非對稱偏饋環形網狀天線索網預張力設計方法

范葉森,聶銳,何柏巖,楊癸庚

1.西安空間無線電技術研究所,西安 710100 2.天津大學 機械工程學院,天津 300350 3.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院,西安 710048

1 引言

星載環形網狀天線具有收縮比大、質量輕、熱穩定性優良等特點,在通信和遙感領域有著廣泛應用[1-3]。如圖1,環形網狀天線是一種典型張拉一體結構,設計人員通過對索網結構內部的索段施加預張力,在索網與桁架的協調變形作用下達到平衡態并形成預先設計的網面形狀[4-5]。工程經驗和理論分析均表明,索段預張力分布對索網結構的固有頻率和網面精度保持性具有重要影響。在環形網狀天線索網預張力設計中,有兩個重要設計指標[6-10]:型面精度和張力分布均勻性。型面精度用實際網面節點與理想網面節點坐標的均方根誤差來表示。該數值越小,型面精度越好,越有利于實現良好的電性能[11];張力分布的均勻性一般用張力比(索段最大張力與最小張力的比值)來表示,張力比越小,越接近于1,張力分布的均勻性越好[12]。均勻的張力分布有助于天線在空間熱載荷環境中保持精度穩定,進而有助于天線電性能的保持[13-15]。

環形網狀天線索網預張力設計(索網找形)的目的是要尋找能使天線平衡狀態滿足高精度型面要求的一組特定的索網預張力配置方案[16]。當前有關環形網狀天線預張力設計的研究,大多不考慮桁架柔性變形對網面形狀和張力分布的影響,而僅對索網結構進行預張力設計。這種方法雖然也能實現滿足要求的型面精度,但由于設計階段忽略了環形桁架與柔性索網的協調變形,容易造成實際成型表面與設計型面的偏差,后期需要耗費大量的人力、物力進行調試,且易導致索網內部張力分布不均勻,不利于天線服役期間型面精度的保持[17]。此外,在計及桁架柔性變形的預張力設計研究方面仍存在一些問題:例如找形結果中不可避免地產生找形誤差、索網張力分布的均勻性難以保證、建模過程較復雜不利于工程應用等[18]。目前關于網狀天線索網設計方法的文獻多針對軸對稱環形網狀天線開展研究,該類型天線主網邊界節點在同一平面,結構形式較為簡單;而對于非對稱偏饋正圓形網狀天線,因其結構形式不再滿足對稱性,該類型天線索網上的邊界節點并不完全在同一平面內,結構形式較為復雜。在考慮桁架變形的非對稱偏饋環形網狀天線預張力求解過程中,現有預張力設計算法尚存在計算結果不收斂、局部或整體計算效率不理想等不足。

為了更好地滿足復雜網狀天線工程設計需求,本文提出一種計及桁架柔性的環形網狀天線綜合找形方法。充分考慮桁架與索網的協調變形效應,通過內部索網設計與周邊桁架柔性變形的迭代,實現滿足高精度型面要求的索網預張力優化配置。在算例分析中,本方法與基于剛性桁架假設的找形方法進行對比,驗證了進行預張力設計時計及桁架柔性的必要性以及本文設計方法的正確性和有效性。

2 求解方法

2.1 分析模型

圖1所示為環形桁架偏饋網狀天線,該類型天線主要由主網、副網、張力陣和桁架等部分組成。將桁架上環面中心設為坐標原點o,在此建立全局坐標系o-xyz。其中x軸指向桁架與支撐臂,z軸正向指向反射面開口方向,與桁架軸心線平行,三條坐標軸的位置關系滿足右手定則。主網和副網在xoy平面內的投影是確定的,通過桁架投影圓心的繩索投影被等分成10段,同時三角形平面的投影都是正三角形。

圖1 環形桁架偏饋網狀天線計算模型Fig.1 Calculation model of an offset-feed mesh reflector antenna

天線在展開過程中各鉸鏈為活動連接,展開到位后鉸鏈鎖定,桁架由機構變為結構。各鉸鏈的連接桿件為中空直桿,其材料屬性和內、外徑不變,將每根桿件視為單個梁單元,各相互連接的桿件間具有共同節點。當索段連接到桿件中部時,須在連接點處增加一個節點,即將該桿件劃分成兩個梁單元。桁架桿件在三維空間內發生復雜變形,包括軸向變形以及兩個主平面內的彎曲、扭轉等。

圖2為任意桁架單元e在局部坐標系o′-x′y′z′下的示意圖。單元e的兩個節點分別為i和j,將節點i作為單元e局部坐標系原點,x軸與桿件軸線方向重合。x′o′y′和x′o′z′為桿單元ij兩個彎曲主平面。對于任意梁單元,節點包含6個自由度(3個線位移和3個角位移)。故在局部坐標系o′-x′y′z′中,節點i的位移向量可表示為:

(1)

圖2 桁架單元局部坐標示意Fig.2 A truss element in the local coordinate system

同理,節點j的線位移和角位移向量可表示為:

(2)

梁單元e的節點在局部坐標系下的位移可記為:

(3)

梁單元e在局部坐標系下的剛度矩陣可表示為

式中:G為單元的剪切模量;Jp為單元的截面極慣性矩;Jx和Jy為主平面內的截面慣性矩;lb為桁架桿件長度;Eb為桁架桿件的彈性模量;Ab為桁架桿件的截面積。

為獲得全局坐標系o-xyz下的桁架載荷和節點位移基本方程,須將單元在局部坐標系下的節點位移、單元剛度矩陣轉換到全局坐標系。對于桁架單元e,令{δ)e為單元e在全局坐標系下的位移向量,Te為局部坐標系o′-x′y′z′到全局坐標系o-xyz的變換矩陣,其位移的變換關系式可表示為:

{δ)e=Te{δ′)e

(5)

(6)

(7)

式中:φe為局部坐標系o′-x′y′z′相對于全局坐標系o-xyz的方向余弦矩陣。

(8)

在單元剛度矩陣基礎上,根據桁架各桿件連接關系,將單元剛度矩陣進行總裝,得到環形網狀天線桁架結構在全局坐標系o-xyz下的剛度矩陣Ktruss。則桁架結構的整體平衡方程可表示為:

Ktrussδtruss=Ftruss

(9)

式中:Ftruss為桁架在全局坐標系o-xyz下的節點載荷向量;δtruss為桁架在全局坐標系o-xyz下的節點位移向量。

2.2 索網預張力計算流程

本文提出的環形網狀天線預張力綜合設計算法將整個天線結構分成兩部分:外部桁架和內部索網,如圖3所示。索網結構與桁架相連的節點作為耦合節點處理,其它節點稱為自由節點;與桁架相連的繩索作為邊界繩索,其它繩索為內部繩索。

索網體系與桁架結構在耦合節點處相連,索網內部施加預張力,邊界繩索必然會對桁架產生作用力,從而引發桁架彈性變形,桁架節點相對于初始位置發生偏移,邊界繩索作用力減小。在這種耦合作用下,索網和桁架最終達到平衡狀態。上述過程中,桁架柔性變形對天線結構平衡態產生重要影響,導致索網內部預張力分布發生變化,最終影響反射面成型精度。因此,在對環形網狀天線進行預張力設計時,必須充分考慮桁架柔性以及桁架與索網的耦合變形對索網平衡態形狀及張力分布的影響。

圖3 計算模型的拆分結構Fig.3 Split structure of the calculation model

圖4 預張力綜合設計算法的基本步驟Fig.4 Analysis process of the proposed pretension design algorithm

(10)

4)重復以上步驟,直到滿足收斂準則,即相鄰迭代步耦合節點的最大位移之差ΔDmax小于10-6m。

迭代停止后,考慮桁架變形的索網天線將處于平衡狀態,內部節點都處于理想位置,最大繩索張力比小于給定值,同時桁架變形得到補償。

3 數值計算與分析

采用本文提出的預張力綜合設計方法對圖1所示天線模型進行預張力設計,以驗證算法正確性和有效性。主索網與副索網的索段編號如圖5所示,該算例中環形網狀天線的結構參數如表1所示。

本文采用的天線模型包含481根索段,其中主、副索網均包含210根索單元,張力陣包含61根索單元。其中,主索網的索段單元編號為1-210,張力陣的索段單元編號為211-271(垂直于視圖方向),副索網的索段單元編號為272-481。

圖5 主副索網索段編號Fig.5 Cable numbering of the functional and auxiliary meshes

表1 環形網狀天線的結構參數

3.1 算法可行性驗證

由上述計算步驟可知,在進行預張力設計時,桁架必然會發生變形。目前,很難通過商業軟件對桁架進行預彎曲設定,無法直接將計算結果導入商業軟件進行驗證。但是考慮到索網與桁架在邊界節點處相連接,如果索網結構和桁架都處于穩定狀態,則整個天線就處于穩定狀態。因此可以對算法的正確性進行間接驗證,具體步驟如下:

(1)桁架變形驗證

將邊界索網張力施加到桁架上,分別用ANSYS軟件和自編程序進行結構變形分析。通過對比兩種方法的計算結果是否一致,驗證本文的有限元桁架分析程序正確性及計算結果有效性。

(2)索網結構穩定性驗證

根據桁架變形計算結果,提取索網耦合節點坐標,將此時的耦合節點位置作為索網邊界條件。將繩索預張力綜合設計結果轉化為繩索預應變導入ANSYS軟件進行分析,若索網各節點最大位移小于某一定值(本文設定為1×10-6m),則認為索網處于平衡狀態。

圖6為環形桁架在邊界繩索作用下的變形情況,6(a)和6(b)分別為ANSYS軟件分析結果和本文方法計算結果,圖中給出了桁架初始位置和變形后位置。為清晰描述桁架變形,對位移

圖6 桁架變形示意Fig.6 The truss deformation

進行了適度放大。其中,圖6(a)中的變形位移放大倍數由ANSYS軟件自動設定,圖6(b)中變形位移放大倍數為20。算例中ANSYS計算得到的桁架變形最大位移為20.614mm,本文方法計算得到的桁架變形最大位移為20.390m,兩種方法的相對誤差為0.224mm,且兩種方法得到的桁架變形規律一致。

為提取各耦合節點坐標,為后期分析做數據準備,對桁架主要節點位移進行分析。圖7為桁架各主要節點位移,其中節點1到30為桁架上環面節點(節點在鉸鏈處),節點31到60為主網邊界繩索與桁架連接點(繩索與桁架的耦合節點),節點61到90為桁架下環面節點(節點在鉸鏈處)。

圖7 桁架主要節點位移Fig.7 Displacements of the truss nodes

圖7給出了兩種算法得到的桁架各主要節點位移及其差值。可見,最大差值出現在節點15處,差值為0.295mm。考慮到桁架口徑10m之大,且不同算法的收斂條件和數值截斷誤差差異,可認為采用兩種方法計算得到的位移值一致,從而驗證了本文桁架變形計算模型的正確性。

通過分析桁架與繩索的耦合點位移,可得到進行索網分析的邊界條件。根據索網邊界條件和繩索預張力,可通過ANSYS軟件驗證索網結構是否平衡。圖8為將索網結構的預張力綜合設計結果導入ANSYS得到的計算結果。

由圖8可知,索網各節點最大位移為6.71×10-17m,即在考慮桁架柔性變形情況下,采用該方法得到的索網預張力可使索網處于平衡狀態。

圖8 索網結構變形分析Fig.8 Analysis of the deformation of the cable net structure

為進一步驗證該計算結果正確性,還需分析計算結果是否滿足收斂條件。由圖4可知,每一次迭代計算得到的節點坐標,不斷靠近滿足工程需求的節點位置,且每一步得到的耦合節點位置與上一步節點位置間的差值逐漸減小。

圖9給出了耦合節點在相鄰兩次迭代過程中位移差值的最大值ΔDmax。可見,隨著迭代次數的增加,ΔDmax逐漸減小。在該算例中,經過200次迭代,ΔDmax=1.936×10-8mm。由以上分析可知,該計算結果可以使整個索網結構處于平衡狀態,故本文提出的預張力綜合設計算法是切實可行的。

圖9 計算結果收斂分析Fig.9 Convergence analysis of the calculation results

3.2 索網預張力綜合設計結果分析

圖10為采用本文方法得到的張力索網與桁架耦合分析示意圖。盡管桁架發生了扭曲變形,但索網的自由節點仍處于理想位置,這是因為每次迭代都使用解析算法對索網預張力進行計算,而解析算法可以使主網各自由節點保持在理想位置不動。因此,即使桁架發生了柔性變形,本章算法所得計算結果仍能使主網各自由節點保持在理想位置。

圖10 索網結構與桁架耦合分析示意Fig.10 Compatible analysis between the cable net structure and the truss structure

主網型面誤差用δrms表示,如式(11),其表征了主網各自由節點偏離理想位置的程度。δrms越小,表示網面的實際型面越靠近理想型面。

(11)

根據繩索預張力綜合設計方法的基本步驟,首先應給出迭代運算初始值。假設桁架為理想的剛體圓環,使用解析算法進行索網預張力設計。

圖11和表2為初次預張力設計結果。可見,盡管計算模型為偏饋索網結構,主網和副網的張力比仍然較小,且沒有產生找形誤差,完全滿足工程需求,這進一步證實了本文所采用的解析算法是可行的。

圖11 初次預張力設計結果Fig.11 Initial pretension design results of the cable net

表2 初次預張力設計結果統計分析

如圖12和表3所示,根據圖4中的計算步驟,經過200次迭代,得到了一組考慮桁架變形、達到收斂條件且滿足工程需求的繩索預張力。可以看到,通過在索網預張力優化設計中考慮桁架柔性變形,可使得桁架變形影響下索網平衡狀態的張力均勻性仍然較好,這是因為桁架變形的位移對繩索之間的幾何夾角影響較小,對預張力分布影響也較小。

圖12 考慮桁架變形繩索張力分布Fig.12 Tension distribution of the cable net after considering the truss deformation

由表2和3可知,索網結構預張力能使主網各自由節點在理想位置保持不變,使主網的平均索段張力保持不變。因此本文提出的預張力設計算法,在考慮桁架柔性變形情況下,仍能使主網各自由節點保持在理想位置,從而獲得較高的型面精度。

為進一步分析桁架變形對網面成型精度的影響,將忽略桁架變形的索網預張力設計結果代入環形網狀天線整體模型中。在結構達到平衡狀態后,記錄索網預張力分布情況和型面精度,如圖13和表4所示。

圖13 桁架變形對穩態繩索張力分布影響Fig.13 The influence of the truss deformation on the tension distribution

表4 桁架變形對穩態繩索張力分布影響統計分析

表3表示的是采用本文所提出的算法可在考慮桁架變形之后仍能實現找形誤差為0,表4表示的是在不考慮桁架柔性變形的情況下直接將找形結果施加于桁架上會產生較大的找形誤差。可以看出,桁架柔性變形會導致主索網和副索網張力比急劇增加,索網張力分布均勻性下降;此外,主索網偏離理想型面,將為后期網面調試帶來較大困難。因此,對于大孔徑或桁架剛度較小的索網天線,繩索預張力設計必須考慮桁架變形的影響。而本文提出的索網預張力設計方法為計及桁架變形的高精度索網設計提供了有效的算法保障。

4 結論

本文提出一種考慮桁架柔性變形的非對稱偏饋環形網狀天線預張力設計方法,重點論述了該設計方法的基本原理和計算步驟,并對計算模型進行了系統分析,結論如下:

1)在環形索網天線預張力設計中,桁架柔性變形會對整個天線結構平衡態產生直接影響,造成索網節點位置變化、索段張力重新分布,影響天線網面成型精度和張力均勻性,后期需耗費更多的人力物力進行網面調試。

2)本文提出的網狀天線預張力設計方法通過內部索網預張力分析與外部桁架變形計算的多次迭代,尋找滿足天線平衡態精度和張力要求的繩索預張力配置方案,可實現非對稱偏饋環形網狀天線網面高精度設計,有效縮短后期索網結構型面精度調試周期。