找準(zhǔn)復(fù)習(xí)著力點(diǎn) 促進(jìn)思維進(jìn)階*

福建省福州市閩清縣第一中學(xué) (350800) 盧秋丹

高考命題已經(jīng)從能力立意轉(zhuǎn)到素養(yǎng)導(dǎo)向,素養(yǎng)導(dǎo)向的高三復(fù)習(xí)課教學(xué)要求數(shù)學(xué)教師激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性,引領(lǐng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)與方法進(jìn)行梳理、歸納,使數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化;引領(lǐng)學(xué)生站在學(xué)科思想的高度深層次的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣.然而,不少高三復(fù)習(xí)課往往只重視“題海”訓(xùn)練,學(xué)生機(jī)械模仿,大量“刷題”,這種“低思維”的復(fù)習(xí)模式,不僅師生雙方覺(jué)得疲憊不堪,而且不利于學(xué)生獨(dú)立思考,不利于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.要讓學(xué)生適應(yīng)新高考的要求,教師應(yīng)充分利用課堂的黃金時(shí)間,引領(lǐng)學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法再認(rèn)識(shí)、再提高, 追求更深層次的理解;引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的主動(dòng)探究,完善學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)和思維系統(tǒng),提升學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題,使體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、具有深度思維價(jià)值的課堂活動(dòng)真正發(fā)生,從而提升學(xué)生關(guān)鍵能力,促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地.

1 打通知識(shí)與問(wèn)題的聯(lián)結(jié)點(diǎn),提升認(rèn)知高度

高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué),不是簡(jiǎn)單羅列高一、高二所學(xué)知識(shí)、梳理方法、喚醒學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的記憶,更要站在系統(tǒng)的高度,引導(dǎo)學(xué)生以主干知識(shí)為主線,以教材為依據(jù),對(duì)所學(xué)知識(shí)“聯(lián)珠編網(wǎng)”,整合內(nèi)容板塊,促進(jìn)知識(shí)的系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化;引導(dǎo)學(xué)生站在整體的高度與教材對(duì)話,弄清知識(shí)之間的邏輯關(guān)系,完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu);幫助學(xué)生打通知識(shí)與問(wèn)題之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn),使他們由問(wèn)題能聯(lián)系到所學(xué)的知識(shí),由知識(shí)會(huì)聯(lián)想到問(wèn)題,提升認(rèn)知高度.

案例1 課本對(duì)“數(shù)列”知識(shí)是以線串式順序呈現(xiàn)的,在復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師可以將“數(shù)列”內(nèi)容進(jìn)行重組, 用思維導(dǎo)圖的形式展示這一章節(jié)內(nèi)容的內(nèi)在結(jié)構(gòu)(如圖1),使學(xué)生對(duì)該單元內(nèi)容的邏輯鏈條有一個(gè)直觀的、整體的、清晰的認(rèn)識(shí),從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng).

圖1

不少教師在復(fù)習(xí)各章節(jié)知識(shí)時(shí),對(duì)公式、定理的推導(dǎo)過(guò)程一帶而過(guò),只強(qiáng)調(diào)需熟記公式,然后就進(jìn)行大量的訓(xùn)練.學(xué)生不了解知識(shí)的來(lái)龍去脈,就無(wú)法完整地建構(gòu)知識(shí)體系,更無(wú)法體會(huì)定理、公式等規(guī)律在推導(dǎo)過(guò)程中所揭示的數(shù)學(xué)思想方法.因此,在一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題串,引導(dǎo)學(xué)生重溫公式、定理的推導(dǎo)過(guò)程,并重視其思維過(guò)程的呈現(xiàn),讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的體悟中,發(fā)展思維,提升關(guān)鍵能力.筆者以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”為例,設(shè)置以下問(wèn)題串:

問(wèn)題1 請(qǐng)回顧“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”(強(qiáng)調(diào)需分q=1和q≠1兩種情況.)

問(wèn)題2 課本是怎樣推導(dǎo)公式的,推導(dǎo)過(guò)程蘊(yùn)涵著哪些數(shù)學(xué)思想方法?(強(qiáng)調(diào)“減元”思想.)

問(wèn)題4 還有其他推導(dǎo)的方法嗎?

問(wèn)題5 請(qǐng)類(lèi)比“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”的推導(dǎo)方法“倒序相加法”,它們有何相同之處?(本質(zhì)一樣, 目的都是“消項(xiàng)”,使無(wú)限化歸為有限.)

在公式、定理等規(guī)律的生成過(guò)程中,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)先哲們的思維方式、解決問(wèn)題的方法,回歸課本,重溫公式、定理的推導(dǎo)過(guò)程,把握知識(shí)的來(lái)龍去脈,有利于學(xué)生深刻領(lǐng)悟蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法,優(yōu)化思維品質(zhì),提升思維深度.

2 以“暴露問(wèn)題”為重點(diǎn),促進(jìn)思維進(jìn)階

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,“錯(cuò)題”是教學(xué)的一個(gè)頑癥.學(xué)生做錯(cuò)題的原因多種多樣,一些是由于對(duì)概念、公式、定理產(chǎn)生理解上的偏差造成的,另一些則是審題不當(dāng)、運(yùn)算出錯(cuò)等原因.因此,教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生搭建“糾錯(cuò)”的平臺(tái),把典型的“錯(cuò)題”作為藍(lán)本,經(jīng)過(guò)變式,設(shè)計(jì)成帶有變化性與延展性的問(wèn)題,有針對(duì)性引導(dǎo)學(xué)生糾正偏差,突破思維障礙.改編“錯(cuò)題”的方式有轉(zhuǎn)換問(wèn)題的條件與結(jié)論、變化問(wèn)題的情境、改變問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式等等.這樣的改編題在形式上與“錯(cuò)題”有區(qū)別,能使學(xué)生帶著新鮮感做題,具有潛移默化的糾偏功效,可提高學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”.具體做法是“錯(cuò)題——交流——?dú)w因——變式——反饋——小結(jié).其中交流就是通過(guò)與做錯(cuò)題目的學(xué)生交流,尋找隱藏在錯(cuò)誤背后的知識(shí)缺漏與思維缺陷.“錯(cuò)題”改編后的反饋環(huán)節(jié)是檢查學(xué)生是否達(dá)到了糾錯(cuò)的目的,小結(jié)環(huán)節(jié)具有一定的延展性,例如進(jìn)行方法總結(jié)、獲得一般性結(jié)論等,最終實(shí)現(xiàn)“識(shí)錯(cuò)、糾錯(cuò)、防錯(cuò)”的目標(biāo),促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階.

案例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,an≠0,a1=1,anan+1=2Sn-3(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

多媒體展示典型錯(cuò)解:由于anan+1=2Sn-3(n∈N*)⑴,因此an+1an+2=2Sn+1-3 ⑵,由⑵-⑴得an+1(an+2-an)=2an+1,因?yàn)閍n+1≠0,所以an+2-an=2,因此數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公差為2的等差數(shù)列,故數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,又a1=1,因此an=n.

師:以上解法對(duì)嗎?

學(xué)生討論、交流后發(fā)現(xiàn),上述解法對(duì)等差數(shù)列定義的理解出現(xiàn)偏差,沒(méi)有運(yùn)用等差數(shù)列的定義進(jìn)行推理,誤以為數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都為等差數(shù)列且公差相等時(shí),數(shù)列就是等差數(shù)列.通過(guò)探究,學(xué)生得到了正確解法.

案例2中,教師有效利用“錯(cuò)誤資源”,充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位,引導(dǎo)其相互交流,在問(wèn)題分析中暴露思維,在識(shí)錯(cuò)與糾錯(cuò)中修正錯(cuò)誤,在智慧變題中發(fā)散思維,讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題有了深度理解,為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,讓學(xué)生真正地糾正偏差,教師給出如下變式:

變式3 數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前12項(xiàng)和為.

師:從以上例題與變式可得到什么啟示?

學(xué)生交流、歸納:⑴定義是證明數(shù)列為等差數(shù)列(或等比數(shù)列)的最基本方法;⑵如果某數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別是公差相同的等差數(shù)列,且這個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)成等差數(shù)列則該數(shù)列一定是等差數(shù)列.

3 以解題反思為生長(zhǎng)點(diǎn),促進(jìn)深度正遷移

許多教師在講完一個(gè)問(wèn)題后,往往沒(méi)有給學(xué)生反思的時(shí)間,而是根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),直接指出該題的題眼、陷阱以及運(yùn)用的思想方法等等.學(xué)生雖然聽(tīng)懂了,但并沒(méi)有內(nèi)化為自己的知識(shí),無(wú)法留下深刻的印象.因此教師應(yīng)給予學(xué)生自主反思、“頓悟”的時(shí)空,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題的思維過(guò)程再思考、再認(rèn)識(shí),在深度反思中不斷探詢?cè)偕灾R(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”,并形成具有個(gè)性化的經(jīng)驗(yàn),讓高三復(fù)習(xí)收到事半功倍的效果.

案例3 過(guò)拋物線C:y2=2px焦點(diǎn)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,求證:y1y2=-p2.

經(jīng)過(guò)探究,學(xué)生得到了該題的不同解法,教師多媒體展示以下三種方法.

接著,教師讓學(xué)生進(jìn)一步反思:

反思1 該題的逆命題能否成立?即:直線l與拋物線C:y2=2px(p>0)交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1,y2,如果y1y2=-p2,則直線l是否過(guò)C的焦點(diǎn)?

反思2 若改變例題的條件,是否可以獲得相似的推論?即:設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn)(t,0)且與拋物線C:y2=2px(p>0)有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q,P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,則y1y2是否為定值?

反思3 設(shè)直線l與拋物線C:y2=2px(p>0)有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q,P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,且y1y2=m(m為常數(shù)),則該直線l能否過(guò)定點(diǎn)?

反思5 設(shè)直線l與拋物線C:y2=2px(p>0)有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q,直線OP與OQ的傾斜角分別為α、β,若α+β=θ(θ為定值且θ∈(0,π)),則直線l能否過(guò)定點(diǎn)?

通過(guò)層層遞進(jìn)式的反思,學(xué)生的思維激流涌動(dòng),產(chǎn)生了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“好胃口”,促進(jìn)其主動(dòng)對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行深層次分析,對(duì)解題過(guò)程中所用到的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納、提煉,進(jìn)而產(chǎn)生新的想法,展開(kāi)新的探索,“生長(zhǎng)”出新的問(wèn)題.

在問(wèn)題解決后,教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下反思:⑴本題的背景是什么?解題的難點(diǎn)在何處?是如何化歸的?今后應(yīng)怎樣思考這一類(lèi)題目?⑵解題過(guò)程中哪幾個(gè)步驟容易出錯(cuò)?怎樣預(yù)防與克服?⑶該題還有其他方法嗎?其中哪一種方法比較基本?哪一種方法比較巧妙?哪一種更簡(jiǎn)便?分別有哪些可取之處?⑷命題能否進(jìn)行變式、延展?⑸解決問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)用了哪幾種思想方法?運(yùn)用這些方法應(yīng)該注意哪些問(wèn)題?

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自身的思維過(guò)程進(jìn)行再思考、再認(rèn)識(shí),養(yǎng)成多歸納、勤總結(jié)的良好習(xí)慣,有利于實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)化,在解決問(wèn)題的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)樹(shù)、生成知識(shí)林,逐步形成“無(wú)論研究對(duì)象如何變化,研究方法與研究套路不變”的切身體會(huì),有效促進(jìn)學(xué)生知識(shí)和能力的高效正遷移.

總之,高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是一個(gè)不斷夯實(shí)必備知識(shí)、落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、提升關(guān)鍵能力的過(guò)程,教師應(yīng)全力打造“重學(xué)生參與、重知識(shí)建構(gòu)、重思維活動(dòng)”的魅力課堂[3],讓知識(shí)問(wèn)題化,問(wèn)題序列化,為學(xué)生數(shù)學(xué)行為的健康、有序發(fā)展提供潛在的“加速度”,從而促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的“生長(zhǎng)”,最終形成數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.