探究正整數(shù)解 讀懂方案設(shè)計

王鋒

我們知道任何一個二元一次方程有無數(shù)組解，但其整數(shù)解卻是有限的，而根據(jù)正整數(shù)解的組數(shù)我們可以解決許多實際生活中的方案設(shè)計問題.

例 周末，小明的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕巾每包2元，共用30元錢（兩種物品都買），求小明的購買方案有幾種.

解析：設(shè)購買口罩[x]包，酒精濕巾[y]包，由題意得[3x+2y=30]，[∴x=10-23y]. 觀察上式可知y必須是3的倍數(shù). [∵x]，[y]均為正整數(shù)，∴y值可取3，6，9，12，∴二元一次方程[3x+2y=30]的整數(shù)解為[x=8，y=3]或[x=6，y=6]或[x=4，y=9]或[x=2，y=12.]故小明共有4種購買方案：購買8包口罩、3包酒精濕巾；購買6包口罩、6包酒精濕巾；購買4包口罩、9包酒精濕巾；購買2包口罩、12包酒精濕巾.

反思：解決此類問題的步驟通常為：列二元一次方程，將其變形為用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的形式，分離出整數(shù)部分，利用枚舉法求出二元一次方程的所有整數(shù)解，從而得出不同的設(shè)計方案. 若將題中“兩種物品都買”的條件去掉，又可增加2個方案：只購買10包口罩或只購買15包酒精濕巾.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：4分鐘

1. （2022·黑龍江）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動. 某班同學(xué)報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學(xué)去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元. 其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（ ）（答案見第29頁）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

2. （2022·黑龍江·綏化）某班為獎勵在數(shù)學(xué)競賽中成績優(yōu)異的同學(xué)，花費48元錢購買了甲、乙兩種獎品，每種獎品至少購買1件，其中甲種獎品每件4元，乙種獎品每件3元，則有 種購買方案. （答案見第29頁）

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）