考慮不同狀態劃分方法的馬爾科夫鏈空調車備件需求預測

王炳忠 毛 宇 胡新生 胡海洋

（海軍航空大學青島校區 青島 266041）

0 引言

在進行飛機地面維護和檢查時，空調車為飛機設備艙提供冷、熱、通風，以此調節機艙內空氣溫度和濕度，確保機載電子設備的正常運行。空調車備件數量直接影響著保障能力，備件不足會導致空調車戰備完好率下降，而備件儲備過多既增加管理難度，也浪費經費。因此，準確預測備件需求對于保證空調車保障能力、維持合理備件庫存具備重要意義。

備件需求預測方法主要有三大類：基于人工智能、可靠性和歷史數據[1-3]。基于人工智能的預測方法主觀性和隨機性較強，且需要大量統計樣本；基于可靠性主要研究損壞機理，與備件的壽命分布有很大關系；基于歷史數據即解析分析法，在預測備件需求時，運用較為廣泛的是灰色馬爾科夫組合模型。雖然灰色系統理論的GM(1,1)模型能夠挖掘出少量樣本數據中的發展趨勢，但對于波動明顯的數據預測精度較低，而馬爾可夫鏈預測模型能夠很好地彌補這一缺陷，實現優勢互補。

文獻[4-7]利用灰色馬爾科夫模型及其改進模型對雷達備件的月度消耗量、油泵裝機后發生故障的時間點、裝甲車輛負載需求功率以及4S 店備件需求進行了研究，預測精度較高，由此可見灰色馬爾科夫模型已較為成熟地應用在備件需求、裝備故障預測等領域。在馬爾科夫模型建立過程中，狀態劃分對于預測精度是極為重要的，因此本文重點研究馬爾科夫鏈狀態劃分方式對于預測精度的影響。

1 模型建立[8]

1.1 GM(1,1)建模

（2）構造一階常微分方程逼近累加生成序列，并用最小二乘法求得系統時間響應方程如下：

其中，a、u為待定參數。

（3）再累減還原，即可得到原始序列的時間響應方程（預測曲線方程）：

1.2 建立灰色－馬爾科夫組合模型

（1）狀態劃分

（2）計算狀態轉移概率矩陣

狀態轉移概率為：

式中：Mi為系統處于狀態i的原始數據樣本數；M i j(m)為狀態i經m步轉移到狀態j的原始數據樣本數。

（3）計算預測值

若預測系統在某時刻處于i狀態，則預測值為：

式中：iB和iA分別表示i狀態的條形區域的上下限。

2 案例應用

已知某場站某型空調車連續15 個月的備件消耗數量，如表1 所示。

表1 某型空調車備件消耗數量Table 1 Consumption of spare parts of a certain type of air-conditioned car

（1）利用GM(1,1)來預測備件消耗量

令X(0)= ｛2 7, 33, 35, 21, 27, 23, 29, 31, 32, 27, 30, 30, 37, 29, 27｝，根據式（1）和（2），計算得到GM(1,1)模型的時間響應函數的參數a= - 0.0059 ,u= 27.8738，將每個月份的備件消耗實際值與灰色預測值反映在圖1 中。圖1 缺少了第1 個月的預測數據，因為在灰色模型建立過程中，第1 個數據作為初始條件求解未知參數，實際值與預測值相等。由這張圖可以看出，每個月備件需求數量都有波動，但變化程度不大。預測曲線可以反映出備件需求量呈平緩上升的趨勢，這與實際情況是符合的。為了反映灰色預測誤差，我們將各月實際值與灰色預測值的比值列出，如表2 所示。

圖1 各月備件消耗實際值與灰色預測值Fig.1 The actual value and gray forecast value of spare parts in each month

表2 各月實際值與灰色預測值的比值Table 2 The ratio of actual values to gray prediction values for each month

結合表2 中的數據，可以看出圖1 中所示的第3，4，6，13 月份的灰色預測誤差較大，其中第3，13 月份處于強上升狀態，即預測值要比實際值大許多；而第4，6 月份處于強下降狀態，灰色預測值比實際值小很多。因此在對各月份的灰色預測值進行修正時，需要對強上升以及強下降月份的狀態作出準確預測，這樣才能進行有效修正。而第7，11，12，14 月份的實際值與預測值比值為1.002，1.012，1.006，0.961，這4 個月份的預測誤差均在5%以下，因此可以考慮不進行修正。

（2）狀態劃分

在構建馬爾科夫模型時，劃分狀態的數量以及區間長度對于預測結果有很大影響，因此本文設置了四種劃分方式，如表3 所示。其中四狀態分別為：強下降、弱下降、弱上升、強上升，而五狀態則是多出一種保持不變的狀態。劃分出來的區間有等值和等量之分，等值區間即各個區間長度相等，等量區間是通過保持各個狀態數量均衡產生的，四種劃分方式的具體參數設置如表4 所示。以劃分方式三為例（下同），各月的狀態如表 5 所示。

表3 劃分參數Table 3 divide parameters

表4 四種劃分方式具體參數Table 4 Specific parameters of the four division methods

表5 各月狀態Table 5 The state of each month

（3）構造轉移概率矩陣

根據式（3），得到各步轉移概率矩陣為：

（4）編制預測表

因為是4 步轉移概率矩陣，所以從第6 個月開始預測。通過第2，3，4，5 月份對第6 個月的備件消耗量進行預測，如表6 所示。

表6 第6 個月灰色馬爾科夫狀態預測Table 6 The 6th month of gray Marcow status forecast

由表6 中的合計欄可以看出，狀態1’’對應的概率最大，所以第6 個月備件消耗量最有可能處于狀態1’’，其灰色預測值為28.78，由式（5）可得，第6 個月馬爾科夫修正值為21.87，而實際值為23，誤差4.90%。接著我們對于剩余月份進行灰色馬爾科夫狀態預測，如表7 所示。

表7 第6-15 月份灰色馬爾科夫狀態預測Table 7 Gray Marcow status forecast for 6-15 months

（5）四種劃分方式比較

以上我們以方式三為例，對灰色預測值進行了馬爾科夫修正，接著我們采用其余三種劃分方式進行預測，四種方式的實際值與預測值比較如圖2 所示，四幅圖中相關系數的大小表明預測曲線與實際曲線的貼合程度，貼合度從大到小依次為方式三（0.98），方式四（0.85），方式二（0.73），方式一（0.60）。其中，方式三的貼合程度最高，原因是該方式下的預測狀態與實際狀態完全一致，因此具有非常高的貼合率。而其他方式下的預測狀態與實際狀態偏差越大，預測曲線貼合程度越低。

圖2 四種劃分方式下實際值與預測值比較Fig.2 Comparison of actual values and prediction values in the four division methods

觀察圖2 上兩幅圖可以發現，方式一、二由于采用了四狀態劃分，缺少不變狀態，其預測狀態很大程度上偏離實際狀態，概率矩陣失效，導致預測偏差較大。

而方式四在第13 個月誤差很大，我們表示出其預測表，如表8 所示。可以看出第13 個月處于狀態4’’’和5’’’的概率非常接近，狀態4’’’的概率略大，而實際狀態為狀態5’’’，這是因為方式四追求各狀態數量均衡，使得區間長短不一，區間長度分別為0.2，0.1，0.01，0.09，0.2。相比之下，方式三的等值劃分，所得到的轉移概率矩陣更加準確。

表8 方式四第13 個月灰色馬爾科夫狀態預測Table 8 The 13th month of gray Marcow's status prediction in the fourth way

3 結論

本文通過灰色馬爾科夫組合模型對于空調車備件消耗量進行了預測，并比較了四種馬爾科夫鏈狀態劃分方法對于預測精度的影響，結論是：

（1）在確定馬爾科夫狀態數量之前，應對灰色預測值進行誤差分析，得出是否需要加入不變的狀態；如果灰色預測結果中有部分數據與實際誤差較小（5%以下），則有必要加入不變狀態。

（2）在五狀態劃分時，采用等值區間的預測曲線具有更好的貼合度。如果一味追求各狀態數量均衡，會導致各區間長度不一，最終使得概率矩陣狀態預測不準確，得到的預測結果產生較大偏差。

（3）第四種劃分方式下，第13 個月的預測狀態處于4’’’和5’’’的概率非常接近，本文采用概率偏大的狀態4’’’進行誤差修正，如果采取加權計算，會使這一數據的誤差有所減小。因此對于數值較小的數據預測，采用加權法可進一步減小預測誤差，同時后期的研究方向是進一步完善馬爾科夫鏈狀態劃分方法以及對于特殊數據的處理，在保證狀態轉移概率矩陣準確的基礎上，才能確保預測精度。