如何巧用導數證明不等式恒成立

袁宇軒

在高中數學學習中，弄清、熟悉掌握求解不等式恒成立的一般方法，是學好不等式的重要一步，這也有助于我們提升自己的數學核心素養和數學思維能力。如果方法缺乏針對性，對導數、不等式等概念弄不清楚，就直接去解題，肯定是要碰壁的。而正確理解了導數、不等式等概念，掌握了有效方法，再去探究證明不等式恒成立就比較容易了。通過巧妙利用導數進行不等式恒成立問題的推導和證明，反過來也可以進一步增進對不等式概念和性質的深刻理解。

高考中考查導數的內容一般難度較大，呈現出較強的綜合性，這對我們的數學解題水平、邏輯思維和學習品質要求高。但在考試中不管是以選擇題、填空題的形式進行考查，還是以解答題形式來考查，基本都是這一類題型中的最后一道題，都對檢驗和鍛煉我們的數學思維能力很有益處。特別是在高中導數學習過程中，證明不等式恒成立問題是不可避免的一環，尤其是有關lnx 與e*x 的問題一直是考試?？汀Υ耍韵挛揖蛯⒆约涸趯W習中的一些心得體會進行簡要小結，與大家一起分享。

一、參變分離

參變分離法就是在不等式中含有兩個字母時（一個視為變量，另一個視為參數），可利用不等式的等價變形，讓兩個字母分居不等號的兩側，即不等號的每一側都是只含有一個字母的表達式。然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍。最為基礎的、也必須掌握的參變分離，一般是將原不等式轉變為一曲一直進行求解，通過最值證明。但值得注意的一點是遇到lnx 需將其單列，e*x 將其乘上某個式子，可極大減輕計算量。

二、隱零點

隱零點法是依靠二階導、畫圖等判斷一階導的單調性，接著利用零點存在性定理求得，一階導零點所在區間，及取得零點時的等量關系，從而得到原函數的極值點范圍及等量關系，最后依靠等價變形等方式求得極值、最值，證明不等式恒成立問題。

優缺點：最為常見的解法，可解出絕大部分這類題型，但計算量大，且常需要分類討論，思維量大。

三、指對同構

當要證明的不等式中既含有e*，又含有lnx 時，一般我們形象地稱之為指對共生式，這類問題直接構造差函數進行研究可能會較為困難，突破這一困難一般采用指對放縮、分離雙函數、同構等技巧。指對同構通過將函數轉化為相同的結構，通過換元法轉變為簡單結構，進而求導得出結果，常見為xe*x=e*（x+lnx）、xlnx=lnxe*lnx 等結構，此類題型常出現在壓軸題中，例如2022年新一卷與全國甲卷最后一題（全國甲卷同構后再利用對數均值不等式即可得出結果）。

優缺點：常見于指對函數同時出現是的一項策略，可極大減輕計算量，且構造出的式子極具美感，但同構題目相對靈活，需多積累經驗方可得心應手。

四、切線放縮

例如：lnx <=x-1，x >0，且當且僅當x=1時取等，e*x >=x+1，x 取值為R，且當且僅當x=0取等。這是最基本的兩種形式，由此還可延伸出多種放縮模型這里就不再多加贅述。

優缺點：可極大減輕計算量，在解決恒成立問題中有奇效，但追求嚴謹需要證明。

五、極值點偏移類問題

解法一：將題目所給不等式兩變量分離，通過函數求得兩點所在的范圍，通過變形將其移到極值點的同邊（多元化一元，統一定義域）利用單調性定義法求解。

優缺點：類似上文提到的隱零點解法，屬于保底解法，但計算量大，耗時久。

解法二：通過對數間的加減，得到雙變量之間商或積的關系，接著將兩個極值點用換后的式子表示，進而達到一元求解。

優缺點：范圍相對解法一更廣，不局限于系數為一的極值點偏移類問題，但同樣計算量大、耗時久。

解法三：通過對數加減，得到的雙變量間的關系，利用對數均值不等式等價變形可得到結果，如遇不同于對數均值不等式的大小方向，則可利用題目間等量關系將乘轉化為和，進行求解。

優缺點：過程簡潔明了，計算量小，在解決極值點偏移問題時有奇效，但有一定的范圍限制，且需證明（證明時將兩變量轉化為除的形式可大大減小計算量）。

指導老師：吳雪光