高中數(shù)學(xué)“拓展創(chuàng)新學(xué)程”內(nèi)容特色及教學(xué)要義

吳莉娜 李善良

摘要：《普通高中拓展創(chuàng)新學(xué)程·數(shù)學(xué)》與蘇教版高中數(shù)學(xué)教材一體化設(shè)計，以“重基本方法，促思維創(chuàng)新”為宗旨，按專題講座的方式編寫。其內(nèi)容包括專題性綜合解決問題的基本方法、高中數(shù)學(xué)的常用方法等。其編寫特色有：注重理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識；注重多種角度思考，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維；注重數(shù)學(xué)文化熏陶，提高學(xué)生的探究能力。教學(xué)要義有三點：理性滲透，精心設(shè)計教學(xué)；掌握學(xué)情，把握教學(xué)節(jié)奏；體驗實踐，發(fā)展核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；拓展創(chuàng)新學(xué)程；基本方法；內(nèi)容特色

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》明確強調(diào)：“高中階段教育要推進培養(yǎng)模式多樣化，滿足不同潛質(zhì)學(xué)生的發(fā)展需要，要探索發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)創(chuàng)新人才的途徑。在人才培養(yǎng)體制改革上，要更新人才培養(yǎng)觀念、創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式、改革教育質(zhì)量評價和人才評價制度；在創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式上，要創(chuàng)新教育教學(xué)方法，探索多種培養(yǎng)方式，形成各類人才輩出、拔尖創(chuàng)新人才不斷涌現(xiàn)的局面?！?020年，教育部啟動了部分高?；A(chǔ)學(xué)科招生改革的“強基計劃”，聚焦于選擇和培養(yǎng)“關(guān)鍵領(lǐng)域”的拔尖創(chuàng)新人才。數(shù)學(xué)是高中的主要課程之一，在拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)中發(fā)揮著重要的作用。而數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)涵，因而也是培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的基礎(chǔ)。重視數(shù)學(xué)基本方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)教育發(fā)展的必然，是現(xiàn)代社會對人才培養(yǎng)的要求。

為了達到拓展知識、創(chuàng)新方法、促進探究、提升思維的目的，我們對高中數(shù)學(xué)必修、選擇性必修、選修課程進行一體化設(shè)計，在蘇教版必修、選擇性必修教材的基礎(chǔ)上，配套研制了《普通高中拓展創(chuàng)新學(xué)程·數(shù)學(xué)》（以下簡稱《拓展創(chuàng)新學(xué)程》）。其編寫以“重基本方法，促思維創(chuàng)新”為宗旨，以“題”（典型考題、傳統(tǒng)經(jīng)典題、重要結(jié)論）為載體進行分類串通，著重從怎樣思考、怎樣尋找突破口入手，著力于解題方法策略的研究、通性通法的運用以及綜合分析解題能力的提升。同時，以高考中檔題為起點，避開競賽題的技巧性；求核心內(nèi)容，不求面面俱到，避免繁雜的計算；力求提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平與實踐創(chuàng)新能力，滿足對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有較高需求的學(xué)生的需要。

本文試從基本方法的角度談?wù)劇锻卣箘?chuàng)新學(xué)程》的基本內(nèi)容與編寫特色，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、 基本內(nèi)容

《拓展創(chuàng)新學(xué)程》按專題講座的方式編寫（共72講），包括三類基本方法：一是專題性綜合解決問題的基本方法，二是高中數(shù)學(xué)的常用方法，三是關(guān)于拓展性知識的基本方法。下面重點介紹前兩類。

（一） 專題性綜合解決問題的基本方法

我們圍繞高中數(shù)學(xué)必修、選擇性必修課程的主要內(nèi)容，以解決問題的“基本方法”為線索，按單元重新組合，力圖使學(xué)生在解決問題的過程中，掌握解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。主要設(shè)計了以下內(nèi)容：

集合內(nèi)容主要涉及“集合的概念與關(guān)系”“集合的運算”等專題。借助于集合中元素的共同性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想、集合運算的相關(guān)性質(zhì)，研究集合中元素的含義分析，集合之間的關(guān)系判定，集合的交集、并集、補集、差集等運算。

不等式內(nèi)容主要涉及“二次函數(shù)與二次不等式”“不等式的性質(zhì)”“常用放縮技巧”等專題。不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，借助于不等式的性質(zhì)求解不等式（包括含參數(shù)不等式的變形）。放縮是指借助于不等式的傳遞性將不等式的一端或兩端放大或縮小，常使用不等式的性質(zhì)、分數(shù)的性質(zhì)、基本不等式來實現(xiàn)。

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容主要涉及“函數(shù)的再認識”“函數(shù)的周期性”“函數(shù)的最值”“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”“函數(shù)復(fù)合與分解”“函數(shù)與方程”“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”等專題。在函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖像等基本知識的基礎(chǔ)上，研究一些特殊函數(shù)的基本性質(zhì)以及反函數(shù)，函數(shù)的周期性與對稱性的關(guān)系，復(fù)雜函數(shù)的最值，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其應(yīng)用，函數(shù)的復(fù)合與分解，函數(shù)的零點，函數(shù)與方程的關(guān)系。利用導(dǎo)數(shù)，綜合運用單調(diào)性、極值等性質(zhì)探討曲線的切線、方程及不等式的解、含參數(shù)的數(shù)學(xué)式子恒成立問題。

三角函數(shù)內(nèi)容主要涉及“三角函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)”“三角函數(shù)與不等式、最值”“反三角函數(shù)與三角方程”“三角恒等變換”“正弦定理與余弦定理”等專題。借助于三角函數(shù)的定義、圖像、單調(diào)性、對稱性、周期性等可解決三角函數(shù)式零點、三角函數(shù)不等式與最值、反三角函數(shù)與三角方程問題。借助于基本的三角恒等變換可解決三角函數(shù)式化簡、求值與證明問題。正弦定理、余弦定理給出了三角形邊與角的關(guān)系，借助于它們可解決解三角形、判別三角形形狀、證明恒等式與不等式問題。

數(shù)列內(nèi)容主要涉及數(shù)列的求通項與求和問題。通過定義證明等差數(shù)列和等比數(shù)列，并采用基本量法進行“知三求一”；通過倒序相加法、錯位相減法與裂項相消法解決數(shù)列求和問題；通過遞推公式解決數(shù)列求通項問題，具體總結(jié)了累加法、累乘法及構(gòu)造法等。

平面向量內(nèi)容主要涉及“向量的概念與運算”“向量法解決平面幾何問題”等專題。向量是既有大小又有方向的量，借助于向量運算幾何與代數(shù)的雙重性，解決向量的基本運算以及常見的平面幾何問題。

立體幾何內(nèi)容主要涉及“空間位置關(guān)系”“立體幾何運算”“四面體與球”“空間向量與立體幾何”等專題。借助于基本模型法、轉(zhuǎn)化法、空間向量等方法解決空間位置關(guān)系以及立體幾何計算問題，包括空間動點、動線和動角等運動問題，點、線、面主要位置關(guān)系的確定問題，距離和角、面積和體積的計算問題?！八拿骟w與球”探討了四面體問題以及球與多面體的內(nèi)切、外接問題。

解析幾何內(nèi)容主要涉及“直線與圓”“圓錐曲線的定義及其運用”“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”等專題。探討了用待定系數(shù)法求直線與圓的方程、圓的切線方程和切點弦方程，以及直線與圓的幾何性質(zhì)的運用；給出了圓錐曲線的第一定義與統(tǒng)一定義，探討了焦點三角形、焦半徑、焦點弦問題；從直線與圓錐曲線的位置關(guān)系角度探討了弦長計算、中點弦、切線與切點弦問題，并且著重探討了解析幾何中的定點與定值問題、取值范圍與最值問題。

概率與統(tǒng)計內(nèi)容主要涉及“隨機事件的概率”“排列組合問題”“條件概率”“隨機變量的概率、均值與方差”“統(tǒng)計案例”等專題。探討了隨機事件發(fā)生的概率，排列組合的計算與應(yīng)用，獨立事件與條件概率，隨機變量的概率分布以及均值、方差等；根據(jù)散點圖、相關(guān)系數(shù)推斷線性相關(guān)關(guān)系，求解線性回歸方程，運用卡方分布進行獨立性檢驗。

（二） 高中數(shù)學(xué)的常用方法

高中數(shù)學(xué)中，除了融入具體內(nèi)容的專題性基本方法之外，還有一些在解決各類問題時經(jīng)常使用的方法，主要包括：

化歸與轉(zhuǎn)化方法［1］，分為三步：將什么問題轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到何處去，如何轉(zhuǎn)化。這是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心。比如，第50講“函數(shù)綜合（2）”中，利用常用不等式對函數(shù)解析式進行放縮，進而把超越函數(shù)化歸為熟悉的函數(shù)模型［2］。

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象方法［3］，即從研究對象或問題中抽取數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性，對其進行考察的方法［4］。比如，第24講“三角綜合”中，在解決輪船的救援時間問題時，對實際生活問題進行數(shù)學(xué)建模，將題目所給的方位角轉(zhuǎn)化為三角形中的角，再通過正弦定理、余弦定理的代數(shù)方法求解。

數(shù)形結(jié)合方法［5］，即將數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來，包括：以圖形作為手段，以求解數(shù)為目的，即“以形助數(shù)”，借助圖形的直觀性和形象性來明晰數(shù)之間的關(guān)系；以數(shù)為手段，以求解圖形為目的，即“以數(shù)輔形”，借助數(shù)的嚴密性和精確性來刻畫圖形的某些屬性［6］；數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化、互相補充。比如，第41講“解析幾何綜合”中，一方面，通過分析幾何圖形的特征、元素以及元素之間的關(guān)系，利用代數(shù)語言加以表達；另一方面，通過代數(shù)運算獲得相關(guān)結(jié)果，進而把握代數(shù)式或數(shù)的幾何意義，從中獲得幾何圖形的特征。

函數(shù)與方程方法［7］，即通過建立函數(shù)關(guān)系來研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量問題，再通過函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析解決問題。比如，第11講“函數(shù)與方程”中，說明函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，方程的根就是對應(yīng)函數(shù)的零點，從而利用函數(shù)的圖像，得到相應(yīng)方程的近似解。

分類討論方法：由于每個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其適用（成立）的范圍，而有些問題的結(jié)論或已知量的不固定會影響問題的解決，所以要將一些問題根據(jù)特點及要求重新分類，再逐一研究解決。比如，第3講“二次函數(shù)與二次不等式”中，對含參數(shù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)進行討論，以決定開口方向的恒成立問題，就充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法。

數(shù)學(xué)推理與證明方法，包括數(shù)學(xué)歸納法、反證法、存在性證明方法和不可能性證明方法等［8］。比如，第31講“反證法”中，先假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，再在此假設(shè)下進行邏輯推理，直到得出一個與已知條件、假設(shè)或與定義、公理、定理相矛盾的結(jié)論，由此否定假設(shè)，從而肯定要證明的結(jié)論。這是一種間接證明方法。

特定情境下的數(shù)學(xué)方法，包括構(gòu)造法、待定系數(shù)法、常用變換法、三角法、面積法、賦值法、算兩次法等。對這些方法，《拓展創(chuàng)新學(xué)程》都單列了專題，通過典型例題進行梳理。

二、 編寫特色

在“重基本方法”的基礎(chǔ)上，為了更好地“促思維創(chuàng)新”，《拓展創(chuàng)新學(xué)程》的編寫具有以下特色：

（一） 注重理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識

高中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重理論聯(lián)系實際，讓學(xué)生不僅掌握數(shù)學(xué)知識以及思考方法，而且掌握所學(xué)知識的實際意義，在現(xiàn)實情境中理解數(shù)學(xué)知識并運用數(shù)學(xué)知識解決問題；不能機械地進行反復(fù)操練與模仿，這會使得學(xué)生一知半解。

事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi（i=1，2，…，n），如果A由原因Bi引起，則A發(fā)生的概率為P（ABi）=P（Bi）P（A|Bi）。每一個原因都可能導(dǎo)致A的發(fā)生，故A發(fā)生的概率是全部原因引起A發(fā)生的概率的總和。由此，可以形象地把全概率公式看成是“由原因推結(jié)果”的公式。每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的作用，結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的作用大小有關(guān)，全概率公式就表達了它們之間的關(guān)系。

第61講“條件概率”例6變式的第（1）問就是全概率公式的一個典型實際應(yīng)用：

在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列。由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接受為1或0。已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別0.9和0.1;發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05。假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的。

（1） 求接收的信號為0的概率。

解本題最直接的思路是設(shè)三組對棱長分別為a、ｂ、ｃ，可得四個面均是三邊長分別為a、ｂ、ｃ的三角形，然后化立體幾何問題為平面幾何問題，計算求解——實際上，該四面體是由一個平行四邊形沿一條對角線折起，且使折起的兩個頂點在空間中的連線長等于所沿對角線的長而形成的。

此外，長方體是對棱相等的四面體的母體，可以為研究四面體的性質(zhì)搭建良好的平臺。構(gòu)造長方體模型，連接六條面對角線，即得對棱相等的四面體；設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，在長方體中可以很方便地研究該四面體。

（三） 注重數(shù)學(xué)文化熏陶，提高學(xué)生的探究能力

新課程改革背景下，教師應(yīng)積極探索有效的教學(xué)方式，將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)活動，結(jié)合數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)史，創(chuàng)設(shè)合理、有趣、美好的數(shù)學(xué)情境，從而全面培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)及綜合能力，促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

比如，第54講“軌跡”例2：

阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究。阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M到兩定點A、B的距離之比為λ（λ>0且λ≠1），那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓。在平面直角坐標系中，已知圓O：x2+y2=1，點A（-1，0）、B（0，1），且M為圓O上的一個動點，則2MA+MB的最小值為。

本題先介紹阿波羅尼斯以及他對圓錐曲線的研究，一方面讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面，創(chuàng)設(shè)情境，合理引出問題。

又如，第28講“立體幾何綜合”例2：

中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（如圖2）。半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體。半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美。圖3是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為１，則該半正多面體共有個面，其棱長為。

本題通過介紹南北朝時期獨孤信的印信形狀，引出半正多面體的問題，可以讓學(xué)生體會到生活中處處是立體幾何的實物存在，進而運用立體幾何的知識研究一個新的幾何體，確定位置關(guān)系，求解長度、面積、體積，發(fā)揮空間想象能力與基本模型的作用。

三、 教學(xué)要義

教師使用《拓展創(chuàng)新學(xué)程》時，應(yīng)注意挖掘其中的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。教學(xué)要義有以下三點：

（一） 理性滲透，精心設(shè)計教學(xué)

在教學(xué)中，我們應(yīng)該從對具體數(shù)學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分析出發(fā)，考慮需要滲透、介紹或突出哪些數(shù)學(xué)基本方法，要求學(xué)生在什么層次上把握數(shù)學(xué)基本方法（是了解、理解、掌握還是靈活運用），然后才能進行合理的教學(xué)設(shè)計，從教學(xué)目標的確定、問題的提出、情境的創(chuàng)設(shè)到教學(xué)方法的選擇，教學(xué)過程的梳理，做到有意識、有目的地進行基本方法教學(xué)。

（二） 掌握學(xué)情，把握教學(xué)節(jié)奏

學(xué)生學(xué)習(xí)是一個循序漸進的過程，教學(xué)設(shè)計應(yīng)該充分尊重學(xué)生的認識規(guī)律，不僅要有意識、有目的地進行，而且要有計劃、有步驟地進行?！锻卣箘?chuàng)新學(xué)程》可以作為每周一講、每章綜合講座之用，也可以作為寒假、暑假集中提優(yōu)拓展的教材；可以作為平時教學(xué)的補充，也可以作為高三復(fù)習(xí)的輔助資源。所以，需要教師依照學(xué)生的學(xué)情，選取適合的時間使用。

（三） 體驗實踐，發(fā)展核心素養(yǎng)

由于數(shù)學(xué)基本方法是基于數(shù)學(xué)知識又高于數(shù)學(xué)知識的，要在反復(fù)的體驗和實踐中逐漸認識、理解，進而內(nèi)化為個體認知結(jié)構(gòu)中對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決有著生長點和開放面作用的穩(wěn)定成分。其教學(xué)要從對數(shù)學(xué)具有歸納、演繹兩個側(cè)面的全面認識，以及如何幫助學(xué)生在掌握知識的基礎(chǔ)上發(fā)展素養(yǎng)的全方位要求出發(fā)，充分體現(xiàn)“觀察—實驗—思考—猜想—證明（反駁）”這一數(shù)學(xué)知識的再創(chuàng)造（再發(fā)現(xiàn)）過程和理解（建構(gòu)）過程，展現(xiàn)概念的提出過程、結(jié)論的探索過程和解題的思考過程。

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