基于多設計點方法的渦軸發動機熱力循環分析

鄭華雷，蔡建兵，黃 興

（中國航發湖南動力機械研究所，湖南株洲 412002）

0 引言

燃氣渦輪發動機熱力循環分析用于確定發動機的幾何尺寸和全包線內的性能，是發動機設計過程中極為重要的一環。熱力循環分析在完成飛/發一體化分析、得到發動機性能需求后進行，通過改變發動機主要熱力循環參數、計算發動機性能形成1 個設計域，包含了1 簇發動機熱力循環參數，分析其在非設計點性能，在滿足發動機性能需求的可行域內綜合考慮技術實現難度與優化結果，選取、確定發動機的熱力循環參數。

傳統發動機熱力循環分析采用單設計點理念，單設計點熱力循環分析方法（single design point method，SDP）是1 個串行的過程，首先選取一種工作狀態作為發動機的設計點進行熱力循環分析，確定發動機在設計點的循環參數，設計點參數確定后，對于非變循環發動機，若不考慮壓氣機導葉、尾噴管的調節手段，發動機的幾何和全包線性能也隨之確定；然后結合部件特性評估其它工作狀態的性能[1-3]，彭慧蘭等[4]在此基礎上，考慮了0D/2D 混合設計，進行了優化分析。單設計點方法的設計域只由設計點的需求決定，非設計點的需求不影響其邊界，所以設計域很難滿足所有狀態的性能需求，這就需要反過來調整設計點參數，進行迭代。如何選取和調整設計點的熱力循環參數，得到合適的設計域，需要設計人員對發動機工作特性深入理解，而且帶有很大的主觀性，缺乏嚴格的數學判據。

多設計點熱力循環分析方法（Multi-Design Point Method，MDP）是1 個并行的過程，在熱力循環分析之初便以多種典型工作狀態作為設計點，所有設計點上的所有需求和限制都會影響設計域，設計域內的每一點都嚴格滿足所有工作狀態的性能需求和使用限制。近些年，國外一些公開文獻開始研究利用多設計點思想進行航空發動機熱力循環分析。Kestner 等[5]采用多設計點的思想研究了技術限制、構型對超大涵道比渦扇（Ultra-High Bypass Ratio）發動機性能的影響；Bellocq 等[6-8]采用多設計點方法進行開式轉子發動機的任務分析、循環參數選取等；Zhen Z 等[9-11]采用多設計點思想對渦扇發動機的耗油率以及尺寸等指標進行了優化；Melissa 等[12]采用多設計點思想設計了可同時用于渦扇、渦軸以及渦槳的通用核心機；Jeff等[13-14]把多設計點方法和環境保護設計（Environmental Design Space，EDS）結合起來進行熱力循環分析，使發動機同時滿足性能、使用限制及污染排放、噪聲等要求；上述文獻僅提及多設計點方法的概念以及應用效果，對如何構建、求解等實現多設計點方法的具體做法沒有披露。

本文通過以單轉子燃氣發生器自由渦輪式渦軸發動機為研究對象進行熱力循環分析，提出了一種多設計點熱力循環分析的實現方法，給出了詳細的分析步驟和求解方法，并采用算例對比分析了多設計點方法與單設計點方法的實現過程和得到的設計域的差異。

1 多設計點方法及數學模型構建

針對單轉子燃氣發生器自由渦輪式渦軸發動機，詳細說明了多設計點熱力循環分析方法數學模型構建過程。發動機在各工作狀態下的功率作為必須滿足的性能需求，本文以耗油率進行單目標優化，不考慮質量、單位推力等因素。發動機的技術限制由當前技術水平決定，壓氣機的出口壓力、溫度和渦輪導葉、轉子葉片的金屬溫度一般是比較重要的技術限制，本文以高壓渦輪導葉和高壓渦輪轉子的金屬溫度作為技術限制。

1.1 設計點設置

在多設計點熱力循環分析方法中，選取所有典型工作狀態作為設計點，然后在這些設計點中選取1 個氣動設計點（Aerodynamic Design Point，ADP），壓氣機、渦輪等部件由氣動設計點的設計參數和特性圖（與此部件相似的特性圖或是通用特性圖）確定縮放因子，進而確定部件特性，一般選取壓氣機換算轉速最大狀態作為氣動設計點。渦扇發動機壓氣機的最高換算轉速一般出現在爬升末端，但是渦軸發動機最大飛行高度一般小于9000 m，遠低于渦扇發動機的，如不考慮應急狀態，一般選取地面起飛狀態作為氣動設計點。本文定義海平面、標準天起飛（Takeoff、TO）狀態作為氣動設計點。

隨著飛行高度以及環境溫度的升高，發動機進口的空氣流量減小、溫度升高，進而導致發動機功率降低、熱端溫度升高，中國1/3 以上的國土面積處于高原，因此發動機在設計之初就要考慮高溫高原起飛的需求，使發動機在不超溫度限制的前提下滿足功率需求。本文定義典型的高溫高原起飛狀態（High Altitude Hot Day Takeoff，HHDTO）為H=4500 m，ISA+25 ℃，與氣動設計點同時作為設計點。巡航狀態不體現發動機的最大能力也不作為氣動設計點，在本文中作為非設計點計算。但是此狀態的耗油率反映了發動機的使用成本，因此巡航狀態也是發動機設計的1 個關鍵點，在本文中作為熱力循環參數分析過程中的耗油率優化工作點。

渦軸發動機的主要熱力循環參數包括：（1）燃燒室出口溫度T4和壓氣機壓比OPR等，作為設計變量；（2）壓氣機與渦輪部件的效率、燃燒室燃燒效率、燃燒室以及通道之間的壓力損失、轉子機械效率等，不作為設計變量，根據技術水平或工程經驗進行取值。

1.2 數學模型的構建及求解

確立多設計點及對應的設計變量后，下一步是在所有設計點建立平衡方程并求解。平衡方程和迭代變量分為2 種類型：為設計人員根據性能需求、使用限制之間的關系建立的平衡方程（User defined）f U i及與其對應的迭代變量xU i；為使發動機各部件之間滿足

把所有設計點建立的平衡方程整合成1 個非線性方程組，即FX= 0，利用牛頓法求解此非線性方程組進行迭代

式中：Xn為當前歩迭代變量（向量）；Xn+1為下一步迭代向量；F(Xn)為當前歩平衡方程組計算結果（向量）；F′(Xn)為u+m階雅格比矩陣，在計算雅格比矩陣時需要對各迭代變量進行求偏導

由于非線性方程組無法解析表達，不能得到偏導數的解析解，只能得到數值解形成的雅格比矩陣，雅格比矩陣計算完成后通過求解公式

得到的向量δ即為迭代步長，其中δ=F'（Xn）-1F（Xn），因此式（3）可寫為

按照式（4）、（5）求解迭代步長，然后按照式（6）進行迭代，直至誤差滿足要求。非線性方程組FX= 0包含了所有設計點的性能需求和使用限制的平衡方程、各設計點之間滿足發動機部件共同工作的平衡方程，所得到的設計域嚴格滿足發動機在各工作狀態的性能需求和使用限制。與常規求解不同，初始形成的非線性方程組的方程數不等于迭代變量，求解器需要判斷進行預處理，使方程數目與變量一致，然后進行求解。

2 算例構建

該發動機的工作狀態定義、性能要求和使用限制見表1。其中Cruise 為巡航狀態，H、Ma、T分別為高度、馬 赫 數、溫 度，（High Pressure Turbine Nozzle Guide Vane，HNGV）代表高壓渦輪導向器，HPT 代表高壓渦輪，THNGV為高壓渦輪導向器金屬溫度，THPT為高壓渦輪轉子葉片金屬溫度。表1 給出的技術限制和性能需求參數，在后文中多設計點算例和單設計點算例都必須滿足。

表1 工作狀態定義、性能需求與使用限制

2.1 MDP算例的構建

多設計點方法設計點及非設計點設置見表2。多設計點方法同時選取起飛狀態TO和高溫高原起飛狀態HHDTO 為設計點，P為功率需求，OPR為起飛狀態的設計變量，取值范圍為12～24，T4為高溫高原起飛狀態的設計變量，取值范圍為1600～1900 K。高壓渦輪導向器與高壓渦輪轉子葉片金屬溫度為技術限制，金屬溫度由燃氣的溫度與流量、冷卻氣體的溫度和流量等氣動參數計算得到，計算方法詳見文獻[15]。

表2 多設計點方法設計點及非設計點設置

在2 個設計點（TO 狀態和HHDTO 狀態）建立的平衡方程（包括迭代變量和平衡方程左、右側的取值）見表3、4。其中W為流量，N1為核心機轉速，Cool，HNGV和Cool，HPT為冷卻高壓渦輪導葉的冷卻氣量，R為部件特性圖的參考值，轉速和R共同確定工作點在特性圖上的位置。

表3 TO狀態的平衡方程

表4 HHDTO狀態的平衡方程

從表中可見，在設計點組成的非線性方程組共有8 個迭代變量、10 個平衡方程，無法直接求解。這是因為相關高壓渦輪導向器和轉子葉片金屬溫度的2個平衡方程在2 個設計點重復出現，但是對應的冷氣量（Cool，HNGV、Cool，HPT）作為迭代變量在2 個設計點是不變的。無法在計算之前判斷在哪種工作狀態的金屬溫度更高，求解器需要在求解過程中進行判斷，非線性方程組只保留溫度較高的平衡方程，最終形成8 個平衡方程進行求解。

2.2 SDP算例的構建

單設計點方法設計點及非設計點的參數設置見表5，單設計點方法選取TO 狀態作為設計點。為了更好的比較多設計點方法設計域與單設計點方法的不同，2種方法在TO狀態的OPR取值范圍一致，由氣動參數計算金屬溫度的方法也與多設計點方法的一致。

表5 單設計點方法在設計點的參數設置

2 種方法的不同之處，單設計點方法在設計點計算時需要先給定流向高壓渦輪的冷卻氣量（Cool，HNGV、Cool，HPT）和燃燒室出口溫度T4，而在多設計點方法中，這2個變量為迭代變量。

本節主要對比多設計點算例MDP 與單設計點算例SDP 設計域的不同及分析其原因，并比較2 種方法的優劣。如無特殊說明，圖例中的總壓比OPR為起飛狀態的設計變量，耗油率sfc為巡航狀態耗油率，功率P為起飛狀態推力，T4為高溫高原起飛狀態下的燃燒室溫度，T為最高金屬溫度。

MDP 和SDP 的巡航耗油率對比如圖1 所示。從圖中可見，SDP 與MDP 的耗油率均隨總壓比的提高而降低，當壓比較高時，采用SDP 方法得到的耗油率低于MDP 方法的。但實際上由于單設計點方法的冷氣量為假設值，有可能導致高壓渦輪導向器和轉子葉片超過使用限制，使設計域的一部分不可行。

圖1 MDP和SDP的巡航耗油率對比

采用多設計點方法和單設計點方法得到的高壓渦輪導向葉片和轉子葉片的金屬溫度對比分別如圖2、3所示。從圖中中可見，采用多設計點方法得到的高壓渦輪導葉金屬溫度總是嚴格等于1333 K，高壓渦輪轉子葉片金屬溫度總是嚴格等于1280 K；而采用單設計點方法得到的高壓渦輪導葉金屬溫度為1200～1450 K，高壓渦輪轉子葉片金屬溫度為1150～1375 K，超過了渦輪金屬溫度的使用限制。

圖2 高壓渦輪導向葉片金屬溫度對比

圖3 高壓渦輪轉子葉片金屬溫度對比

采用多設計點方法與單設計點方法得到的高壓渦輪冷卻氣量的對比如圖4 所示。從圖中可見，多設計點方法流向渦輪的冷卻氣量隨著HHDTO 狀態T4以及TO 狀態壓比的升高而增大，這是由于HHDTO狀態T4的升高會造成燃氣溫度的升高，TO 狀態壓比的升高會造成冷卻氣溫度的升高，為使金屬溫度保持恒定，必須增大冷卻氣量。

圖4 高壓渦輪總冷卻氣量的對比

本文為了簡化分析，采用單設計點方法在循環分析時冷卻氣量不隨溫度和壓比變化，而在實際循環分析中，一般會根據工程經驗，根據設計點T4給不同的冷卻氣量，但是冷卻氣量仍在設計點計算之初給定，HHDTO 狀態的金屬溫度很難完全滿足技術限制。

從圖2～4 的分析可以得到以下結論：由于單設計點方法需要在設計點計算之前給定（假設）冷卻氣量，無法使金屬溫度嚴格滿足使用限制，使設計域的一部分區域由于使用了過多的冷氣量，從而使金屬溫度低于限制值，造成了性能浪費，另一部分區域由于金屬溫度高于限制值造成了設計域的不可行；多設計點方法的冷卻氣量為平衡方程組的迭代變量，是隨著設計變量（HHDTO 狀態的T4和TO 狀態的OPR）變化的，每組設計變量都會迭代計算得到冷卻氣量，使多設計點方法的設計域總是嚴格滿足金屬溫度的使用限制。

單設計點方法和多設計點方法在TO狀態的T4對比如圖5 所示。在循環分析時，單設計點方法選取TO 狀態為設計點，因為在計算之初需要給定T4，在本文中給定TO狀態的T4（“T4_TO”的坐標軸）等于HHDTO 狀態的T4（“T4”的坐標軸）；多設計點方法同時選取TO 狀態和HHDTO 狀態作為設計點，其中HHDTO狀態的T4為設計變量，TO 狀態的T4為迭代變量，多設計點迭代計算得到TO 狀態的T4小于HHDTO 狀態的T4，這就導致HHDTO 狀態起飛功率的對比，如圖6 所示。單設計點方法假設的TO狀態的T4大于多設計點方法的，2 種方法在TO 狀態的功率一致，意味著單設計點方法在TO 狀態的空氣流量小于多設計點的，2種方法在HHDTO 狀態的T4一致，從而使單設計點方法得到的HHDTO狀態功率不滿足設計需求。

圖5 TO狀態T4的對比

圖6 HHDTO狀態起飛功率的對比

從對圖5、6 進行分析可知，單設計點方法在計算TO 狀態時假設的T4偏高，從而使發動機流量偏小，導致了HHDTO 狀態的功率不足；多設計點方法在TO狀態的T4是隨著設計變量（HHDTO 狀態的T4和TO狀態的OPR）變化的，使多設計點方法的設計域總是嚴格滿足金屬溫度的使用限制。

3 結論

詳細介紹了多設計點熱力循環分析的構建、求解過程，利用單設計點方法和多設計點方法算例對同一單轉子燃氣發生器帶自由渦輪式渦軸發動機的設計問題進行計算分析，結果表明：

（1）單設計點熱力循環分析方法由于需要在分析計算之初對某些參數（本文中的冷卻氣量與TO 狀態的T4）假設給出，得到設計域有可能不滿足非設計點的性能需求，即使調整設計點循環參數的值，也無法得到1個像多設計點方法那樣滿意的可行域；

（2）多設計點方法可以把所有有要求的工作狀態作為設計點，同時考慮所有部件的技術限制，保證了形成的設計域總是嚴格滿足所有的性能需求和技術限制，又不造成性能浪費；當某一工作狀態的性能需求調整時，多設計點方法設計域會相應的變化，使設計域總是滿足設計要求，使熱力循環分析過程更加精細、高效。