基于q-高斯過程下的帶紅利歐式期權(quán)定價(jià)

劉利敏,閆鈺蕾

(河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453007)

在金融市場(chǎng)的發(fā)展進(jìn)程中,期權(quán)既具有套期保值、規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)等作用,又具有靈活性和多變性等特點(diǎn),所以成為金融市場(chǎng)上最具潛力的金融衍生產(chǎn)品.1973年,BLACK等[1]導(dǎo)出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式,MERTON[2]在B-S模型的基礎(chǔ)上引入Poisson跳過程來刻畫股票價(jià)格過程存在跳躍的情況,并考慮了股票以紅利率形式支付分紅的情況,導(dǎo)出了支付分紅的歐式期權(quán)定價(jià)公式,從而將分紅問題引入期權(quán)定價(jià)理論研究中.1975年,BLACK[3]又提出了離散分紅的情形,并指出標(biāo)的股票的初始價(jià)格是其實(shí)際價(jià)格減去分紅現(xiàn)值.基于無套利條件,2002年,CHANCE[4]考慮了股票離散分紅的歐式期權(quán)定價(jià)問題,并假設(shè)存在標(biāo)的資產(chǎn)為股票未來分紅的分紅遠(yuǎn)期合約,從而構(gòu)建投資組合.然而,只有在有分紅的情況下,這種分紅遠(yuǎn)期合同才有意義,使得該研究方法具有局限性.基于CHANCE[4]的結(jié)論,MATOS等[5]改進(jìn)了其投資組合策略構(gòu)造了新的套期保值策略,該策略包括基本資產(chǎn)、無風(fēng)險(xiǎn)零息債券和股息條.由于市場(chǎng)上不會(huì)存在偶然構(gòu)建的分紅遠(yuǎn)期合約,所以,Matos的策略更為合理.

經(jīng)典的期權(quán)定價(jià)研究中股票的價(jià)格都是布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的,無法刻畫價(jià)格的長(zhǎng)相依性,因此很多學(xué)者改進(jìn)了價(jià)格模型.文獻(xiàn)[6-8]都用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)代替布朗運(yùn)動(dòng)刻畫長(zhǎng)記憶性;文獻(xiàn)[9-12]用q-高斯過程代替布朗運(yùn)動(dòng)刻畫長(zhǎng)記憶性.

1 基于q-高斯過程的帶紅利歐式期權(quán)定價(jià)

假設(shè)市場(chǎng)中有兩類資產(chǎn),一類是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),如無風(fēng)險(xiǎn)債券,t時(shí)刻的價(jià)格為Bt,滿足dBt=rBtdt.另一類是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),假設(shè)為股票,t時(shí)刻的股票價(jià)格為St,滿足

dSt=μStdt+σStdΩ(t).

(1)

其中Ω(t)遵循以下隨機(jī)過程

(2)

其中r為無風(fēng)險(xiǎn)利率,Wt為零均值高斯白噪聲,當(dāng)q=1時(shí),為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).P(Ω(t),t)的形式如下,

引理1[11]股票價(jià)格由q-高斯過程驅(qū)動(dòng)的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式為

Ct=StMq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

(3)

其中

(4)

理論上的分紅方式有兩種:一種是連續(xù)分紅,即每年按一定比例將股票或其他資產(chǎn)獲得的利潤(rùn)支付給投資者,這個(gè)比例稱為紅利率,在本文用α表示;另一種分紅方式是離散分紅,可以是固定時(shí)刻固定分紅的分紅方式,也可以是離散隨機(jī)分紅,離散隨機(jī)分紅又分為分紅值隨機(jī),或者隨機(jī)時(shí)刻產(chǎn)生固定分紅.

1.1 連續(xù)紅利的期權(quán)定價(jià)

定理1令紅利率為α,標(biāo)的資產(chǎn)為持續(xù)分紅的股票,當(dāng)敲定價(jià)格為K,到期日為T時(shí)的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為

Ct=e-α(T-t)StMq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

(5)

這里Mq(γ1,γ2)和Nq(γ1,γ2)由式(4)給出.

證明為了得到連續(xù)分紅的期權(quán)定價(jià),首先考慮一個(gè)不帶分紅情況的投資組合,假設(shè)h1是在t時(shí)對(duì)股票S的投資額,h2是在t時(shí)對(duì)期權(quán)C的投資額.然后,投資組合的總資產(chǎn)Q在時(shí)間t滿足

Q=h1+h2.

(6)

在時(shí)間t+dt,投資組合的回報(bào)是

(7)

這里dSt/St和dCt/Ct分別代表股票和期權(quán)在[t,t+dt]時(shí)間段內(nèi)的收益.根據(jù)It公式

dCt=βCtdt+φCtdWt.

(8)

由式(1)、(2)和(8)有

(9)

適當(dāng)?shù)膆1和h2使投資組合無風(fēng)險(xiǎn),因此式(9)中dWt之前的系數(shù)應(yīng)為0,即

(10)

(11)

令g1=h1/(h1+h2),g2=h2/(h1+h2),則

g1+g2=1.

(12)

通過分別替換β和φ的值,得到期權(quán)價(jià)格Ct滿足

(13)

式(13)即為股票價(jià)格由q-高斯過程驅(qū)動(dòng)的Black-Scholes微分方程.

Ct=StMq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

為微分方程(13)的解,其中參數(shù)值由式(4)給出.

下面給出在q-高斯過程下帶紅利率的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式.根據(jù)式(10)和(11),有

(14)

設(shè)Dt為單位時(shí)間的分紅,在式(1)中μ為預(yù)期收益率,則分紅后的預(yù)期收益率為μ-Dt/St,假設(shè)分紅后的期權(quán)價(jià)格函數(shù)為C(St,t),根據(jù)It公式可得

由β和φ的定義,有

(15)

通過應(yīng)用式(14)和(15),可以得到期權(quán)定價(jià)的帶紅利的隨機(jī)微分方程

(16)

MERTON[2]在帶分紅的股票價(jià)格由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)情況下的隨機(jī)微分方程為

(17)

當(dāng)Dt=αSt時(shí),所得到的在布朗運(yùn)動(dòng)下具有連續(xù)紅利率α的期權(quán)定價(jià)公式為

W=e-αTSN(d1)-Ke-rTN(d2).

根據(jù)文獻(xiàn)[2]得到的帶分紅的期權(quán)定價(jià)公式,結(jié)合式(3)類比推導(dǎo)出方程(16)的解為

Ct=e-αTStMq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

1.2 離散分紅的期權(quán)定價(jià)

由于采用連續(xù)紅利率的形式進(jìn)行分紅屬于較為理想的分紅方式,所以大部分股票采用的都是在固定時(shí)間進(jìn)行離散分紅.假設(shè)在時(shí)刻τ進(jìn)行分紅.如果τ>T,則在周期[0,T]之內(nèi)不存在分紅,所以如果想要獲得分紅則需τ

C=(St-Dt(τ))N(d1)-Ke-r(T-t)N(d2).

根據(jù)上式,可以推及股票價(jià)格由q-高斯過程驅(qū)動(dòng)的帶離散分紅的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式.

定理2行權(quán)價(jià)格為K,到期日為T,帶離散分紅的歐式看漲期權(quán)在τ時(shí)間的價(jià)格為

Ct=(St-Dt(τ))Mq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

(18)

文獻(xiàn)[5]改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]的投資組合策略,但是結(jié)果沒有改變.并且文獻(xiàn)[5]構(gòu)建的投資組合已被證明是連續(xù)的,自融資的,而且可以復(fù)制到期時(shí)看漲期權(quán)的價(jià)值.所以采用與文獻(xiàn)[5]相同的投資策略,即可得到q-高斯過程下具有離散分紅的期權(quán)定價(jià)公式(18),在此不做過多闡述.

2 q-高斯過程的參數(shù)估計(jì)

將式(2)代入式(1)可得:

(19)

式(19)中含有3個(gè)待估參數(shù),分別為μ,σ,q.由于同時(shí)對(duì)3個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)比較困難,所以將其分開來估計(jì).

最后是波動(dòng)率σ.根據(jù)伊藤公式,

將區(qū)間[0,T]進(jìn)行劃分,令0=t0

(20)

2.1 期權(quán)定價(jià)的數(shù)值模擬

由于在實(shí)際中采用連續(xù)紅利率分紅的情況較少,所以本節(jié)不對(duì)連續(xù)紅利率的分紅方式進(jìn)行模擬.只對(duì)離散分紅的進(jìn)行模擬驗(yàn)證.首先分析固定時(shí)間固定分紅值的期權(quán)價(jià)格情況.令股票的初始價(jià)格為S0=50,無風(fēng)險(xiǎn)利率為r=0.05,敲定價(jià)格K=45,q=1.3,T=1,σ=0.2.在計(jì)算期權(quán)價(jià)格理論值之前,需要計(jì)算出Mq(γ1,γ2),Nq(γ1,γ2).借助文獻(xiàn)[11]的方法,對(duì)式(4)中出現(xiàn)的參數(shù)d1(q),d2(q),d3(q),d4(q)利用用最小二乘法對(duì)其進(jìn)行估計(jì).通過計(jì)算得到當(dāng)q=1.3時(shí),d1(q)=0.169 2,d2(q)=0.008 0,d3(q)=0.049 8,d4(q)=0.742 2.

分別生成100,1 000,1 500,2 000條股票價(jià)格路徑,得到對(duì)應(yīng)的模擬期權(quán)值,和由式(18)得到的理論值進(jìn)行比較分析.表1給出了在第5個(gè)和第6個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)處分別進(jìn)行D=1以及D=2分紅的期權(quán)價(jià)格.

表1 分紅時(shí)刻不同以及分紅值不同對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格

隨著模擬路徑條數(shù)的增多,理論值與模擬值之間的誤差越來越小,理論值越來越接近模擬值,這反映了所得到的期權(quán)定價(jià)公式(18)是合理有效的.此外,還可以發(fā)現(xiàn)分紅時(shí)刻的不同以及分紅值的大小都會(huì)影響期權(quán)價(jià)格,隨著分紅時(shí)刻的推遲,所對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格呈上升趨勢(shì),且當(dāng)分紅時(shí)刻不變時(shí),固定分紅值越小,期權(quán)價(jià)格越高,這些情況都與實(shí)際的市場(chǎng)規(guī)律相符合.

下面研究當(dāng)分紅時(shí)刻是隨機(jī)時(shí),期權(quán)價(jià)格的變化情況.假設(shè)在隨機(jī)時(shí)間τ產(chǎn)生離散固定分紅D.當(dāng)τ-t

選擇不同的λ各生成100個(gè)隨機(jī)數(shù),代表每個(gè)股價(jià)路徑的分紅時(shí)間.由于到期日T=1,所以如果發(fā)現(xiàn)τ大于1時(shí),就意味著在這條路徑上不存在分紅.通過對(duì)隨機(jī)數(shù)的觀察可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)λ=0.3時(shí),有3個(gè)值大于1;當(dāng)λ=0.4時(shí),有8個(gè)值大于1;當(dāng)λ=0.8時(shí),有38個(gè)值大于1.隨著λ的增加,不分紅股票的價(jià)格路徑逐漸增多.

下面比較當(dāng)λ不同時(shí),期權(quán)價(jià)格理論值與模擬價(jià)格之間的誤差.

從表2可以看出,λ不同時(shí),理論值與模擬值之間的誤差都較小,表明雖然分紅時(shí)刻隨機(jī),但根據(jù)期權(quán)定價(jià)公式算得的期權(quán)價(jià)格仍是合理的.并且發(fā)現(xiàn)隨著λ的增加,不分紅股票價(jià)格路徑逐漸增多,期權(quán)價(jià)格也隨之升高,因?yàn)樵谑袌?chǎng)中標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生的紅利將降低標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格,這也說明了公式(18)是符合實(shí)際的.

2.2 參數(shù)估計(jì)的模擬研究

令S0=50,T=1,q=1.3,μ=0.1,σ=0.2通過蒙特卡羅數(shù)值模擬生成1條股票價(jià)格路徑,假設(shè)路徑上有100個(gè)節(jié)點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)股票價(jià)格.令初始設(shè)定值為H=0.588 2,q=1.3,μ=0.1,σ=0.2,利用第1部分的方法模擬得到對(duì)應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值分別為H=0.583 1,q=1.285 0,μ=0.099 2,σ=0.225 6.與設(shè)定值之間的誤差為ΔH=0.005 1,Δq=0.015 0,Δμ=0.000 8,Δσ=0.025 6,通過對(duì)數(shù)據(jù)的觀察可以發(fā)現(xiàn)模擬值與設(shè)定的參數(shù)值之間誤差效果較好.

下面驗(yàn)證所得估計(jì)量的穩(wěn)定性,分別生成并選取100條,500條,1 000條股票價(jià)格序列來對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì),得到的估計(jì)值由這些路徑模擬出來的數(shù)值的均值E來代替.并通過計(jì)算方差V進(jìn)一步觀察估計(jì)量穩(wěn)定的效果.模擬結(jié)果見表3.

表2 λ不同時(shí)對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格

表3 估計(jì)量的穩(wěn)定性模擬

由表3可知q值的大小對(duì)參數(shù)μ,σ估計(jì)量的大小沒有產(chǎn)生大的波動(dòng),其中μ的估計(jì)值仍在0.1附近,σ的估計(jì)值仍在0.2附近,可見q的改變對(duì)其他兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)值以及估計(jì)效果并沒有產(chǎn)生特別大的影響.隨著路徑條數(shù)的增加,估計(jì)量模擬值與設(shè)定值之間的誤差都越來越小,這說明估計(jì)值在設(shè)定值周圍的上下波動(dòng)幅度越來越小,越來越趨于設(shè)定的參數(shù)值,并且在表3中可以看到各組方差的數(shù)值也較小,這都證明了估計(jì)量的穩(wěn)定性,也反映出第2部分提出的估計(jì)方法較為合理.

3 實(shí)證分析

將8月9日看作期權(quán)起始日,將那天的股票價(jià)格作為初始價(jià)格S0,即S0=288.33,無風(fēng)險(xiǎn)利率r取美國(guó)一年期國(guó)債利率r=1.09%.MSFT股票的連續(xù)紅利率不是固定不變的,在不同的時(shí)期有不同的紅利率.在8月9日至9月24日這期間連續(xù)紅利率為α=0.75%,隨后將各參數(shù)值代入式(13)得到理論期權(quán)值.對(duì)于固定分紅,通過搜索數(shù)據(jù)可知2021年11月17日進(jìn)行一次Dτ=0.62的分紅,根據(jù)Dt(τ)=E[Dτe-r(τ-t)|Ft]可知貼現(xiàn)到9月24日則有Dt(τ)=0.572 2,將Dt(τ)與各個(gè)參數(shù)值代入式(17)得到理論期權(quán)值.

通過對(duì)表4的分析可知,無論是帶連續(xù)紅利率的分紅還是在固定時(shí)刻的離散分紅,這兩種分紅方式所得到的理論值也都隨著敲定價(jià)格K的增大而減小,并且與真實(shí)值都較為接近,理論值與真實(shí)值之間誤差較小,這說明理論值符合實(shí)際市場(chǎng)情況,也反映了得到的帶分紅的期權(quán)定價(jià)公式合理有效.

表4 帶紅利率和固定分紅的不同敲定價(jià)K對(duì)應(yīng)的期權(quán)值