多邊矩陣的塊轉(zhuǎn)置T 運(yùn)算

羅 純， 郟君樂， 夏琪祺， 潘 翔， 馬萱航， 張應(yīng)山

（1.上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院， 上海200235；2.硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 校長(zhǎng)室， 江蘇 昆山 215332；3.華東師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)部， 上海200241）

為了查找具有固定特征再現(xiàn)性的數(shù)據(jù)，考慮對(duì)數(shù)據(jù)多種形式的可逆變換。在一般矩陣?yán)碚撝?，基本又?jiǎn)單的一個(gè)工具就是矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算?T。?T對(duì)應(yīng)的英文是Transpose，即將矩陣沿對(duì)角線旋轉(zhuǎn)的含義。在多邊矩陣?yán)碚撝型茝V這個(gè)運(yùn)算時(shí)，?T也成為了多邊矩陣?yán)碚摰幕具\(yùn)算之一，稱為塊轉(zhuǎn)置T運(yùn)算。在高維度張量矩陣中，可以得出的是，塊轉(zhuǎn)置T 運(yùn)算相當(dāng)于物理學(xué)中的張量指標(biāo)轉(zhuǎn)置運(yùn)算，只是這里的多邊矩陣交換運(yùn)算比起張量的指標(biāo)轉(zhuǎn)置運(yùn)算要簡(jiǎn)單。但多邊矩陣塊轉(zhuǎn)置T 運(yùn)算，比起普通矩陣?yán)碚摰膲K轉(zhuǎn)置T 運(yùn)算復(fù)雜得多，就是限制多邊矩陣到矩陣場(chǎng)合，與矩陣的轉(zhuǎn)置T 運(yùn)算的含義仍是不同的概念。普通矩陣?yán)碚摰霓D(zhuǎn)置T 運(yùn)算相當(dāng)于把行列指標(biāo)交換，因而對(duì)其運(yùn)算的求逆運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，而多邊矩陣的轉(zhuǎn)置T 運(yùn)算，是對(duì)多個(gè)指標(biāo)中的任意2 個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)置，甚至是對(duì)多邊矩陣相應(yīng)的框架進(jìn)行剖分，對(duì)剖面元素的任意2 個(gè)指標(biāo)交換，相當(dāng)于普通矩陣中的分塊轉(zhuǎn)置運(yùn)算。對(duì)這種運(yùn)算求逆運(yùn)算非常困難。本文專門來研究這種運(yùn)算和求逆運(yùn)算的性質(zhì)。

文獻(xiàn)[1]求證了剖面代數(shù)運(yùn)算同構(gòu)于多邊矩陣的基陣代數(shù)運(yùn)算；文獻(xiàn)[2]給出了多邊矩陣剖面中的一些關(guān)系；文獻(xiàn)[3]介紹了多邊矩陣輪廓壓縮代數(shù)的概念，并引入了性質(zhì)，從而一般矩陣半張量積的概念得到了推廣；文獻(xiàn)[4]研究了多邊矩陣的塊跡 Tr 運(yùn)算和多邊矩陣普通乘法，及其多邊矩陣積Hadamard 的關(guān)系；文獻(xiàn)[5]研究了多邊矩陣的塊拉長(zhǎng) Te 運(yùn)算，給岀了多邊矩陣的塊拉長(zhǎng)運(yùn)算的一些代數(shù)性質(zhì)；文獻(xiàn)[6]研究了左半張量積在矩陣方程中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[7-12]研究的矩陣塊轉(zhuǎn)置方法，實(shí)際上是多邊矩陣塊轉(zhuǎn)置T運(yùn)算規(guī)則的一個(gè)特例。本文把矩陣的塊轉(zhuǎn)置和分塊矩陣的元素塊轉(zhuǎn)置，包括各種置換后的塊轉(zhuǎn)置和元素塊轉(zhuǎn)置都統(tǒng)一了起來，并給出了它們之間的聯(lián)系，并證明了換位置換也是某種形式的塊轉(zhuǎn)置T運(yùn)算。文獻(xiàn)[7-10]的換位置換矩陣也是多邊矩陣的換位矩陣的矩陣表示，并將這些運(yùn)算用于半張量積運(yùn)算。因?yàn)榘霃埩糠e可以被認(rèn)為是多邊矩陣交叉乘法的特例，將半張量積法對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)置法推廣到更通用的多邊矩陣塊拉長(zhǎng) Te運(yùn)算規(guī)則，當(dāng)然半張量積中的塊轉(zhuǎn)置的規(guī)則也適用。

首先定義了多邊矩陣的塊轉(zhuǎn)置 T運(yùn) 算規(guī)則，并利用該規(guī)則將多邊矩陣的剖分、基陣代數(shù)運(yùn)算這2個(gè)運(yùn)算的規(guī)則結(jié)合起來，推導(dǎo)出我們需要的基本運(yùn)算規(guī)則。為了更好的理解這些定理，本文不僅說明了普通矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算是多邊矩陣塊轉(zhuǎn)置T運(yùn)算的一個(gè)特例，而且說明了其與多邊矩陣塊拉長(zhǎng) Te運(yùn)算、多邊矩陣的塊跡 Tr運(yùn)算關(guān)系密切。

1 多邊矩陣塊轉(zhuǎn)置T運(yùn)算的定義和基本定理

矩陣分塊運(yùn)算的直接推廣包括多邊矩陣的剖分運(yùn)算。由于矩陣的分塊運(yùn)算大部分情況下是任意的，所以多邊矩陣的剖面也會(huì)隨之任意。如果進(jìn)行轉(zhuǎn)置 T運(yùn)算的是多邊矩陣的某個(gè)剖面元素，那么將可以得到無數(shù)種轉(zhuǎn)置T運(yùn)算形式。盡管這些運(yùn)算從理論上講，都是可逆數(shù)據(jù)變換形式，但真正求其逆運(yùn)算將是非常復(fù)雜的。先看一個(gè)例子。

例1.1考慮矩陣。按普通的矩陣?yán)碚?，矩陣A的普通轉(zhuǎn)置運(yùn)算非常簡(jiǎn)單，就是把其矩陣的行列改變一下而已。矩陣A的轉(zhuǎn)置結(jié)果是

矩陣A的行向量a(i)變成了矩陣AT的列向量bi，而矩陣A的列向量aj變成了矩陣AT的行向量b(j)。對(duì)這種運(yùn)算求逆運(yùn)算也比較簡(jiǎn)單，再次轉(zhuǎn)置即可。

現(xiàn)在，對(duì)矩陣A進(jìn)行特殊分塊運(yùn)算，使得分成的各個(gè)小塊矩陣的階數(shù)保持相同，那么可以將矩陣A分成如下分塊矩陣：

因其是階數(shù)相同的矩陣，可進(jìn)行統(tǒng)一的轉(zhuǎn)置運(yùn)算。如果對(duì)矩陣A的各個(gè)塊進(jìn)行轉(zhuǎn)置，或者塊不動(dòng)而將放列方式進(jìn)行轉(zhuǎn)置，就得到許多形式的新矩陣。將這些操作求出一個(gè)統(tǒng)一的逆操作，不易辦到。本文給出一種相對(duì)簡(jiǎn)單的逆操作方法。

先從最簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)置考慮起。記t(A1)=由于這些轉(zhuǎn)置是對(duì)矩陣剖面的各個(gè)剖面元素的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，所以我們可以將每個(gè)剖面元素的轉(zhuǎn)置結(jié)果，仍然放在相應(yīng)的位置上，就得到塊轉(zhuǎn)置T操作的一個(gè)結(jié)果，記成T(A)。譬 如

這是一個(gè)3×4階的矩陣。此矩陣與原來矩陣的關(guān)系比較復(fù)雜，但它可以揭示原來矩陣的不同剖面的數(shù)據(jù)信息。如果數(shù)據(jù)信息具有再現(xiàn)性，那么數(shù)據(jù)分析的結(jié)論就更加可靠。

通過推廣上述運(yùn)算，即可得到多邊矩陣塊轉(zhuǎn)置運(yùn)算的定義。

2 多邊矩陣塊轉(zhuǎn)置T的基本性質(zhì)

3 各種塊轉(zhuǎn)置 Tij的關(guān)系

4 塊轉(zhuǎn)置T和 塊拉長(zhǎng)T e、塊跡 Tr的關(guān)系

根據(jù)命題4.2 的記號(hào)Tr=(tr?IK)或T=(t?IK)=T11，對(duì)各項(xiàng)張量乘積的第一部分求總體跡tr或總體轉(zhuǎn)置t 后求和，這種運(yùn)算和普通矩陣的相應(yīng)運(yùn)算基本沒有差別。

例4.1 轉(zhuǎn)置運(yùn)算符號(hào)t?IK，t?t，IF ?t表示相應(yīng)的轉(zhuǎn)置是關(guān)于多邊矩陣A的剖面表示式中的的張量乘積中的2 個(gè)部分中的哪一部分求總體轉(zhuǎn)置t后相加，這對(duì)于記住相應(yīng)轉(zhuǎn)置運(yùn)算的規(guī)則很有幫助。常用的運(yùn)算符號(hào)是t?t=(t?IK)(IF ?t)=(IF ?t)(t?IK)和t?IK=(F，K)(IK ?t)K(F，K)T?？傮w轉(zhuǎn)置t 與t?t運(yùn)算有關(guān)。

命題4.1 說明，多邊矩陣的塊轉(zhuǎn)置 T和 塊拉長(zhǎng)Te 關(guān)系密切，其結(jié)論是總體拉長(zhǎng)下面關(guān)系公式的推廣

或者說是矩陣的按行拉長(zhǎng)Vec1和按列拉長(zhǎng)Vec2的下面關(guān)系公式的推廣

這些公式也是常有的公式?？傮w拉長(zhǎng) te與運(yùn)算te?te運(yùn)算有關(guān)，也與矩陣的按行拉長(zhǎng)Vec1和按列拉長(zhǎng)Vec2的下面記號(hào)有關(guān)系Vec1=Vec1?Vec1，Vec2=Vec2?Vec2。

命題4.2 說明，多邊矩陣的塊轉(zhuǎn)置T和塊跡 Tr 關(guān)系密切，其結(jié)論是總體跡tr(A)=tr(AT)的性質(zhì)的推廣?？傮w跡 tr與運(yùn)算tr?tr 運(yùn)算有關(guān)。

5 結(jié) 語

多邊矩陣的塊轉(zhuǎn)置T是非常重要的概念?；径ɡ砗屯普摫砻鳎噙吘仃嚨母鱾€(gè)部分之間存在著密切的關(guān)系，矩陣基本轉(zhuǎn)置 T運(yùn)算的拓展表現(xiàn)為這6 條基本性質(zhì)。另外，多邊矩陣的塊轉(zhuǎn)置T和塊拉長(zhǎng)Te、塊跡 Tr關(guān)系密切；它還與總體轉(zhuǎn)置t、總體拉長(zhǎng)te、總體跡 tr密切相關(guān)?？傮w拉長(zhǎng) te與運(yùn)算te?te有關(guān)；總體跡 tr與運(yùn)算tr?tr有關(guān)；總體轉(zhuǎn)置t與運(yùn)算t?t有關(guān)。 塊轉(zhuǎn)置 Tij與符號(hào)t?IK=(F，K)(IK ?t)K(F，K)T有關(guān)，它基本上等價(jià)于塊轉(zhuǎn)置T運(yùn)算。不同的運(yùn)算僅在置換多邊矩陣上有所不同。這表明所有類型的塊轉(zhuǎn)置 Tij運(yùn)算都是具有同構(gòu)運(yùn)算性質(zhì)的可逆等價(jià)運(yùn)算，相應(yīng)的逆運(yùn)算并不復(fù)雜，具有統(tǒng)一使用的置換公式，是解釋再現(xiàn)性問題的重要運(yùn)算工具之一。