整體建構 簡教優學

顧慧

［摘 要］數學課程具有整體性，在具體化的教學實施過程中凸顯整體性、關聯性、結構性是數學課堂改革的重要方向。“認識射線、直線和角”這一課包含了直線、射線、角及相關內容的教學，文章以此課為例，闡述如何基于單節課又跳出單節課，實現教學的整體建構，并以此來幫助學生完善認知結構、提升學習能力、發展核心素養。

［關鍵詞］整體建構；核心素養；數學課程標準

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）08-0018-03

【教學分析】

數學課程具有很強的整體性，但為了教學的實施，一般會將其分解為一個又一個具體的內容，這樣的分解雖然有利于教學，但也容易割裂知識關聯，遮蔽知識系統。因此，每一節課的教學首先要整體建構知識，幫助學生建立整體性認知。

“認識射線、直線和角”是蘇教版教材四年級的內容，單就這課題名稱就很值得玩味。通常，“射線”“直線”與“線段”是一組有關聯的概念（簡稱“三線”），“角”跟“射線”有聯系（從一點引出兩條射線組成角）。顯然，在“認識射線、直線和角”這一課中，“射線”“直線”“角”并不是具有并列關系的一組概念，要理順它們之間的關系，有必要回顧之前編排的內容以及本節課編排的內容。

此前，學生在二年級時已經學習了“線段”，初步認識了角（一個頂點、兩條邊）。本課教學任務之一就是在認識線段的基礎上繼續認識直線和射線，教學任務之二就是在認識了射線后，再從射線的角度來定義角。除此之外，本節課還要教學“兩點之間的連線中，線段最短”，后續還要教學兩條直線之間的位置關系“平行（線）”和“垂直（垂線）”等。

把這些內容整合起來，就能建構出這樣的邏輯體系：經過今天的“二次學習”，建立起“三線”（線段、射線、直線）的完整認識；再以線段、射線、直線為基礎，打開更加廣闊的數學世界，即線段“打開”的是“兩點之間的距離”，射線“打開”的是角的意義再構，直線“打開”的是“兩條直線的位置關系”（不屬于本節課內容）。

基于上述邏輯關聯，本課教學的基本思路：從“有限”擴展到“無限”，建立“三線”的整體認知，繼而通過“三線”打開與它們相關聯的世界，以凸顯整體建構、簡教優學的結構化教學理念。

【教學過程】

一、回顧線段

師（雙手捏緊毛線兩端并繃直）：這是一根毛線，咱們來玩個“我做你畫”的游戲。

學生作品： [ ]

師：仔細觀察這兩幅作品，有什么相同點和不同點？

生1：都是直直的線，不同的是第一幅作品的兩端多了兩條小豎線。

師：第一幅作品其實就是一條線段。還記得線段的特征嗎？

生2：線段直直的，長度有限，有2個端點。

師：線上有那么多點，為何偏偏將這兩個點畫成小豎線？

生3：因為這兩個點很特別，它們在線的兩端，這樣畫才能看起來更明顯。

師：是啊，把拉直的毛線畫成線段，就從生活走到了數學的世界。

師（用激光筆照射墻壁）：這是一支激光筆。看明白的同學請畫一畫。

生4作品：

生4：激光筆發出的光束是一瞬間發射出去的，我畫的虛線是表示那個點的運動軌跡。（指著最后一個點）這個點是表示它最終停留的位置。

師：“最終停留的位置”，試著換個詞，也就是什么點？

生5：終點。

師：妙！點動成線，化不可見為可見！

生6作品：[ ]

師：請解釋一下。

生6：激光路線是直的，激光筆的頭和墻上的點，就是兩個端點。

【說明】知識建構的關鍵是在原有的“知識樹”上生長出新的“枝葉”。本環節通過闡釋線段特征及端點的重要性來強化學生對“有限長”的理解，為學生后面認識“無限長”做好鋪墊。“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言描述現實世界”是對數學核心素養的概括性表達，游戲“我做你畫”的目的就是希望學生用數學的眼光看教師手中的毛線，無關顏色、無關粗細；用數學的思維來思考，得出這根繃直的毛線最本質的特征；用數學的語言來表達生活中的線，因為簡單的線段圖示即可展現毛線的直與有限長。

二、認識射線

師：下面進行第三次“我做你畫”游戲。（激光筆的光射向窗外，對著無建筑物阻擋的地方）看明白的同學請畫一畫。

師：有人沒動筆，是遇到什么困難了嗎？

生1：我覺得它應該射到一個很遠的地方，但我不知道在哪。

生2：我覺得后面如果沒有東西擋著，光就會一直射，可以無限延長。

師：不知道盡頭在哪里，有一種無限的感覺。無限與哪個詞是相對的？

生3：與“有限”是相對的。

師：那“無限長”怎么畫呢？

生4作品：[ ]

生4：剛才是射到墻壁上，有終點，現在射到很遠很遠的地方，我后面就用了小點點表示它會一直射。

生5作品：

生5：左邊這個點表示光從筆尖開始發射，也就是起點，如果右邊也畫端點的話，就是有限長，但是激光筆射出去的光沒有終點，所以我沒有畫。

師：真正的無限長，我們畫得出來嗎？

生6：畫不出來，紙就這么點大。

師：真正的無限長是畫不出來的，但數學家能用這種巧妙方式把無限長表達出來。這是一種偉大發明，這是一種數學創造！既然不畫某一端的端點就可以表示往該方向無限延長，那這幅作品是不是也可以呢？

生（齊）：可以。

師：這樣的線叫作射線。將線段的一端無限延長，便得到了一條射線，這就叫“一生二”。與線段相比，射線直直的，只有一個端點，無限長。

【說明】這一環節對學生來說很有挑戰性，不僅因為激光看不見、摸不著，還因為不知如何表達無限長。但是，受前面用線段表達有限長的方法的啟發，學生還是能夠迸發靈感的火花。這一過程不僅體現了知識間的關聯性和遞進感，更上升到數學發明、數學文化的高度，突出了由此及彼、“由一生二”的人類智慧。

三、認識直線

師：過去我們只認識一種線——線段，通過將線段的一端無限延長，我們又創造出了第二種線——射線。這樣一個發明創造的過程，有沒有讓你們產生什么聯想？在小組內交流你們的想法。

生1：射線→直線。

師：怎么變？

生1：我把射線這端的端點也去掉，這樣這一邊也能無限延長了。

師：此時，還有起點和終點嗎？

生2：沒有了。

師：射線可變，線段呢？誰來試試。

生3：可以把線段的這兩端都無限延長。

師：將射線的一端無限延長，或是將線段的兩端都無限延長，都能得到一條直線。剛才那叫“一生二”的話，這叫什么？

生4：二生三。

師：仔細觀察，直線有什么特征？

生5：直線是直直的，但它沒有端點，兩邊都可以無限延長。

師：三線相比，有什么共同之處？又有什么不同之處？（學生回答略）

【說明】翻看《義務教育數學課程標準（2022年版）》，不難發現，同樣是線段、射線、直線，小學與初中學習的側重點卻不一樣。小學重感悟，初中重應用；小學重表達，初中重拓展；小學重形象，初中重抽象……但它們又是前后緊密關聯的，沒有小學階段對形象的感悟，初中的應用與拓展就會無力；沒有小學階段抽象能力與符號意識的培養，發展空間觀念、提升思維水平，初中就不能以點帶面、舉一反三。因此，本環節的教學要盡可能以直觀來通達抽象。

四、建構整體

師（出示圖1）：仔細觀察，你能分辨出哪些是線段、射線和直線嗎？

生1：①號是線段，③號是射線，⑤號是直線。

師：為什么②、④號不是三線中的任何一種？

生2：因為它們是彎的，線段、射線和直線都是直直的。

師（畫一條直線）：這是一條直線。（在直線上標注點A，如圖2）你發現了什么？

生3：我發現了兩條射線，點A往左是一條，往右也是一條。

師（標注點B，如圖3）：有新發現嗎？

生4：我看到了一條線段，點A、點B是兩個端點。射線也變多了，點B往左、往右各有一條。

師：將線段的一端無限延長，得到一條射線，反過來，在射線上再添一個點，能截取出一段線段。

生5：線段是直線或者射線的一部分。

【說明】《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯。在本課中，線段、射線和直線的關系是重中之重，在游戲的互動中，學生對三線之間的結構與關聯了解得更為透徹，學習就超越知識內容深入到思維結構的層面了。

五、擴展價值

師（出示圖4）：用數學的眼光看，這里有我們認識的線嗎？

生1：有，中間是一條線段。

師：這三條線，哪一條最短？

生2：中間那條最短。

師：為什么？

生2：如果拉直了上下兩條線，它們肯定比中間的那條要長。

師：有道理，化曲為直是很重要的數學思想。也就是說，兩點之間線段最短。在數學上，我們把兩點間這條線段的長度叫作這兩點之間的距離。

師（動態演示從一點引出兩條射線）：你有什么發現？

生3：從一點引出兩條射線就得到一個角。

師（動態演示從一點引出一條射線，再旋轉）：此刻，你又發現了什么？

生4：一條射線經過旋轉，與旋轉前的射線組成了一個角。

出示：一條射線圍繞端點旋轉，與旋轉前的射線組成一個角。

師：過去我們認識的角只是它靜態的模樣。今天我們認識射線之后，又從動態的視角重新認識角。數學學習總是從簡單走向豐富，我們通過線段，解決了兩點之間的距離問題；通過射線，重新認識了角。直線又會為我們打開什么樣的世界？以后大家將繼續學習。這就叫“三生無限”。

【說明】本環節聚焦“三線”的運用，既包含解決生活問題時的實際應用，也包含對后續學習幾何圖形的作用。線段、射線和直線作為幾何知識體系的基石，學生在運用時能更加深刻地懂得研究“三線”的價值所在。概念的學習，最初都是由生活走向數學，將概念理解透徹之后，可借助數學眼光、數學思維來打開更為廣闊的世界。

此外，《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現。對核心素養的整體性認識不能虛化，而應結合教學重難點細化具體且豐富的內容，并在教學中有目的地一步步對照落實。教師作為學習活動的組織者、引導者與合作者，需要站在一定高度縱觀整個知識脈絡，厘清其中的關聯，對內容整體建構。只有真正思考起來，行動起來，課堂才會有質的改變。彼時，學生也將越學越懂數學，越學越愛數學。

（責編 金 鈴）