從“圓的面積”教學中培養學生幾何直觀能力

朱文靜

［摘 ?要］ 幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的核心素養的主要表現之一，文章主要結合“圓的面積”這一課，從動手操作實驗，積累直觀經驗；利用信息技術，感悟直觀想象；建立知識網絡，構建幾何框架這三方面，談談如何通過課堂教學來落實學生的幾何直觀的能力，發展學生的空間觀念。

［關鍵詞］ 幾何直觀；空間想象；極限思想

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，將核心素養的表現分為數學眼光、數學思維、數學語言三個維度，其中，將幾何直觀放在了發展學生的數學眼光中來達成。幾何直觀主要是指“運用圖表描述和分析問題的意識與習慣……幾何直觀有助于學生把握問題的本質，明晰思維的路徑”。它可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。作為一線教師，該如何在課堂上落實幾何直觀這一核心素養呢？本文嘗試著做一些探索。

【教學情景描述】

“圓的面積”的教學是小學階段最后一個平面圖形面積的教學。在前面的學習中，學生已經學習過長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的面積計算，積累了一些有關面積轉化、公式推導的學習經驗和方法。因此，對于平面圖形面積的學習，學生是不陌生的。但是，前面學習的平面圖形都是直線圖形，而圓是曲線圖形，從研究直線圖形到研究曲線圖形，思想上和方法上都有變化，對學生而言是一種能力的跨越。

一、動手操作實驗，借形明理，積累直觀經驗

如何將曲線圖形轉化為以前學過的知識進行研究，這是本節課的重點與難點，教師要讓學生在動手操作中去實現轉化，直觀地展示新圖形轉化為舊圖形的全過程，借形明理，進而經歷整個過程。

片段一：交流探究思路，明確“轉化”的方法

教師將圓形紙片貼于黑板。

師：同學們，結合你們以前的學習經驗，想一想，你們準備怎樣去研究圓的面積呢？

生1：把圓轉化為其他圖形進行探究。

教師環顧全班，大部分學生點頭同意，達成共識。

師：回憶一下，我們已經學過了哪些平面圖形？

生2：長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形……

師：對。那我們在轉化的時候是不是可以朝著這些圖形去思考呢？

生（齊）：是的。

師：不錯，你們已經知道了一種重要的數學思想方法，就是把新知轉化為舊知來進行學習。

這時，教師稍作停頓，故作很為難的樣子。

師：同學們，看看圓，再看看這些圖形，想把圓形轉化成學過的這些圖形……

學生也陷入思考，感覺有困難。一位學生大聲說出了大家的心聲。

學3：有困難。

師：什么困難？

生3：圓的邊是圓圓的，而以前學過的圖形的邊都是直的。

師：你們的意思是把圓這個曲線圖形轉化成直線圖形，感覺有困難。

教師在黑板上板書：曲—直？

師：這樣，同學們，老師為你們準備了一張圓片，咱們可以先自己試一試、折一折，看能不能解決這個難題。

學生用圓片自己嘗試“化曲為直”，并上臺展示自己的思考過程。

師：我們一起來看看這兩位同學的。

生1：我通過折，把圓轉化成了直線圖形，打開一看，面積發生了變化，變小了，所以這種方法行不通。

生2：我是沿直徑對折、對折，再對折，得到了一個圖形，很像三角形。

師：對呀，這個同學沿著直徑對折、對折，再對折，就可以把這個圓分成偶數等份，打開后，大家觀察，他得到了一個什么圖形？

生（齊）：得到了許多三角形，準確說是許多近似的三角形。

這時，教室里氣氛活躍起來，學生都覺得將圓轉化為以前學過的圖形是可行的。

師：咱們再打開看看，這樣就把圓平均分成了很多個近似的三角形，面積沒有變，但還不是直線圖形。接下來，怎么辦？

一位學生踴躍站起來，提出他的想法。

生4：可以把這些近似的三角形，剪下來，重新進行拼組，看能不能拼成直線圖形。

師：根據這位同學的思路，我們再繼續研究下去，可能會有新的發現。

設計意圖：理論和實踐都告訴我們，小學生生成幾何直觀觀念的主要途徑是觀察與操作。學生先通過觀察發現圓與以前學過的平面圖形的不同，再通過自己動手折一折去找到將曲線圖形轉化為直線圖形的可行辦法，從而突破難點。

二、利用信息技術，直觀想象，感受極限思想

在學生動手操作完成后，會發現將圓沿著直徑分出的份數越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。于是，教師利用信息技術，帶領學生展開直觀想象，感受極限思想。

片段二：直觀想象，感受極限思想

課件展示8等分拼圖、16等分拼圖、32等分拼圖、64等分拼圖。

師：其實剛才同學們做的是把圓等分成8份和16份后拼成的圖形。

師：如果分的份數更多一些呢？

師：先看看把圓平均分成32份，再看看把圓平均分成64份。

學生看著課件上的圖形變換，發出陣陣驚嘆聲。

師：看看這些拼成的圖形，你有什么新的發現嗎？

生5：分的份數越多，拼起來就越像長方形。

師：剛才你們拼出的是近似的平行四邊形，現在怎么看起來越來越像長方形了。

生6：分的份數越多，拼成的上下兩條線越來越直。

師：你的觀察真細致，感受到了上下兩條線的變化趨勢。

生7：左右兩條線傾斜度越來越小。

師：你感受到了左右兩條線的變化趨勢，你真行。

師小結：分的份數越多，拼成的圖形的上下兩條曲線越來越接近一條直線，左右兩條線也在慢慢發生變化，所以越來越接近一個長方形。

師：但現在是一個長方形嗎？它還只是一個近似的長方形。

師：如果再繼續等分下去，請大家閉眼想象，它會拼成一個什么圖形？

全班學生閉眼想象。

師：把一個圓平均分成128份，拼成了什么圖形，256份呢？無限等分下去，分成無數份，拼出了什么圖形？

有的學生回答：長方形；還有的學生認為：近似的長方形。

學生辯論起來。

生（齊）：如果分的份數越多，上下兩條邊就越來越直了，最終都會成為一條直線。

師：同學們太了不起了，你們體會到了越分越多的精髓，慢慢地它會越來越接近一個長方形。也就是說把圓等分成無限多份，再重新組合，它就會成為一個長方形了。

……

師：同學們，剛才大家先通過動手操作，再通過閉眼想象，把圓進行無限分，就將其轉化成了一個長方形，這樣，我們便成功地解決了“化曲為直”的困難。這種“無限分”和“化曲為直”的極限思想對你們以后的學習有重要的幫助。

設計意圖：利用現代教育技術手段將圓沿著直徑無限等分后拼成近似長方形的過程演示出來，將轉化的過程可視化，生動的畫面讓學生腦洞大開。緊接著，讓學生閉眼想象，在學生頭腦里形成無限分割并拼成長方形的畫面，這發展了學生的空間想象能力和幾何直觀能力，同時讓學生初步感受了極限思想的本質。

三、建立知識網絡，厘清脈絡，構建幾何框架

片段三：全課小結，思維提升

師：同學們，現在你們已經學完了小學階段所有需要學習的基本平面圖形的面積，請看屏幕。

師：透過這個圖（圖4），你們有什么想說的嗎？

生8：從這個圖中，我知道了長方形是我們學習所有平面圖形的基礎。

生9：我覺得在學習這些平面圖形的面積時，都運用了轉化的思想。

生10：我們在學習這些圖形的面積時，課堂上都進行了操作，有時拼、有時剪，非常有意思。

師：是啊，我們在探究這些圖形面積的過程中，都運用了各種操作實驗，經歷了“先轉化為以前學過的圖形—再觀察比較，找出圖形之間的關系—最后根據關系推導公式”的探究過程。你們真了不起。

師：同學們，任何學習都不是一蹴而就的，都是在不停觀察、比較、發現中，將新知識轉化為舊知識，化曲為直，化繁為簡，化難為易。學知識就像蓋房子，愿同學們不停地添磚加瓦，打造出自己心中最美的知識宮殿。

設計意圖：本節課是圖形與幾何部分的內容，本身就有利于培養學生的幾何直觀能力。在全課小結時教師讓學生體會知識之間的內在聯系，感受平面圖形面積公式推導的一般方法：轉化圖形—尋找聯系—推導公式。這樣將所有學過的平面圖形面積的知識結構化，串成線，連成線，結成網，能幫助學生構建幾何知識框架，掌握數學思想方法，提升綜合學習能力。

【教學反思】

在“圓的面積”公式推導的過程中，學生通過操作活動去探明數學本質，通過直觀想象，積累幾何直觀的經驗。

一、關聯知識鏈接，建立幾何網絡圖

在談收獲時，教師設計了一張所有平面圖形轉化的思維導圖，讓學生觀察體會知識的關聯。通過知識網絡圖，教師表達兩層意思：第一，長方形是我們學習所有平面圖形的基礎；第二，我們在探究這些圖形面積的過程中，都經歷了“先轉化為以前學過的圖形—再觀察比較，找出圖形之間的關系—最后根據關系推導公式”的探究過程。學生恍然大悟，不僅學習了圓面積這單一知識，還總結了這一類知識的學習方法，將知識串成線，鋪成面，立成體，培養了幾何直觀能力。

二、動手操作，直觀想象，突破重難點

學生只有將直線圖形轉化為直線圖形的學習經驗，沒有將曲線圖形轉化為直線圖形的學習經驗，這造成了他們學習上的困難。如果學生沒有提前學習，就很不容易想到要把圓沿直徑剪開，再拼成一個長方形。不過，學生有“化曲為直”的經驗（比如認識周長這節課）?；谶@個經驗，教師適當引導，讓他們在兩次動手操作中找到研究的方向，并沿著這個方向探究下去。操作實驗讓學生有了直觀的認識和過程的感悟，把抽象的數學變得“可視”起來，發展了學生的幾何直觀能力。

極限思想的滲透是這節課最難突破的點，學生看不著、摸不著，不好用語言來表述，也不好用肢體來表達，是一種只能意會不能言傳的東西。但是，教師卻不能放棄，哪怕讓一部分學生感受到這種極限思想，也會為他們今后進入初中學習打下堅實的基礎。