小學數學推理活動設計的要素與模塊組合路徑

摘 要 推理意識或推理能力是義務教育階段學生數學思維的主要表現之一。猜想、說理、例證既是推理意識表現水平的重要元素，又是推理學習過程的核心活動。其核心活動設計要素與活動模塊組合路徑主要包括猜想專項活動的類型、要素與驅動，說理專項活動的目標進階、話語系統和表現維度，例證專項活動的材料、方式與活動組織，猜想、說理、例證活動模塊組合路徑與范式，基于教學差異的一課多式推理學習路徑五大策略。

關 ?鍵 ?詞 《義務教育數學課程標準（2022年版）》 推理意識 猜想 說理 例證

引用格式 宋煜陽.小學數學推理活動設計的要素與模塊組合路徑[J].教學與管理，2023（02）：37-41.

推理意識或推理能力是義務教育階段數學思維的主要表現之一。推理意識可以視為推理能力的初級階段，推理意識的發展能促進學生初步形成數學的思考方式，為推理能力發展奠定經驗基礎。《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的推理意識主要表現為三類活動：一是猜想，即“知道可以從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論”“能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發現一些初步的結論”；二是例證，即“能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發現一些初步的結論”[1]；三是說理，即“對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋”。猜想、說理、例證，既是推理意識表現水平的重要元素，又是推理學習過程的核心活動。猜想是合情推理的關鍵與核心，是合情推理的具體方法和必要環節。猜想的提出是對推理思維過程的概括和推理思維內容的提煉，能獲得數學發現的機會，能鍛煉數學思維。“猜想-驗證”是合情推理的基本路徑，驗證是指以數學事實為依據，運用數學語言有根據、有邏輯地解釋結論和確認結論的過程，是對說理和例證的綜合運用。其中，數學事實依據就是例證，有根有據、邏輯表達與解釋就是說理活動。

小學數學推理意識的發展，需要加強猜想、說理、例證的實踐研究，劃分活動類型、流程、組織形式和適用范圍，結合課例進行活動設計與模塊組合，形成專項活動、綜合活動設計范式，提煉出具有操作化的設計策略[2]。

一、猜想專項活動的類型、要素與驅動策略

1.猜想活動的類型與要素

根據合情推理的分類，猜想活動類型劃分為歸納猜想、類比猜想和直覺猜想三類；根據猜想的內容指向，猜想又可以分為指向探究結論的猜想、指向探究方法的猜想和指向探究過程的猜想三類。如圖1，猜想活動主要有兩條路線。

路線一，情境觀察—對比歸納—形成猜想；路線二，直覺猜想—情境觀察—二次猜想。其中，情境觀察是兩條活動路線的必要活動，情境觀察包括生活情境觀察、數學情境觀察、實驗情境觀察三類。學生在情境刺激下，展開對比歸納，對比歸納包括歸納和類比兩項活動。情境和問題是猜想活動設計的兩個關鍵要素，情境是猜想的開始，通過情境刺激，支持猜想；問題對猜想的方向起到關鍵性導引作用，形成猜想。為此，猜想活動設計主要指向情境設計和問題設計，形成相應的情境驅動策略和問題驅動策略。

2.情境驅動策略

情境驅動策略指通過情境驅動，幫助學生提出猜想，是對推理思維過程的概括和對推理思維內容的提煉，能獲得數學發現的機會，鍛煉數學思維。情境驅動包括生活情境驅動、數學情境驅動和實驗情境驅動，分別以生活經驗、知識關聯和實驗操作支持猜想。

生活情境驅動，根據教材內容特點和學生年齡特征，從學生的生活經驗出發，設計生動有趣、直觀形象的生活情境，激活學生已有生活經驗，產生數學猜想[3]。如“租船問題”的猜想活動，學生在租船生活情境中激活“省錢”經驗，對最優方案作出猜想。

數學情境驅動，利用教材中的規律、定律、性質創設數學情境，通過對比觀察、舉例擴充和尋找聯系，利用知識間的關聯支持猜想。如“99或999乘以一個個位數積的規律”猜想活動，先提供第一組算式組織學生探索規律，并應用規律寫出后面兩題答案“99×1=99 ?99×2=198 99×3=297 99×4=396……99×7= ?99×8=”；接著提供第二組算式“999×1= 999×2= ?999×3= 999×4=”，要求學生根據第一組算式的規律，猜想第二組算式的答案并驗證。

實驗情境驅動，通過實驗操作演示，直觀形象地呈現知識探究過程與探究結果，促使學生作出合理的猜想。如圓錐體積公式推導可以采用實驗情境驅動猜想：（1）回憶聯想：圓柱體積公式是怎樣推導的？轉化前后的圓柱體與長方體有什么關系？出示長方體、正方體、圓柱體，討論：研究圓錐的體積，你會選擇哪個圖形進行研究？（2）實驗猜想（一）：利用圓錐把水倒進圓柱的“倒水法”實驗，猜想圓錐與圓柱的體積關系；（3）實驗猜想（二）：利用圓柱、圓錐浸沒于長方體水槽的“排水法”實驗，猜想圓錐與圓柱的體積關系。

3.問題驅動策略

問題驅動策略重在通過問題驅動，幫助學生厘清結論產生的背景與成因，引發學生思考探究，形成猜想。問題驅動主要包括指向結論的問題驅動、指向過程的問題驅動和指向方法的問題驅動。

指向結論的問題驅動是指在問題設計時，要側重指向知識結果，使結論明確化，以終為始，讓學生進行有目的猜想。在學習“比例的基本性質”時，先回憶比的基本性質，再呈現四個比例：2：1=3：1.5，0.2：2.5=8：100，40：4=10：1，：=100：60，組織學生觀察計算并討論：比例的內項和外項有什么關系？在這個指向結論的問題的驅動下，學生形成猜想：在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。

指向過程的問題驅動是指向結果獲得的具體方法與過程，要根據教學內容設計過程性思考的問題串，逐步幫助學生形成猜想。在探究“兩位數乘11”的規律時，可以觀察算式、計算答案，通過問題串引導學生觀察思考并提出猜想。出示算式：31×11，41×11，62×11，53×11，猜一猜兩位數乘11的積可能存在什么規律？為什么有這樣的規律？從而形成“兩位數乘11”的完整猜想。

指向方法的問題驅動是指利用前后知識之間的聯系進行遷移，用問題引導、遷移應用形成猜想。如在研究一個數的倍數特征時，先找10的倍數規律，組織學生觀察、討論，形成猜想：10的倍數的個位都是0，并舉例驗證，確認結論；接著遷移方法 ，尋找5的倍數特征，學生得出結論：5的倍數的個位都是0或5；最后組織學生回顧梳理“剛才對10和5的倍數特征是怎么猜想的？組織學生對2、3、4、6的倍數特征進行猜想。這個過程就是對10和5倍數特征猜想方法的遷移應用。

二、說理專項活動的目標進階、話語系統和表現維度

1.建立說理專項活動的目標進階

小學數學說理專項活動，需要根據學段特點，建立“會說—善說—能辯”的活動目標進階。即，第一學段，要求“說完整”“說準確”；第二學段，要求“說簡單、清晰”“有條理表達”；第三學段，要求“有根據地解釋和說明自己觀點”“質疑和反駁他人的想法”[4]。

2.健全說理專項活動的話語系統

健全常用話語系統是說理專項活動重要內容。說理常用話語系統一般由邏輯語言詞匯、推理常用句式、符號語言和圖文直觀四部分構成。邏輯語言詞匯，如序列關系連接詞“第一，第二，第三”，比較關系連接詞“也”，遞進關系連接詞“或者”“同時”等；推理常用句式，如三段論的“因為…，又因為…，所以…”；符號語言，如“38＜40，40×5=200，38×5＜200”；圖文直觀說理包括幾何直觀、直覺判斷說理、圖文轉換等。如在“比”的環節重點把推理比較的過程說清楚，需要類似“因為92>90，又因為90×8=720，所以92×8>700”的話語系統予以支持。

3.刻畫說理專項活動的表現維度

“說理”“寫理”“辯理”是說理專項活動的三個表現維度，需要全面刻畫。說理活動要重視“正向說理與反向否定”路徑的選擇。正向說理適用于正確的命題，通過規范的句式如“因為……又因為……所以……”“首先……其次……再次……最后……”等，進行完整有邏輯的表述，逐漸形成良好的說理技能。反向否定適用于判斷式的命題，通過一個反例把命題陳述的意思推翻。針對“2是質數”這個知識點可以設計很多命題，如“所有的質數都是奇數，所有的合數都是偶數”“兩個不同質數的和一定是偶數”等，這類題就可以用舉例、反向說理去否定命題不成立。

寫理活動是指把推理的思考過程完整地、用文字說明的形式記錄下來，通常用“因為……又因為……所以……”的三段論話語系統進行表述。辯理活動要把握辯理的節點，在知識混淆處、方法優化處發揮辯論的優勢。當學生對知識理解、選擇問題解決方法產生分歧時，可以圍繞知識混淆處、方法優化處等節點組織學生辯理，通過辯理實現對知識的深度理解，發展高階思維。辯概念時，需要抓住概念本質進行辯理，使學生清晰理解、準確運用；辯方法時，重點展示各自方法的優點，進行思想的碰撞，使其中一方能信服對方的觀點。

三、例證專項活動的材料、方式與活動組織

例證過程中可以通過各版本教材例題、習題的比較，豐富物證材料的類型和數量，給學生提供多元的例證材料。如“乘法分配律”一課，人教版、浙教版、北師大版在例證材料的類型選擇上各有千秋，可以通過橫向比較、合理選擇，開展推理例證活動。從例證數量上看，浙教版通過四個實例得出四個等式，接著引導學生模仿舉例，再進行符號概括，體現不完全歸納推理的過程。從例證類型的豐富性看，人教版安排了筆算乘法中隱含的乘法分配律；北師大版注重幾何直觀，例題、做一做和配套練習都有在圖形中發現乘法分配律的例子，還穿插了用幾個幾的乘法意義來解釋算式，體現出例證材料的豐富性。

根據例證內容特點，可以選擇多元的例證方式。例證方式主要包括列舉多個正例進行不完全歸納推理、列舉一個反例否定結論、根據一個例子進行科學論證等。歸納推理活動，要經歷“猜想—驗證—得出結論”的過程，猜想后可以先個別舉例，當明確舉例類型與方法后，全班每人舉兩三個例子再匯總，從而得出不完全歸納推理的結論，接著再經歷尋找反例的過程，培養科學的例證態度。在不完全歸納推理得出結論后，用科學論證法對本源進行闡釋，實現歸納推理和演繹推理的完美結合。如“2、3、5的倍數特征”在用不完全歸納推理得出結論后，組織本源闡釋的例證活動：因為2、5都是10的因數，除個位上的數外，剩余數就是整十數，它們一定是2或5的倍數，因此要看個位進行判斷；3的倍數特征，可以結合小棒圖來說明各個數位上的數字就是3倍數取完后剩下的小棒數。

例證專項活動的組織形式，要充分融入學生說題、探究作業、數學小論文撰寫等多元化活動，豐富推理探究的類型。說題的活動組織，可以采用日常訓練與比賽展示相結合的方法；探究作業的組織，以獨立作業與展評活動相結合；數學小論文，以獨立撰寫與參評、發表等方式相結合的方式。通過多種類型的組織方式，使學生多樣的推理活動在扎實訓練的基礎上得到展示、推廣。說題內容分作業說題和專項說題兩類。作業說題，針對課堂作業和家庭作業中的重難點，采用課內說題與視頻拍攝的形式進行日常訓練，展開說題成果互動評價，幫助學生積累說題經驗，逐漸形成說題步驟與模型。專項說題，有針對性地選擇特定類型的題讓學生展開說題活動，如概念理解類、算法說明類、度量主題類等。說題的組織形式要多樣，可以采用“日常訓練—校級評優—區級展示”的進階方式，讓學生在日常訓練中積累經驗，以評優、展示等方式激發學生說題興趣、樹立說題榜樣、形成說題模式。數學小論文撰寫需要經歷“尋找題材—推理設計—撰寫成文”的階段，每個階段緊扣推理元素展開思考與實踐。學生完成獨立撰寫后，進行生生、師生之間的交流改進，優秀作品參加數學小論文評比或投稿到公開雜志上發表，充分調動學生的積極性。

不同角度多元化的例證，學生感受著不同維度的例證材料、不同角度的例證方式、不同體驗的例證活動，將幫助學生積累更豐富的例證經驗，推動推理意識的發展。

四、猜想、說理、例證活動模塊組合路徑與范式

推理綜合活動設計可以根據推理類型的不同，對猜想、說理、例證活動模塊進行組合，開發不同的學習路徑，提供綜合活動范式。

1.歸納推理綜合活動模塊組合

歸納推理綜合活動主要包括猜想、例證、結論三個模塊。其中，例證是中心環節，由正例例證和反例例證構成。如圖2所示，先采用正例驗證，注重例子的廣度與深度；再嘗試例舉反例，進而得出結論。

如“加法交換律”一課，歸納推理綜合活動流程如圖3。環節一，引發猜想。先根據已有材料引發猜想：交換兩個加數的位置，和不變。環節二，例證說明。嘗試舉正例說明，呈現整數加法、小數加法和分數加法，體現廣度與深度，再嘗試舉出反例即交換加數的位置后和不相等的情況，無法舉出反例。環節三，確認結論。歸納得出結論a+b=b+a，揭示加法交換律。

2.類比推理綜合活動模塊組合

類比推理綜合活動主要包括猜想、說理、結論三個模塊。其中，說理是中心環節，主要通過類比說明方式進行。如圖4所示，根據A是1這一結論推理，找到A的同類B，找到1的同類2，進而類推出B是2這一結論；同樣進一步找出B的同類C和2的同類3，類推出C是3的結論，再根據類推結果形成結論。

如“多邊形內角和”一課，類比推理綜合活動流程如圖5。環節一，引發猜想。根據已有材料，引發多邊形內角和猜想。環節二，說理歸納。分別依據三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，結合圖形分割類比歸納規律。環節三，確認結論。

3.演繹推理綜合活動模塊組合

演繹推理綜合活動主要包括猜想、說理、結論三個模塊。其中，說理是中心環節，主要依據已知信息、已有數學事實（性質、定理、意義等）得出新的結論。在說理過程中，若一次推理無法得到最終結論，則繼續根據性質、定理和意義進行第二次推理，直至形成最終的結論。如“分數的基本性質”一課，演繹推理綜合活動流程如圖6。環節一，提出猜想。先根據已有信息提出猜想。環節二，說理例證。先通過分數與除法的關系，將轉化為240÷360；再通過商不變性質將240÷360轉化為2÷3；最后通過分數與除法的關系將2÷3轉化為，由此得出和。環節三，確認結論。概括得出分數的基本性質。

五、基于教學差異的一課多式推理學習路徑

基于推理類型、內容結構、認知水平的教學差異，圍繞同一節課或同一個推理活動，從不同角度對猜想、說理、例證活動模塊進行多種方式組合，以“一課多式”探索推理能力培養的不同路徑，促進合情推理和演繹推理的融合共進。

1.基于推理類型差異的一課多式

相同的教學內容根據推理類型的不同可以設計不同的學習路徑。合情推理可以采用“操作觀察—形成猜想—例證說理—確認結論”的學習路徑。如“分數的基本性質”一課，合情推理的學習路徑為：（1）畫一畫。出示，，等分數，在正方形中用陰影部分表示出分數的含義。（2）比一比。根據陰影部分大小，說說這三個分數有什么聯系。（3）寫一寫。還能寫出更多一樣大的分數嗎？（4）說一說。怎樣的分數是一樣大的？演繹推理可以采用“銜接聯想—形成猜想—例證說理—確認結論”的學習路徑。同樣是“分數的基本性質”，演繹推理的學習路徑為：（1）問題激活。有跟大小相等的分數嗎？寫一寫。（2）大膽猜想。猜想一下，只要怎樣分數的大小就不變。（3）例證說理。這些分數單位不同，怎樣證明它們大小相等？（4）確認結論。說一說剛才研究的規律。雖然通過合情推理和演繹推理可以得出相同結論，但學生所感知的推理過程、推理方法和思維方式是不同的。

2.基于內容結構差異的一課多式

根據不同知識內容的結構差異、同一內容不同教學處理的結構差異，可以構造出單一式、迭代式與外延式等一課多式。單一式結構適合知識內容相互關聯較少的內容，推理活動框架結構為“猜想—驗證”，如“整十、整百數乘一位數口算”就屬于該推理活動框架。迭代式結構適合較難的知識內容，進行分層推進，推理活動框架結構為“猜想—驗證—猜想—驗證……” 迭代式的推理結構適用于相對復雜的教學內容，包括兩類：一類是不同猜想形式的迭代，如“三角形內角和”的推理框架，為后續的“多邊形內角和”埋下推理的種子。另一類是多元猜想形式的迭代，學生無法一次性獲得最終的數學猜想，如“比的基本性質”，可以通過對比等值的分數、比、除法，先猜想它們有什么相同和不同，通過轉換來論證；再猜想比的基本性質，進而根據相互關系來證明，不斷迭代。外延式推理活動框架結構為“猜想—驗證—外延猜想”，是典型的類比推理，適用于從一個結論走向同類型的另一個結論的推導，是引發知識關聯和學生自主學習的重要形式。如“交換律”“9的倍數的特征”……都可以采用這樣的結構來開展學習。

3.基于認知水平差異的一課多式

學生原有認知水平差異會對推理活動產生重要影響。根據學生對推理結論的認知程度差異，形成發現式、驗證式等一課多式的學習路徑。發現式，適用于多數學生對研究結論未知，路徑為“實驗—猜想—說理—結論”，側重規律的發現。驗證式適用于多數學生已經知道結論，路徑為“猜想—實驗—說理—結論”，側重規律的驗證。如“長方體的體積”一課，可以根據學生對長方體體積公式的了解程度，選擇合適的學習路徑。其中，發現式學習路徑通過實驗操作，對擺放的立方體單位個數、長方體長寬高數據之間的規律進行觀察，用不完全歸納推理得出體積公式；驗證式學習路徑通過實驗操作，對已知體積公式作出驗證，盡管學習路徑不同但都可以促進學生推理意識的發展。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022 年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：9-13.

[2] 宋煜陽.“猜想”“說理”“例證”活動設計：意義、內涵與維度[J].江西教育，2020（35）：16-20.

[3] 張丹.推理能力的內涵及教學建議[J].小學教學：數學版，2018（05）：9-12.

[4] 曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海教育出版社，2017：123-147.

［責任編輯：陳國慶］