大幅提高。

二是不必讓高等教育階段的學生過早地追求成果，譬如我們鼓勵學生有了研究成果之后發表論文，但不要把發表論文當成學生畢業的必要條件。碩士階段的部分學生對于數學前沿的了解程度尚淺，發表的文章大多還火候不足?，F在，中國在國際期刊上刊發的數學文章多了，但總體水平還不高。研究生要搞數學研究，就要沉下心來思考和學習，很多出色的科學家都是在拿到博士學位后才針對某個問題做出了突出的成果。

《教育家》：對于數學人才的培育和數學教育的未來發展，您有何期待？

張景中：數學人才的培養不是一蹴而就的，想要實現頂尖數學人才的充足，首先要實現中等層面數學人才的充足，前者更多是研究數學專業理論的學者，后者可以包含各行各業的普通人，像工程師、設計師、程序員、會計師……支持他們工作、進步的相當一部分基礎正是扎實的數學知識。國家人才的需求多種多樣，中等層面數學人才的培養也應該百花齊放，數學教師也屬于這一范疇，但現在很多地方依然缺少數學教師，優秀的數學教師更是稀缺的人力資源。

未來，我希望數學教育能適當地打破限制?，F在仍有部分數學教師的教學模式過于死板，他們規定學生要學什么、怎樣學，甚至要求學生只能用哪一種方法來解題。如果大家都按照一種方式來學基礎數學，他們的思維方式也容易趨向一致，不利于創新思維的形成。因此，我希望宏觀層面上，新課程標準能在一定程度上增添一些拓展性內容，更加靈活地處理“封頂”的問題；微觀層面上，期望更多一線教師能使用豐富多彩的教學方法，為學生創造出學習數學的自由空間。