2023 年高考數學模擬試題
2023-05-26 12:35:52許少華
廣東教育·高中 2023年4期
許少華
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.設集合A=｛-1，0，1，2，3｝，集合B=｛x|y=ln（x+1）（2-x）｝，則A∩B=（）
A. ｛-1，1｝B.｛-1，0｝
C. ｛-1，1，2｝D. ｛0，1｝
2.設a，b∈Z，若（a+i）（2-bi）=5，則a+b的值為（ ）
A.3
B. 2
C.4
D. 7
3.對于銳角α，若sin（α-π6）=13，則cos（α-π3）=（）
A.26+16
B.3-28
C.3+28
D.23-16
4.當0 A.4 B.3 C.2 D.83 5.設O是坐標原點，A，B，C是平面上的三個不同的點，且A，B，C共線，若存在不全為零的實數a，b，c使aOA+bOB+cOC=O，則（） A.a+b+c=0 B.a-b+c=0 C.a+b+c=1 D.a+b+c=-1 6.體積為323的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為（） A.32π3_ B.16π3 C.8π3 D.4π3 7.過雙曲線x2a2-y2b2=1（a<0，b<0）的右焦點F2作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C.若F2B=BC，則雙曲線的離心率是 （） A.2 B.3 C.5 D.10 8.已知定義在R上的偶函數f（x）滿足f（4-x）=f（x），且當x∈（-1，3］時，f（x）=x2，x∈（-1，1＼] 1+cosπ2x，x∈（1，3＼] 則函數g（x）=f（x）-|lgx|的零點個數是（） A.7 B.8 C.9 D.10 二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分． 9.已知a，b都是實數，那么“a2>b2”的必要條件是（） A.a>b B.a>|b| C.|a|>b D.a-1>|b| 10.已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，a＝2，且（2＋b）（sin A－sin B）＝（c－b）sin C，則△ABC面積不可能為（） A.2 B.3 C.2 D.5 11.如圖，直三棱柱中，D，E分別是AB，BB1的中點AA1=AC=CB=22AB.則下面結論正確的有（） A.AC1⊥A1B B.BC1//平面A1CD． C.二面角D-A1C-E的余弦值為63． D.DE⊥BC1 12.已知F1，F2為橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點，B為橢圓的上頂點，ΔBF1F2為正三角形，且P為橢圓上一點，A（0，22），若|PA|-|PF2|的最小值為-1，過點F2垂直于x軸的弦交橢圓于C，D兩點，直線l：y=mx+n與圓x2+y2=3相切交橢圓于M，N（與C，D不重合）兩點，則下列結論中，正確的是（） A.橢圓的離心率為12 B.三角形ΔBF1F2的面積為3 C.點E（0，26），點P為橢圓上任意一點，則|PE|-|PF2|的最小值為2. D.四邊形CMDN面積的最大值為332 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13.若（2x-1x）n展開式中含1x2項的系數與含1x4項的系數之比為-5，則n的值為____________?. 14.甲、乙兩個同學做游戲，他們都從1～5中任寫一個數（兩數相同時無效），若兩數之和小于6甲贏，大于6乙贏，若他們玩三次都有效，則都是甲贏的概率為____________?． 15.如圖，直線AB交拋物線y2=4x及其準線分別于 A，B，C，若BFBC=55，則弦|AB|=____________. 16.定義在R上的函數f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的單調增區間為（-1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有4個不同的實根，則實數a的值為____________． 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17.（本小題滿分10分）已知函數f（x）=2x+33x，數列{an}滿足a1=1，an+1=f（1an）（n∈N*）． （1）求數列{an}的通項公式． （2）令bn=1anan+1，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn 求最小正整數m． 18.（本小題滿分12分）已知a，b，c是ΔABC三內角A，B，C所對的邊，若 asin A+ccos B=0， acos A-csin B=0， （1）求C的值． （2）若D為BC邊中點，且AD=7，求ΔABC的面積． 19.（本小題滿分12分）在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2． （1）求證：CE∥平面PAB. （2）若F為PC的中點，求AF與平面AEC所成角的正弦值． 20.（本小題滿分12分）已知設備M可在兩種電壓（220V和380V）下生產某種零件，現有A、B兩個工廠，A工廠設備M用220V電壓生產一小時得450個零件，B工廠設備M用380V電壓生產一小時得550個零件.為了了解兩種電壓下生產的零件情況，通過分層抽樣的方式共抽取n個零件作為樣本，測量其尺寸后，按照以下區間分為九組：①［158，160）；②［160，162）；③［162，164）；④［164，166）；⑤［166，168）；⑥［168，170）；⑦［170，172）；⑧［172，174）；⑨［174，176），得到頻率分布直方圖如下，已知抽取的零件中尺寸小于162的有6個. 2023年全國高考數學模擬試題參考答案 一、選擇題 1.D.解析：由（x+1）（2-x）>0-1 于是，A∩B=｛0，1｝． 2.D.解析：由（a+i）（2-bi）=（2a+b）+（2-ab）i=52a+b=5， 2-ab=0. 由于a，b∈Z，得a=2，b=1a+b=3． 3.A.解析：由于α為銳角，且sin（α-π6）=13，得cos（α-π6）=223. 那么cos（α-π3）=cos［（α-π6）-π6］=cos（α-π6）cosπ6+sin（α-π6）sinπ6=26+16． 4.C.解析：由1x2+1（2-x）2≥12（1x+12-x）2≥12·4x（2-x）≥12·4（x+2-x2）2=2， 上述三個不等式中等號均在同一時刻x=2-x即x=1時成立． 5.A.解析：∵A，B，C三點共線，∴存在實數t使AB=tAC，即OB-OA=t（OC-OA），整理得（t-1）OA+OB-tOC=0，此時令a=t-1，b=1，c=-t即可， 顯然a+b+c=0． 6.A.解析：設正八面體的邊長為a與球半徑為R，則a=2R，由于2×13×a2·R=323R=2． 于是V=4π3×23=32π3，選A． 7.D.解析：對于F2（c，0），則直線方程為y=-x+c，直線與兩漸近線的交點為B，C， 由y=-x+c， y=baxx=aca+b， y=bca+b即B（aca+b，bca+b），因為F2（c，0）， 由F2B=BC知B是F2C的中點，于是可得C（c（a-b）a+b，2bca+b）. 由于C點在y=-bax上，得2bca+b=-ba·c（a-b）a+bb=3ae=10． 8.D.解析：由f（x）是定義在R上的偶函數，知x=0是它的 一條對稱軸又由f（4-x）=f（x），知x=2是它的一條對稱 軸于是函數的周期為4畫出f（x）的草圖如圖， 其中y=|lgx|在（1，+∞）遞增且經過（10，1）點函數g（x）的零點，即為y=f（x）與y=|lgx|的交點結合圖像可知，它們共有10個交點，選D. 二、多選題 9.BD.解析：選項A既不充分也不必要． 選項B，由a2>b2產生不了a>|b|，但反過來成立． 選項C也是既不充分也不必要． 選項D，由a2>b2產生不了a-1>|b|，但由a-1>|b|a>|b|a2>b2. 10.CD.解析：由正弦定理asin A=bsin B=csin C=2R，a=2. 又（2＋b）（sin A－sin B）＝（c－b）sin C， 可化為（a+b）（a-b）=（c-b）cb2+c2-a2=bc. 于是cos A=b2+c2-a22bc=12∠A=600. 又4=b2+c2-2bccos 600=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc（當且僅當b=c時取等號），即bc≤4，于是SΔABC=12bcsin A=34bc≤34×4=3． 故△ABC面積不可能為CD． 11.AB.解析：對于選項A，由AA1=AC=CB=22AB可得BC⊥AC，于是BC⊥面． ACC1A1BC⊥AC1，又AC1⊥A1CAC1⊥面A1CBAC1⊥A1B，故A正確． 對于選項B，連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中點.又D是AB中點，連結 DF，則BC1∥DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1 // 平面A1CD，故B正確． 對于選項C，由AC＝CB＝22AB，得AC⊥BC.以C為坐標原點，CA的方向為x 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz.設CA＝2，則D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），CD＝（1，1，0），CE＝（0，2，1），CA1＝（2，0，2）.設 ＝（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量，則·CD=0 ·CA1=0，即x1+y1=0， 2x1+2z1=0.可取＝（1，-1，-1）． 同理，設是平面A1CE的法向量，則·CE=0 ·CA1=0，可取＝（2，1，-2）． 從而cos<，>·||||=33故選項C錯誤． 對于選項D，由選項C的分析 可知，B（0，2，0），C1（0，0，2），D（1，1，0），E（0，2，1），那么BC1=（0，-2，2），DE=（-1，1，1）BC1·DE≠0，故選項D錯誤． 12.AB.解析：對于選項A，由題意得|BF1|=|F1F2|a=2c， 又由|PF1|+|PF2|=2a|PF2|=2a-|PF1| 那么|PA|-|PF2|=|PA|-（2a-|PF1|）=|PA|+|PF1|-2a. 由于|PA|+|PF1|的最小值即為|AF1|，也就是c2+（22）2=c2+8. 于是，可得|PA|-|PF2|的最小值為c2+8-2a，即c2+8-2a=-1. 從而得a=2，c=1，于是橢圓的離心率為12． 對于選項B，由于a=2，c=1b=3SΔBF1F2=12×2c×b=3，所以B正確． 對于選項C，由|PF1|+|PF2|=4 那么|PE|-|PF2|=|PE|+|PF1|-4≥|F1E|-4=（-1）2+（26）2-4=1，故C不正確． 對于選項D，由于橢圓的方程為x24+y23=1，由于直線l：y=mx+n與圓x2+y2=1相切，可得|n|1+m2=3n2=3+m2. 設M（x1，y1），N（x2，y2），由已知可得：|CD|=b2a=32． 由x24+y23=1， y=mx+n（3+4m2）x2+8mnx+4n2-12=0． 得（8mn）2-4（3+4m2）（4n2-12）>0n2<4m2+3m2+3<4m2+3即m≠0且x1+x2=-8mn3+4m2，x1·x2=4n2-123+4m2． 于是，|x2-x1|=（x2+x1）2-4x1·x2=（-8mn3+4m2）2-4×4n2-123+4m2=12|m|3+4m2． 而S四邊形CMDN=12|CD|·|x2-x1|=12×32×12|m|3+4m2=93|m|+4|m|≤334． 故D不正確． 三、填空題 13.n=6.解析：由Tr+1=Crn（2x）n-r（-1x）r=Crn·（-1）r·2n-r·xn-2r. 令n-2r=-2，得n=2r-2． 又由Tk+1=Ckn·（-1）k·2n-k·xn-2k，再令n-2k=-4，得n=2k-4. 于是，k-r=1． 又Crn（-1）rnn-rCkn（-1）k2n-k=-5，結合k-r=1，解得r=4，n=6. 14.8125.解析：都有效時，兩數和共有10種.小于6的兩數和只有4種，因此，甲贏的概率為410，即25，那么，三次甲都贏的概率為C33253350=8125． 15.解析：設直線AB的傾斜角為α，A（x1，y1），B（x2，y2）自B作準線的垂線，垂足為D，則|BD|=|BF|，那么cos α=BDBC=BFBC=55tan α=2． 于是，直線AB的方程為y=2（x-1）． 由y=2（x-1）， y2=4xx2-3x+1=0x1+x2=3． 故|AB|=x1+x2+2=5． 16.a=-12.解析：∵函數f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的單調增區間為（-1，1），∴-1和1是方程f'（x）=0的根，f'（x）=3ax2+2bx+c，∴-1+1=-2b3a， -1×1=c3a，b=0，c=-3a． ∴f（x）=ax3-3a，∴3a（f（x））2+2bf（x）+c=0即3a（f（x））2-3a=0， ∴f（x）=±1，∴f（1）=1， f（-1）=-1，解得a=-12． 四、解答題 17.解析：（1）由題知，an+1=2·1an+33·1an=an+23， 故數列{an}是以1為首項，23為公差的等差數列， 所以an=1+23（n-1）=23n+13． （2）bn=1anaa+1=1（23n+13）（23n+1）=92（12n+1-12n+3）， 所以Sn=92（13-15+15-17+…+12n+1-12n+3）=92（13-12n+3）， 所以Sn 又92（13-12n+3）隨著n單調遞增，且92（13-12n+3）<32， 所以32≤m-20202m≥2023， 故所求m的最小值為2023. 18.解析：（1）由asin A+ccos B=0， acos A-csin B=0asin A=-ccos B， acos A=csin B平方相加得a2=c2即三角形為等腰三角形.此時條件可轉化為sin A+cos B=0， cos A-sin B=0再平方相加sin（A-B）=-1． ∵0 （2）由（1）知b=3a=3c． 由AD=12（AB+AC）AD2=14（AB+AC）24×7=c2+b2+2bc·32c=2． 于是，ΔABC的面積為S=12bcsin A=12×23×2×12=3． 19.解析：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝3，AC＝2． 取AD中點M，連EM，CM.則EM∥PA． ∵EM 平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB. 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2， ∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB． ∵MC 平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB. ∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB． ∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB． （2）以A為原點，∠BAC的平分線為x軸，AD為y軸， AP為z軸，建立直角坐標系，則P（0，0，2） ． 由（1）知AC＝2且∠BAC＝60°，得C（3，1，0）. 于是得F（32，12，1），所以AF=（32，12，1）． 又∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，且AC＝2，得AD=4. 可得D（0，4，0），從而E（0，2，1），得AC=（3，1，0），AE=（0，2，1），設平面ACE的法向量為=（x，y，z），則AC·=0， AE·=3x+y=0， 2y+z=0，取x=33，y=-1，z=2，得=（33，-1，2）． 再設AF與平面AEC所成的角為θ， 則sin θ=|cos 故AF與平面AEC所成角的正弦值為64． 20.解析：（1）n=6（0.01+0.02）（160-158）=100. 優等品的個數為：（0.04+0.3+0.06）×2×100=80. 于是2×2列聯表如下： 優等品非優等品總計 A301545 B50555 總計8020100 K2=100（30×5-50×15）80×20×45×55=9.9091>7.879． 所以，我們有99.5%的把握認為電壓與產品的優等品率有關. （2）抽到非優等品率為5055=1011，則Y～B（5，1011），從而E（Y）=5×1011=5011. （3）Z的可取值分別為0，1，2． 那么P（Z=0）=C015C230C245=2966，P（Z=1）=C115C130C245=3066，P（Z=2）=C215C030C245=766． 非優等品個數Z的分布列如下： Z012 P29663066766 所以E（Z）=0×2966+1×3066+2×766=23． 21.解析：（1）由線段QN的中垂線交MQ于點P，得|PN|=|PQ|． 那么|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=8>|MN| ． 所以動點P的軌跡是以N、Q為焦點，以8為長軸長的橢圓． 即2c=2，2a=8c=1，a=4，得b2=16-1=15，故P的軌跡方程為x216+y215=1． 設M（x，y），A（x-m，y-n），B（x+m，y+n），易知的斜率必存在，又A，B都在軌跡E上． 則15（x-m）2+16（y-n）2=15×16， 15（x+m）2+16（y+n）2=15×16， kAB·kPM=-115mx+16ny=0， nm=-x-2y-215x16y=x-2y-2． 即xy+30x-32y=0為所求軌跡方程． （2）假設直線l存在． （i）若直線l⊥x軸，由于原點到直線l的距離為1，則直線l的方程為x=±1． 由x=1， x216+y215=1x=1， y=±154，易知，此時直線l不滿足以l截軌跡E所得的弦為直徑的圓恰好過原點． （ii）若直線l不垂直于x軸，設直線l的方程為y=kx+b，與軌跡E的交點分別為C（x1，y1），D（x2，y2）． 由于原點到直線l的距離為2，得|b|1+k2=1即k2+1=b2…………① 又由y=kx+b， x216+y215=1（15+16k2）x2+32kbx+16（b2-15）=0． 由于以l截軌跡E所得的弦為直徑的圓恰好過原點，于是OC⊥OD即y1x1·y2x2=-1． （1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0（1+k2）·16（b2-15）15+16k2+kb·-32kb15+16k2+b2=0. 31b2-16×15k2=16×15……………………② 聯立①②無解，此時，直線l不存在． 由（i）（ii）知滿足條件的直線l不存在． 22.解析：（1）f′（x）=f′（1）e2x-2+2x-2f（0）， 所以f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1.又f（0）=f′（1）2·e-2， 所以f′（1）=2e2，所以f（x）=e2x+x2-2x. ∴g（x）=f（x2）-14x2+（1-a）x+a=ex+14x2-x-14x2+（1-a）x+a=ex-a（x-1） ∴g′（x）=ex-a． ①當a≤0時，g′（x）>0，函數g（x）在R上單調遞增. ②當a＞0時，由g′（x）=ex-a=0得x=lna， ∴x∈（-∞，lna）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減.x∈（lna，+∞）時， g′（x）>0，g（x）單調遞增. 綜上，當a≤0時，函數g（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）.當a＞0時， 函數g（x）的單調遞增區間為（lna，+∞），單調遞減區間為（-∞，lna）. （2）由于eln［g（x）+a（x-1）］=ex，而f（x-12）+（x-1）（5-x）4+a=ex-1+a. 設p（x）=ex-lnx，q（x）=ex-1+a-lnx， ∵p′（x）=-ex2-1x<0，∴p（x）在x∈［1，+∞）上為減函數，又p（e）=0， ∴當1≤x≤e時，p（x）≥0，當x>e時，p（x）<0． ∵q′（x）=ex-1-1x，令r（x）=ex-1-1xr′（x）=ex-1+1x2>0， ∴q′（x）在x∈［1，+∞）上為增函數，又q′（1）=0， ∴x∈［1，+∞）時，q′（x）≥0，∴q（x）在x∈［1，+∞）上為增函數， ∴q（x）≥q（1）=a+2>0． ①當1≤x≤e時，|p（x）|-|q（x）|=p（x）-q（x）=ex-ex-1-a. 設m（x）=ex-ex-1-a，則m′（x）=-ex2-ex-1<0， ∴m（x）在x∈［1，+∞）上為減函數，∴m（x）≤m（1）=e-1-a， ∵a≥2，∴m（x）<0，∴|p（x）|<|q（x）|， ∴eln［g（x）+a（x-1）］比f（x-12）+（x-1）（5-x）4+a更靠近lnx． ②當x>e時，|p（x）|-|q（x）|=-p（x）-q（x）=-ex+2lnx-ex-1-a<2lnx-ex-1-a， 設n（x）=2lnx-ex-1-a，則n′（x）=2x-ex-1，n′′（x）=-2x2-ex-1<0， ∴n′（x）在x>e時為減函數，∴n′（x） ∴n（x）在x>e時為減函數，∴n（x） ∴|p（x）|<|q（x）|，∴ex比ex-1+a更靠近lnx． 綜上：在a≥2，x≥1時，eln［g（x）+a（x-1）］比f（x-12）+（x-1）（5-x）4+a更靠近lnx． 責任編輯徐國堅 （1）求n的值，如果把尺寸在［164，170）內作為優等品的標準，對抽取的n個零件，完成2×2列聯表.據此資料，你是否認為有99.5%把握認為電壓與零件優等品率有關？ （2）從B廠設備M的生產流水線上隨意抽取5個零件，把抽樣的頻率看作概率，試計算其中優等品個數Y的數學期望E（Y）． （3）從A廠抽取的樣本中隨意抽取2個零件，計算其中非優等品個數Z的分布列和數學期望E（Z）. P（k≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 參考公式及臨界值表： K2=n（ad-bc）（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），n=a+b+c+d． 21.（本小題滿分12分）已知點Q是圓M：（x+1）2+y2=64上動點（圓心為M），點N（1，0），若線段QN的中垂線交MQ于點P． （1）以P（2，2）為圓心的圓與軌跡E交于兩點，求AB的中點M的軌跡方程． （2）是否存在直線l？使原點到直線l的距離為1且以l截軌跡E所得的弦為直徑的圓恰好過原點，若存在，求直線l的方程.不存在，請說明理由． 22.（本小題滿分12分）定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=f′（1）2·e2x-2+x2-2f（0）x，g（x）=f（x2）-14x2+（1-a）x+a. （1）求函數g（x）的單調區間． （2）如果s，t，r滿足|s-r|≤|t-r|，那么稱s比t更靠近r.當a≥2且x≥1時，試比較eln［g（x）+a（x-1）］和f（x-12）+（x-1）（5-x）4+a哪個更靠近lnx，并說明理由.
