培養學生能力 提高學生意識

陳結洪

一、課標要求分析

用待定系數法求二次函數解析式是函數知識考查中最基本的要求，縱觀每年的全國中考題都離不開二次函數的考查與運用。解析式也就是函數的表達式或者關系式，它是基礎題最基本的表達形式，也是壓軸題的基礎，在哲學角度理解為“經濟基礎”，是綜合其他知識的紐帶，促使學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達世界。

二、學情分析

授課學生為分層教學的實驗生，知識水平相對平穩，但也有部分學生在理解和運算能力上比較偏弱一點。用待定系數法求二次函數解析式涉及三種表達形式，同時考查應用的背景靈活多變，所以學生在學習運用三個坐標點代表一般式的知識基礎下深入探究頂點式和交點式，有很好的銜接作用，更能加深對綜合題的應用，體會解析式在函數應用中的地位與作用。

三、教學目標

1. 由已知拋物線的頂點式到設置頂點坐標為參數，通過對用待定系數法求參數的過程探究，掌握求解析式的基本方法；一題多解，提高審題和解題能力，從而選取合適的解析式模式解題。

2. 數與形相結合，提升用待定系數法求拋物線的解析式的速度。

3. 培養學生分析問題、解決問題的能力，提高學生用數學的意識，滲透幾何直觀、運算能力等核心素養。

四、教學重難點

教學重點：會用待定系數法求拋物線的解析式。

教學難點：能選擇最優的方法求得拋物線的解析式并初步運用相應的解析式解決數學問題。

五、教學方法

基于問題創設導向教學、“四整合”兵教兵分層布局、鴻合電子白板交互融合教學等方法。

六、教學過程

（一）復習引入

1．（1）拋物線y＝3（x＋4）2＋5的頂點坐標是（， ）；（2）拋物線y＝a（x－h）2＋k的頂點坐標是（， ）。

2．已知拋物線y＝a（x－1）2＋k過點（0，7）和（-1，13），求拋物線的解析式和頂點坐標。

【設計意圖】

（1）熟悉頂點式，能從頂點式中提煉出頂點坐標，為設頂點式求解析式做鋪墊。

（2）第2題是對待定系數法解參數和還原解析式進行鞏固訓練。

（3）歸納總結：①設：表達式；②代：坐標代入；③解：方程（組）；④還原：寫表達式。

（4）讓學生理解求解析式的原因。

（二）核心主題，主動交流

經典例題：

1. 已知拋物線的頂點為（-2，1），且圖象過點（-4，-3），求拋物線的解析式。

解：∵拋物線頂點為（-2，1）

∴設二次函數解析式為y＝a（x＋2）2＋1

再把點（-4，-3）代入，得：

4a＋1＝-3，解得：a＝-1，

∴所求的二次函數的解析式為y＝－（x＋2）2＋1，即：y＝－x2－4x－3。

2. 探究：可以設一般式解這道題嗎？（聯想已學知識思考）

3. 歸納：解題步驟，解題格式，精準解題。

4. 小結：

（1）設置腳手架模式引入，側重于格式的培養，調動學生學習積極性。

（2）總結二次函數圖象上一點和頂點坐標，求二次函數解析式，一般將二次函數的解析式直接設為頂點式y＝a（x－h）2＋k（a≠0），再將另外一點坐標代入求出a值，最后寫回解析式。

（三）探索比較，一題多解

1. 變式訓練

（1）已知二次函數的圖象過點（0，-3），并且當x＝-2時，y有最大值1。

①求這個二次函數的解析式；

②把二次函數的圖象沿坐標軸方向如何平移可使該圖象的頂點在原點？

追問：求函數解析的目的是什么？達到什么效果？

③用草圖畫出二次函數圖象，并求二次函數圖象與x軸的交點坐標；

追問：討論，能否從本小題中歸納出一種簡便的求解析式的方法？需要已知什么條件？形式是什么？注意關注什么？

（2）總結歸納：中考題，變式遷移。

（3）拋物線上部分點的橫坐標、縱坐標的對應值如下表所列：

請選擇合適的方法，求此拋物線的函數解析式。

【設計意圖】

目的：利用問題串形式，啟發學生思考。這樣每一個問題都成為學生思維的階梯，使學生在明確知識內在聯系的基礎上獲得知識、提高思維能力。

重視審題分析，讓學生通過審題過程，調用頂點式進行求解析式。把例題變換背景，培養學生總結能選擇什么類型的解析式求解。

2. 深度研題

（1）已知某二次函數的圖象如圖所示交x軸于A、B點，交y軸于C點，頂點為D。

①求此二次函數的解析式；

②求點D的坐標及△ABD的面積。

（玩轉數學變式題）

（2）①動點P（x，3）能否在拋物線上？請說明理由；

②若點A（a，y1），B（b，y2）都在拋物線上，且a＜b＜0，比較y1，y2的大小，并說明理由；

③保持拋物線的頂點坐標不變，且拋物線與x軸兩交點間的距離為4，求此拋物線的函數關系式；

④已知二次函數的圖象如圖所示，求此拋物線的解析式。

（你能有幾種方法求解？）

【設計意圖】

（1）設計目的：學生通過觀察比較，總結由一個題而引申的多個問題，在活動中，讓學生自己去觀察、發現、總結，實現學生主動參與、探究新知的目的。

（2）數形結合，體會提煉幾何背景下求解析式的應用能力。通過歸納，培養學生抽象概括能力。同時培養了學生與他人合作的能力，增強了學生的團隊合作意識。

（3）通過數形結合，求到解析式，能化簡成頂點式。求得頂點坐標進而為求三角形的面積做鋪墊。利用幾何畫板演示動點的變化，體會面積的變化，為續學習沿垂法做鋪墊。

（四）課堂小結

1. 求二次函數解析式的方法選擇。

2. 理清題意，找出已知條件。

3. 題中知頂點或對稱軸，優設頂點式，最后考慮一般式。

4. 一設，二代，三解，四還原。

5. 格式嚴謹，穩步得分，立足中考。

【設計意圖】

（1）通過創設問題形式為主線，用問題串方式把需要學習和探究的內容設置到每個小問中，讓學生體會對知識的總結歸納，了解為什么要用這個知識去解題，解題的目的是什么，怎樣才能做到最優化、高效。

（2）總結各種方法的特點，把握各種方法的應用背景。

七、教學反思

1. 整合大單元教學模式，通過已知二次函數的頂點式去尋找頂點坐標，再到參數下的頂點式，使學生體會到由數到代數的變化過程。

2. 教學例題設置腳手架模式引入，側重于格式的培養，調動學生學習積極性。每個問題都成為學生思維的階梯，使學生在明確知識內在聯系的基礎上獲得知識、提高思維能力。

3. 通過幾何畫板進行教學與技術賦能相結合，動態演示二次函數圖象的生成過程和位置以及特別交點式的規律。

4. 通過玩轉數學變式題，鞏固求解析式，強化二次函數解析式的性質應用。數形結合，求到解析式，能化簡成頂點式，求得頂點坐標進而為求三角形的面積做鋪墊。利用幾何畫板演示動點的變化，體會面積的變化，為繼續學習沿垂法做鋪墊。

5. 探究“融·樂”課堂教學模式。

（1）理論層面：本課例創新點是可操作性，不再是理論上的“紙上談兵”，而是實踐性的，我們這個課例正是解決了廣大教師最頭疼的問題，大家都了解理論，就是不知道如何操作，我們就是著力于問題創設的具體做法和有效的提問設計。

（2）實踐層面：本課例的特色是從學生的實際需求出發，體現“生本”思想，讓學生之間、師生之間通過自主研究、民主探索、平等合作、發現問題、解決問題，相互啟發、共同提高實踐創新能力、增加學習質量和個體素質，形成一種生動活潑、潛力無窮、人人參與、主動積極學習的活動形式。本校“四整合”教學模式與“研學案”教學相結合，有利于實現“雙減”目標。