一道圓系方程的變式探究

廣東省佛山市順德區(qū)羅定邦中學(xué) (528300) 陳 玲

在解析幾何問題中,我們接觸到的軌跡方程常常都是關(guān)于點(diǎn)的軌跡.當(dāng)某種曲線(以圓為例)按照某種規(guī)律進(jìn)行變化時,也可形成相應(yīng)的軌跡(本文稱其為“圓系”).那么這樣的“圓系”會滿足什么規(guī)律呢?

“圓系”方程,顧名思義即是滿足某類條件的一系列的“圓”的方程.常見的構(gòu)造“圓系”方程的技巧有如下幾種:

(1)同心圓的圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0)或x2+y2+Dx+Ey+λ=0.

(2)設(shè)直線l與圓C相交,則有過直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.特別地,當(dāng)l與C相切時,上述方程依然成立.

(3)與直線l:Ax+By+C=0上一點(diǎn)P(x0,y0)相切的圓系方程為(x-x0)2+(y-y0)2+λ(Ax+By+C)=0.

(4)設(shè)圓C1與圓C2相交,則過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.特別地,當(dāng)λ=-1時,上方程則退化為過圓C1與圓C2交點(diǎn)的直線方程.

除了上述常見的構(gòu)造圓系的技巧以外,通過描述圓心的軌跡以及半徑的特征也可獲得相應(yīng)的圓系.武漢市2022屆二月調(diào)研第11題便是一道以圓系為背景的試題,本文將對其進(jìn)行深入分析,并探究相關(guān)的變式問題.

A.圓K過定點(diǎn) B.圓K的圓心在定直線上

C.圓K與定直線相切 D.圓K與定圓相切

通過上述分析可知,對于圓K,存在定直線與其相切.上述解法主要是通過特殊值驗(yàn)證,再進(jìn)行理論證明.那么,該結(jié)論的幾何意義是什么呢?能夠通過幾何的視角求解呢?

利用上述分析,下面給出幾道變式問題.

變式1在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓K:(x-k)2+(y-k)2=λk2(λ>0),其中k≠0,試判斷是否存在定直線與圓K相切.

分析：類比上例,通過特殊值驗(yàn)證出所求直線恒過原點(diǎn),故可設(shè)切線l:y=tx,利用切線的判定方法即可求得切線.

變式2 在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓K:(x-mk)2+(y-nk)2=λk2(λ>0),其中k≠0,試判斷是否存在定直線與圓K相切.

分析：與變式1的解法相同,現(xiàn)僅給出結(jié)論如下:當(dāng)λ=m2+n2時,僅存在一條直線與圓K相切;當(dāng)λ>m2+n2時,不存在定直線與圓K相切;當(dāng)λ

在上述問題中,圓K的圓心在一條定直線上,若將定直線轉(zhuǎn)化為一般的圓錐曲線,所獲得圓系會滿足什么性質(zhì)呢?

變式3 在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓K:(x-mcosθ)2+(y-msinθ)2=r2(m>0),試判斷是否存在定圓與圓K相切.

解析:易知圓K的圓心所在的軌跡為x2+y2=m2.當(dāng)r≠m時,存在兩個圓x2+y2=(m-r)2,x2+y2=(m+r)2與圓K相切;當(dāng)r=m時,存在一個圓x2+y2=(m+r)2與圓K相切.

基于此,我們可以命制出如下的變式.

解析：根據(jù)上述分析兩圓分別為F1:(x+c)2+y2=(a-c)2,F2:(x-c)2+y2=(a+c)2.其中KF1=RK+a-c,即可知圓K與圓F1外切.因?yàn)閳A心在橢圓Γ上,根據(jù)橢圓的定義,KF2=2a-KF1=a+c-RK.從而可得圓K與圓F2內(nèi)切.

解析：兩圓分別為F1:(x+c)2+y2=a2,F2:(x-c)2+y2=a2.其中KF1=RK+a,即可知圓K與圓F1外切.因?yàn)閳A心在雙曲線Γ上,根據(jù)雙曲線的定義,KF2=KF1-2a=RK-a.從而可得圓K與圓F2內(nèi)切.

變式6 已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,已知圓K的圓心在拋物線Γ上,其半徑RK=KF,則存在定直線與圓K相切.

證明：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,根據(jù)拋物線的定義KF=dK-l的距離.即可得圓K與準(zhǔn)線l相切.

除了上述構(gòu)造變式的方法外,我們還通過限制圓心軌跡的范圍來獲得特殊圖象來命制試題.例如,如圖1,已知集合P={(x,y)|(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=4,0≤θ≤π}.由集合P中所有點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示,中間白色部分形如美麗的“水滴”.下列說法正確的是( ).

圖1

A.“水滴”圖形與y軸相交,最高點(diǎn)記為A,則A的坐標(biāo)為(0,1).

B.在集合P中任取一點(diǎn)M,則M到原點(diǎn)的距離的最大值為3.

分析：本題設(shè)計的圓系的圓心所在的軌跡為一段圓弧,通過選取特殊位置即可確定“水滴”的關(guān)鍵信息,答案為BCD,過程略.

一般地,圓K:(x-mcosθ)2+(y-msinθ)2=r2(r>m,0<θ<π)所圍成的圖象均可形成一個“水滴形”的圖案.