機動目標跟蹤時組網機會陣雷達功率分配算法

韓清華，龍偉軍，楊 振，陳 軍，汪 飛

（1.南京信息工程大學電子與信息工程學院，江蘇南京 210044；2.棗莊學院人工智能學院，山東棗莊 277160；3.南京航空航天大學雷達成像與微波光子技術教育部重點實驗室，江蘇南京 211106）

0 引 言

機會陣雷達（Opportunistic Array Radar,OAR）是一種高度數字化和智能化的雷達系統，其“機會性”的資源管理模式能夠有效完成“空-時-能”資源優化配置，使雷達“同時”實現一種或多種戰術功能［1-3］。在現代電子戰中，隨著科學技術的發展，飛行器為躲避雷達的探測，其機動能力不斷增強，及至低空突防技術的使用更是讓目標難以被捕捉。因此，針對機動目標難以捕捉問題，如何快速預測機動目標運動狀態，精確衡量機動目標跟蹤性能成為亟待解決的技術難題。

傳統研究方法中，對于強機動目標運動模型的建模主要分為多模型和單模型兩類。多模型主要是將復雜的機動模型采用多個簡單模型進行加權擬合。當采用交互多模型（Interacting Multiple Model,IMM）［4-5］來表示機動目標的運動狀態時，其包含的簡單模型僅有勻速運動、勻加速運動和協同轉彎等。這不僅不能完全表示機動目標所有的運動形式，還將降低跟蹤算法的實時性。對于單模型算法，主要有Singer 模型［6］，當前統計（Current Statistical,CS）模型［7］和Jerk 模型［8］。相比于其他兩個模型，CS 模型能夠更加全面地描述機動目標運動形式。文獻［9］在CS模型基礎上進行了改進，實現狀態協方差、狀態噪聲協方差和機動頻率的自適應調整，從而提高目標的濾波精度。

另一方面，在資源預分配時選擇一個精確的目標跟蹤性能衡量基準是實現雷達系統資源優化分配、提高目標跟蹤性能的又一個重要原因。對于一般的勻速運動目標或機動性較弱的目標，標準的后驗克拉美羅界（Posterior Cramér-Rao Lower Bound,PCRLB）能夠為任何狀態矢量無偏估計的均方誤差（Mean Square Error,MSE）提供一個緊密的下界，從而實現雷達資源的預分配［10-11］。但是由于標準PCRLB 是基于從初始時間開始的狀態矢量和測量矢量的聯合概率密度所計算出來的平均值，因此標準PCRLB 是一個離線邊界，不能準確衡量強機動目標的跟蹤性能［12］。而預測的條件克拉美羅界（Predicted Conditional CRLB,PC-CRLB）是基于最新的測量信息推導所得，具有更高的時效性和準確性，能夠提供一個更緊密的下界［13］。

基于以上分析，針對現有算法中機動目標的運動狀態預測和跟蹤性能衡量基準不準確的問題，本文提出了一種基于改進的CS（Modified CS,MCS）模型的組網機會陣雷達功率分配算法。且由于環境的復雜時變和目標信息的未知，在機會陣雷達體制下，將目標雷達散射截面（Radar Cross Section,RCS）用隨機變量來進行表征［14］，建立基于機會約束規劃（Chance-Constraint Programming,CCP）的功率分配模型，采用混合智能優化算法（Hybrid Intelligent Optimization Algorithm,HIOA）求解出功率優化分配結果。該算法不僅可以提高資源的利用效率，還可以平衡資源消耗和跟蹤性能之間的關系，增強模型的穩健性。

1 系統模型

假定在xy平面內，一個集中式組網機會陣雷達框架下包含M個獨立的機會陣雷達。每個雷達節點能且僅能生成一個雷達波束照射目標，且每個發射波束的最大發射功率為rPtotal（0≤r≤1），其中Ptotal為整個組網雷達系統的額定發射功率。第m個雷達的坐標為（xRm,yRm）。為了保證功率分配過程的順利進行，這里作了一些合理假設：1）各雷達節點的發射信號載頻頻率各不相同，且該雷達接收機的濾波器可濾除目標反射的其他雷達的回波信號；2）該雷達系統的發射帶寬、傳輸速率和計算能力能夠支撐集中式雷達系統的正常運行。

1.1 信號模型

設在k時刻，第m個雷達向目標發射信號波形為

式中：Pm,k表示發射功率；Sm,k（t）表示發射信號的歸一化復包絡；fm表示發射信號載波頻率。

各雷達節點將接收到目標反射信號進行下變頻之后的基帶形式為

式中：hm,k表示目標RCS，是一個隨機變量［14］；αm,k表示路徑損耗導致的衰減系數，αm,k∝1/R4m,k［15］（表示第m個雷達和目標之間的距離）；ωm,k表示零均值、復高斯白噪聲，其協方差為σ2ωδ（τ）。

1.2 運動模型

機動目標在xy平面內離散狀態方程的CS 模型為

式中：xk=表示目標狀態矢量，(xk,yk)、和分別表示目標位置、速度和加速度；Fk-1表示狀態轉移矩陣；Uk-1表示加速度輸入矩陣；表示當前輸入加速度的矩陣；wk-1表示零均值復高斯白噪聲，其協方差為

與CS模型聯立構成MCS模型：

其中F'k-1表達式為

式中：?是克羅內克積運算符；I2表示2 階單位陣。U'k-1表達式為

其中機動頻率α受強機動檢測函數控制［9］。

式中Pk-1（·，·）是對應位置上的元素，可通過類似的方法獲得。

1.3 量測模型

可通過信息處理方法從雷達回波中提取目標距離、方位和多普勒頻率等信息。在k時刻，第m部雷達的量測方程為

其中非線性轉移函數是

式中，Rm,k表示第m部雷達與目標之間的距離，θm,k表示目標的方位角，fm,k表示目標和雷達之間的相對徑向運動而產生的多普勒頻移。這三個變量表達式為

式中：λm表示載波波長；量測噪聲vm,k是零均值高斯白噪聲，其協方差為

2 集中式PC-CRLB

在貝葉斯框架下，PCRLB 為目標狀態ξk的估計值的MSE提供了一個下界［18］

此處采用集中式網絡架構來融合各個雷達結點接收到的數據。

正如式（16）所示，在計算PCRLB 過程中量測值是作為隨機矢量來進行考慮。然而，在正常情況下，當在k時要對目標進行照射時，雷達系統已經獲得了包括k-1 時刻在內的之前的所有量測數據。基于這些測量數據，可以為估計值的MSE 在線計算出一個更加精確的下界。在跟蹤具有高動態屬性的機動目標時，為了能夠更精確地分配系統資源，我們采用PC-CRLB 衡量目標跟蹤性能，其定義為

其中PC-FIMJ-1（ξk|Zk-1）定義為

和FIM 的遞歸計算方法類似，PC-FIM 也包含兩個矩陣：

有效監督是預算管理的一個重要方面。在實施企業預算管理時，必須重視監督的重要地位，沒有監督任何制度也是一紙空文，無法得到真正貫徹實施。建立科學的經濟監督機制，必須對預算管理進行全面細致的監督和輔助管理。企業可以在每個部門建立一些獎懲制度，以此來調動基層人員的積極性和工作態度，企業還要定期對預算管理人員進行培訓，提高員工的專業水平和職業素養，以促進整個部門向著正確和更好的方向發展。在建立嚴格的監督管理機制后，企業中預算的不足逐漸暴露出來，針對問題的根本，企業可以根據這些問題找到改進策略，逐步改善這些問題，最終實現全面發展預算管理的目標。

式中JP（ξk|Zk-1）和JD（ξk|Zk-1）分別是PC-FIM 的先驗信息和數據信息。JP（ξk|Zk-1）表達式為

式中，p（ξk|Zk-1）表示預測的先驗PDF。在許多情況下，很難求得JP（ξk|Zk-1）的解析解。在高斯分布情況下，可以通過粒子濾波器求得預測的協方差矩陣，近似算出先驗信息［13］。所以先驗信息矩陣也被稱為預測的信息矩陣。

根據量測模型給出數據信息矩陣JD（ξk|zm,k-1）的表達式為

由于不同雷達節點接收到的信號是相互獨立的，完整的數據信息矩陣JD（ξk|Zk-1）表達式為

可以采用蒙特卡洛方法計算式（24），但是為了簡化計算和降低計算時間，將JD（ξk|Zk-1）轉化為［19］

式中ξk|k-1表示預測的目標信息。

將式（22）和式（25）代入式（20）中，最終的集中式PC-FIMJ-1（ξk|Zk-1）表達式為

3 資源分配策略

將組網機會陣雷達功率分配問題轉化為在滿足期望跟蹤性能條件下的功率優化分配。在量測數據的基礎上，采用PC-CRLB 作為跟蹤誤差衡量基準。

3.1 優化模型

資源分配的關鍵在于預測目標的跟蹤性能，從而使得雷達系統能夠根據預測結果提前做出決策。CPCRLB（ξk）的對角元素是目標狀態矢量ξk各個對應分量估計誤差的下界，這就為目標跟蹤誤差提供了一個衡量基準，即為

式中Pk是各雷達發射功率的矢量，tr（?）是求跡符號，F（Pk）體現了k時刻組網雷達的整體跟蹤性能。

從式（27）可以看出，Pk是決定目標跟蹤性能的決策矢量，針對期望的跟蹤誤差，需要在各雷達之間優化分配功率，使得總發射功率最小。

其中1TM=［1,1,…,1］1×M，ηk表示期望跟蹤誤差。

在實際跟蹤過程中，由于環境的時變和目標信息的未知，目標RCShm,k受到目標身份、姿態、位置、視角、波長、極化等多種因素的影響，是不確定的，這里用隨機變量表示。而確定的資源管理模型不能處理不確定問題，也不能保證算法的穩健性。為了解決這個問題，這里采用隨機CCP 模型把確定性資源管理模型進行封裝：

其中Pr（?）表示概率測度符號，δ表示置信水平。模型的意思是在滿足給定置信水平條件下，使得雷達的總發射功率越小越好。

3.2 求解算法

采用機會約束規劃確保資源分配的隨機約束至少在置信水平為δ時成立。為了求解機會約束，將隨機模擬嵌入到遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）中構成HIOA 求解該模型。詳細的流程如下所示。

3.2.1 隨機模擬

根據專家經驗和歷史測量數據，假定針對所有雷達節點存在Nk個RCS 的歷史測量數據hi,k（i=1,2,…,Nk），那么就可以生成Nk個隨機變量F(Pk,hi,k)。詳細的求解步驟如下：

步驟1 令N'=0;

步驟2 根據hi,k生成F(Pk,hi,k)；

步驟3 若F(Pk,hi,k)≤ηk，則N'=N'+1；

步驟4 重復Nk次步驟2至步驟4；

步驟5 令Pr（F(Pk,hi,k)≤ηk）=N'/Nk，若N'/Nk≥δ，則Pk滿足約束條件；否則不滿足。

3.2.2 混合智能優化算法

將隨機模擬算法嵌入到GA 中，構成混合智能優化算法［20］，從而可以預測出下一時刻滿足約束條件的最優功率分配情況Popt,k+1。混合智能優化算法的求解流程如下：

1）初始化種群，采用隨機模擬算法驗證染色體的可行性；

2）采用交叉算子和變異算子更新染色體，并用隨機模擬驗證更新后的染色體的可行性；

3）計算所有染色體的目標函數值；

4）根據目標函數計算每個染色體適應度函數；

5）通過輪盤賭選擇染色體；

6）重復2）至5），直至循環結束；

7）選出最好的染色體作為最優解Popt,k+1。

3.2.3 閉環狀態處理框架

通過混合智能優化算法，能夠預測下一時刻滿足置信水平的波束最優功率分配Popt,k+1。在k+1時刻，就可以用該預測值指導雷達探測目標。

本文采用基于MCS 的強跟蹤均方根容積卡爾曼濾波算法來處理非線性濾波問題，關于該濾波器的詳細求解過程可參考文獻［9］。則綜合閉環反饋系統的完整流程如下：

1）令k=1，初始化最優功率為Popt,k=P0，其中P0均勻分配。

2）采用基于MCS的強跟蹤平方根容積卡爾曼濾波算法進行濾波，其濾波過程采用順序更新方式更新各雷達結點的測量數據。

3）根據剛更新的目標狀態，計算集中式PCCRLB，然后利用HIOA 求基于CCP 的功率資源分配的最優解。

4）將最優解Popt,k+1發送給雷達以指導下一時刻的目標探測。

5）令k=k+1，轉2）。

4 仿真結果與分析

為了驗證本文功率分配算法的有效性，本節作了如下仿真，并對仿真結果進行了分析。

設組網機會陣雷達系統包含4個雷達結點和1個被跟蹤的目標，每個節點能且只能生成一個波束來跟蹤目標。各部雷達信號的有效帶寬均為Bm,k=5 MHz，有效時寬均為Tm,k=1 ms。每個發射信號的載波波長為λm=0.03 m。相干脈沖數為64。各發射波束功率下界為Pmin=0.1Ptotal。本次仿真共有40幀數據，每幀時間間隔為T0=1 s。機動目標初始機動頻率為α=0.1，初始遺忘因子為ρf=0.95。不失一般性，假定各個雷達節點從不同角度觀測的目標RCS 均服從Swerling I 分布，且取均值為0.27。雷達和目標相對位置如圖1所示。

圖1 雷達和目標分布圖

各雷達坐標和飛機的起始坐標如表1所示。

表1 雷達坐標和目標的初始坐標

機動目標的加速度模型如圖2所示。

圖2 目標的加速度模型

在以下仿真過程中，除了比較不同風險下總資源消耗時需要將δ設置為不通過的置信水平外，其余仿真過程中均將置信水平設置為δ=0.9。在同一置信水平下采用不同的優化算法和跟蹤性能衡量標準，不會影響資源分配算法的效果。

圖3展示的是組網機會陣雷達系統目標跟蹤時各雷達節點的功率資源分配情況。機動目標和雷達之間的距離，機動目標在不同方向上的速度和機動程度都是不同的，這嚴重影響功率資源分配結果。組網雷達系統會根據這些因素在各雷達之間優化分配功率，在滿足約束條件下有效降低總消耗功率。

圖3 各雷達功率分配

圖4表示的是在不同條件下總功率消耗情況，其中Psum表示各雷達節點的總發射功率，Ptotal表示雷達系統的總功率。當都采用PC-CRLB 作為目標跟蹤性能衡量標準時，在滿足相等的期望跟蹤誤差條件下，本文的功率優化分配算法相比于均勻功率分配算法，總功率消耗節省了10%左右。另一種情況是當都采用功率優化分配算法時，采用PCRLB相比于采用PC-CRLB 作為跟蹤性能衡量基準更節省功率。這里我們需要解釋一下：在同樣的條件下，PC-CRLB 能夠為目標跟蹤誤差提供一個更加緊密的下界，而PCRLB 提供的下界更松散，值也更小。為了滿足相同的期望跟蹤誤差，PCRLB 消耗功率更小。這一比較從反面證實了由于PC-CRLB 使用了最新的測量數據，其提供的下界更加緊密。

圖4 不同條件下總功率消耗

置信水平體現了模型的穩健性程度，用來平衡跟蹤性能和資源消耗之間的關系。從圖5可以看出，置信水平越小，即為滿足約束條件的可信性越小，則資源消耗越少，模型不成立的風險也就越大。在實際仿真中，根據雷達系統所處環境選擇合適的置信水平，即當環境復雜時，可選擇較高的置信水平值來保證約束成立，當環境簡單時，可選擇較低的置信水平來節省系統資源。

圖5 不同置信水平下總功率資源消耗

圖6給出了目標軌跡的跟蹤情況。從圖中看出，功率資源優化分配都是在保證目標跟蹤性能條件下實現的，目標跟蹤效果良好。

圖6 目標軌跡對比圖

5 結束語

本文針對組網OAR 跟蹤機動目標情況，提出了一種基于CCP 的穩健功率分配算法，進而在滿足給定置信水平的機會約束下，盡可能地節省功率資源。仿真實驗表明：1）基于MCS 模型的機動目標運動方程能夠更方便預測機動目標運動狀態；2）PC-CRLB 能提供一個更緊密的下界衡量機動目標跟蹤誤差；3）基于CCP 的功率資源分配算法能夠平衡功率和跟蹤誤差之間的關系，提供更加穩健的功率分配算法；4）相對于均勻功率分配算法，本文的功率分配算法能夠大大節省功率資源。