二倍角解題策略

夏明

大連嘉匯中學王超老師的直播課《二倍角問題解決策略探究》，選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學習和個性化提升。

王超老師的這節課重點在于把二倍角的條件轉化成等角，進而用相似或勾股定理解決問題. 對于剛學完人教版八年級上冊教材的同學們來說，將二倍角轉化成等角，可為證明三角形全等提供條件.

基本模型

模型1 如圖1，作角平分線，把二倍角平分，得到與一倍角相等的角.

模型2 二倍角在三角形里.

1. 在三角形內，若二倍角關系中較小的那個角小于[45°]，則一定能分成兩個等腰三角形，如圖2所示.

2. 如圖3，將二倍角作為等腰三角形的外角，可以構造兩個等腰三角形，此法稱為“大角外分法”.

3. 如圖4，作二倍角的平分線，一定可以分成一個等腰三角形和一個二倍角三角形.

4. 如圖5，可得一個等腰三角形和一個二倍角三角形.

模型應用

例1 如圖6，在△ABC中，∠ABC = 2∠ACB，E，M為邊上兩點，連接AE，BM，使∠BNE = ∠ABC，作∠MFC = ∠AEB，若BC = AB，試判斷BE，CF的數量關系并證明.

思路點撥：由已知條件易得∠MBC = ∠BAE，加上AB = BC，一邊一角已經確定，又發現相等線段的一端出現了二倍角，所以可以把二倍角∠ABC平分，使∠ABH = ∠C，如圖7，得到△ABH ≌ △BCM，得到BH = CM，再證△BEH ≌ △CFM，即可證得CF = BE.

反思：還可把一倍角轉化成二倍角，如圖8，作∠MCG = ∠ACB，則∠ABC = ∠BCG，易證△ABE ≌ △BCG，可得BE = CG，再證△MCG ≌ △MCF，即可得CF = BE.

例2 如圖9，在等腰三角形[ABC]中，[AB=AC]，點[M]為[BC]上一點，[DM=EM]，[∠ADE=2∠E]，[AF⊥BC]于點[F]，交[DE]于點[N]，求證：[DN=2BD].

思路點撥：如圖10，在AB的延長線上作[DH=DN]，連接HN，[∴∠ADE=2∠H].

[∵∠ADE=2∠AED]，[∴∠H=∠AED].[∵AB=AC，AF⊥BC]， [∴∠BAF=∠CAF，]

[∴△HAN≌△EANAAS]，[∴AH=AE]，

[∴AH-AB=AE-AC]，[∴BH=CE].

延長[MC]到點[G]，使[MG=MB]，連接GE，

[∵DM=EM]，[∴△BDM≌△GEMSAS]， [∴∠ABC=∠G=∠ACB=∠ECG]，

[∴CE=GE=BD]，[∴DN=DH=DB+BH=2DB].

反思：如圖11，作[AD=AH]，連接HN，易得[△DAN ≌△HAN]，過點[D]作DG[?]CE，可證[△DGM ≌△ECM]，則[BD=DG=CE=CH]，可證[DN=2DB].? [M]

難度系數：★★★ 解題時間：10分鐘

如圖12，點D是△ABC內部一點，AB = AC，連接AD，BD，CD，延長AD交BC于點E，且∠BDE = ∠BAC = 2∠EDC = 2α，猜想BD，AD的數量關系，并說明理由. （答案見第29頁）

（作者單位：大連市第七十一中學）