踐行“雙減”政策,優化初中數學例題教學

張尚琦

[摘? 要] 最大化地發揮例題的教學功能，是踐行“雙減”政策的有力措施，也是將學生從“題海戰術”中解放的必要手段. 文章摘錄一位教師的例題教學過程，展開剖析，提出相應的優化策略，并從以下幾方面談一些思考：追根溯源，因勢利導;變式訓練，提高實效;尊重差異，分層教學.

[關鍵詞] “雙減”政策;例題教學;變式訓練

教育是立德樹人的事業，基礎教育關系到學生個人的發展. 隨著社會發展的實際需求，國家針對義務教育頒布了“雙減”政策，該政策的落地與有序推行，進一步明確了“如何培養人”的理念. 踐行“雙減”政策過程中，筆者產生了較多感悟與思考，本文以一次聽課過程中的一道例題教學為例，具體談談如何在“雙減”背景下，優化課堂例題教學設計，提高教學實效.

教學簡錄

問題：如圖1所示，在直角坐標系xOy中，雙曲線y=與直線y=mx相交于點A（-1，a），B，且BC與x軸垂直，點C為垂足，已知△COB的面積為1.

（1）m，n的值分別是多少？

（2）直線AC的解析式是什么？

1. 問題情境

本題作為一道綜合題，涉及一次函數與反比例函數的相關知識，這位教師首先帶領學生一起回顧了與之相關的內容，要求學生先完成以下三個問題：

（1）已知函數y=kx為正比例函數，且過點（1，-3），該函數還會經過的點為（? ? ?）

A. （-1，3）? ? ? ?B. （1，3）

C. （-3，1）? ? ? ? D. （3，-1）

（2）已知在反比例函數y=-中，如果在該函數圖象上任意取點A，并過點A分別作x，y軸的垂線，這兩根垂線與平面直角坐標系圍成一個矩形，該矩形的面積是多少？

（3）已知一次函數分別過點（3，5）與（-1，-1），寫出該函數的解析式.

2. 思維鏈接

問題1：原題條件中的關鍵點有哪些？

問題2：△COB的面積為1，根據這個條件，你們會聯想到反比例函數中的哪個結論？

問題3：觀察原題，思考求比例系數、函數解析式有哪些常用方法，本題缺乏哪些解題條件？

問題4：結合正、反比例函數的性質特點，觀察圖象會發現點A，B之間存在怎樣的關系？據此大家能聯想到其他解決問題的辦法嗎？

3. 變式訓練

變式1：如果反比例函數y=-與直線AC相交于點E，則△EOA和△EBA的面積分別是多少？該反比例函數的圖象上，有沒有一點P使得四邊形PBCA為平行四邊形？如果有，請寫出點P的坐標;若無，請說明理由.

變式2：將直線AB圍繞點O旋轉，使得點A依然落于反比例函數y=-的圖象上，經旋轉后的反比例函數與直線分別相交于點A′，B′，此時所形成的四邊形AA′BB′是什么形狀？求直線A′B′的解析式.

變式3：若取一把銳角為30°的直角三角尺置于圖象中，讓直角頂點與變式2中的點A′或點B′重合，此時三角板的兩條直角邊分別與x軸、y軸相交，交點分別為M（x′，0），N（0，y′），此時的x′，y′具備怎樣的函數關系？

4. 總結提煉

（1）知識層面：正比例函數圖象具備怎樣的性質？待定系數法的應用;反比例函數圖象具備怎樣的性質？k具備怎樣的幾何意義？

（2）數學思想方法層面：轉化歸納思想、數形結合思想、分類討論思想等.

（3）解題思維的注意點在于：要充分關注基礎圖形知識的積累，為熟練、靈活應用奠定基礎.

教學剖析

1. 問題情境針對性弱

問題情境的創設是為了解決原題所服務，需具備明顯的針對性. 這位教師設計了三道題目，意在帶領學生復習、鞏固一次函數與反比例函數的圖象特征與性質特點，并提取學生認知系統內待定系數法在函數中如何應用的信息，為解決原題做好分解工作. 但是，課堂時間有限，學生在對這三道題目的探索中，不會有太多的思考空間，因此，此設計上存在“走過場”的嫌疑，復習效果一般.

其實，本節課在問題情境的創設時，可從原題出發，借助原題的題干進行改編，或直接呈現原題的題干. 這樣能讓學生從情感上更加熟悉、接納問題，為拓展思維奠定基礎.

2. 思維鏈接節點不夠精準

解題思維鏈接的目的在于幫助學生搭建思維的臺階，讓學生的思維跟隨問題拾級而上，呈螺旋式上升[1]. 思維鏈接基本以由淺入深的問題形式呈現，學生從問題中感知解題思路. 因此，教師在問題設計時應考慮到知識的本質與學生的實際認知水平，找到知識的生長點，只有這樣，才能在合適的節點上提出問題.

教師還需掌握好思維鏈接的問題的“度”，每一個問題都應具備啟發思維與引導思考的作用，讓學生在問題的探索中，獲得啟發. 鑒于此，教師可從理解題意、分析題意與解決策略的思維鏈接入手，尋找知識的生長點，進行問題的設計.

3. 變式設計偏離原題

變式訓練的目的在于訓練學生的解題思維，讓學生獲得解題技巧，形成舉一反三的解題能力. 這位教師所設計的變式，單從每個問題來分析，都遵循了知識難度由淺入深的原則，但結合本堂課的教學來說，卻遠遠地偏離了原題，無法有效訓練學生的數學思維.

如變式1中的條件“反比例函數y=-”并非原題的條件，而是來自教師的引導;同樣，待求的結論“△EOA，△EBA的面積以及點P的坐標”，都不是原題待求的結論，此變式的設計顯然與原題無關. 雖然該變式具有滲透分類討論思想的功效，涉及圖形面積割補法的應用，還補充了一些數學思想，卻存在偏離原題的弊端，從某種意義上來說，就是創造了一道新題，而非變式.

變式2、變式3亦然，雖然從單個問題來看，都是好問題，但與原題的條件、結論都沒有什么關系，學生很難從中探尋出知識之間的聯系，無法達到觸類旁通的目的.

本節課涉及一道例題教學，教學的目的在于通過對原題的研究、拓展，起到“以一當十”的教學效果. 因此，設計變式應在原題的基礎上進行，通過改變原題條件、結論，讓學生的思維從“原點”出發，發散到相關知識中去，最終再回歸到原題.

優化設計

基于以上分析，筆者結合學生實際情況與知識特點，將原設計進行了以下優化，以達到“減負增效”的教學成效.

1. 問題情境

例題教學相對枯燥，為了調動課堂氣氛，吸引學生的注意力，筆者在課堂導入環節，以搶答的方式提出了兩個問題.

（1）如圖2所示，在直角坐標系xOy中，雙曲線y=與直線y=mx相交于點A（-1，2），B，求點B的坐標.

（2）如圖3所示，雙曲線y=上存在點B，若BC與x軸為垂直的關系，點C為垂足，且△COB的面積為1，求n的值.

設計意圖? 學生想在最短的時間內準確地說出答案，就需要集中注意力，積極地調動所有的感官系統，從認知體系中提取可靠的信息. 這兩個問題緊扣一次函數與反比例函數的圖象特征與性質特點而提出，不僅起到復習、鞏固的作用，還成功地將學生的注意力集中到課堂上，為接下來的教學奠定了良好的知識與情感基礎.

2. 思維鏈接

問題1：細致審題，本題提供了哪些已知條件？

問題2：將以上兩個搶答題結合在一起分析，根據本題的已知條件，我們能聯想到與之相關的哪些知識？

問題3：原題需求什么結論？想要求出相應的結論，什么條件是必備的？這些必備條件在原題中是否提供？

問題4：大家準備如何解決此題？你們覺得解題的突破口在哪兒？

設計意圖? 此環節的本質是為學生的思維搭建“腳手架”，設計追問的形式，不僅能讓學生探尋到良好的解題思路，還能形成一環扣一環的思維鏈. 以上三個問題恰巧落于知識的生長點處，每一個問題都具有良好的引導與提示功能，起到引領與啟發的作用.

3. 變式訓練

變式1（變條件）：將原題中△COB的面積為1，改成△COA的面積為1，其他條件與結論均不變.

變式2（變結論）：原題題干不發生改變，問題改為①求出△ABC的面積;②求雙曲線y=與直線AC的另一個交點坐標.

變式3（條件和結論互換）：如圖1所示，在直角坐標系xOy中，雙曲線y=與直線y=-2x相交于點A（-1，a），B，且BC與x軸垂直，點C為垂足.

（1）△COB的面積是多少？

（2）直線AC的解析式是什么？

設計意圖? 由淺入深地變換問題的條件、結論，以及互換問題的條件與結論的變式設計，使得學生的認知與思維拾級而上. 學生通過對變式的自主探索，自然而然地獲得了對應的數學思想方法與舉一反三的解題能力.

4. 總結提煉

（1）解題過程中，你在什么地方遇到了障礙？

（2）解決原題，大家用到了哪些數學知識與思想方法？

（3）通過本節課的教學，你們覺得哪些方法對今后的解題有幫助？

設計意圖? 以上三個問題，不僅引導學生回顧整個解題過程，而且促進學生自我反省與自我評價. 尤其是第（3）問，學生總結本節課獲得的能力的同時也對后期解題展開了思考，這是一個承上啟下的總結，為建立學習信心奠定了基礎.

教學思考

1. 追根溯源，因勢利導

例題教學首先要明確教學重點與難點，對問題中所涉及的知識點與縱橫相關的知識點有一個明確的認識;其次要追溯學生的最近發展區，了解學生的知識儲備. 教師只有掌握了以上兩點，才能在教學過程中準確找到知識的生長點，為設計啟發性的問題提供依據.

追溯問題的本源是歸納解題策略、滲透數學思想方法的根本. 就題論題，治標不治本，學生難以從中獲得啟發，更談不上各種能力的培養. 因此，例題教學更應注重學生的思維過程. 課堂導入環節的熱身活動，教師不僅要做好相關知識的準備，還要設計有吸引力的問題，抓住學生的眼球，讓學生在令人深思、含而不露的問題中自然而然地形成解題策略.

當然，課堂教學是一個動態的過程，無論教師的預設多么完美，都有可能出現意料之外的狀況. 這就要求教師擁有過硬的專業素養與隨機應變的能力，因勢利導地做好引導與啟發工作，讓課堂在“以生為本”的基礎上，不偏離“航線”，一路向前.

2. 變式訓練，提高實效

“雙減”政策的落地，將“減負增效”的實際成效擺上了臺面. 例題教學要實現高效，變式訓練是最佳的方法. 變式能將與問題相關的知識羅列到一起，讓學生在類比分析中厘清知識脈絡，建構完整的認知體系. 不論是一題多變、多題一解還是一題多解等，均需遵循由淺入深、循序漸進的過程，學生的創造性思維，在對問題的分析與總結中得以生長.

變式訓練的本質是激活靜態的數學知識，讓學生從不同維度去審視同一個知識點，并找出與之相關聯的一些內容，最后串珠成鏈，建構體系[2]. 教學中，教師可以在學生解決一般性的問題后，設計一些變式題，起到乘勝追擊的作用，讓學生換個角度尋找新的突破口. 這不僅是學生思維上的自我突破，更是培養學生創新意識的有效途徑.

變式訓練使得學生突破原有的單一的思維模式，促使他們綜合評估并靈活應用相關知識，拓展解題思路，避免產生就題論題的弊端，為揭示數學本質做好鋪墊. 實踐證明，變式訓練不僅是“雙減”背景下的必然趨勢，還是促進學生個人成長有效方法，它對提煉數學思想方法，提升學生的認知水平具有無可替代的作用.

3. 尊重差異，分層教學

學生之間的差異性是客觀存在的現實，教師作為課堂的設計者與執行者，不僅要做好知識的傳授工作，還要放下教師的“權威”，成為每個學生的引導者與支持者，要結合學生實際，從真正意義上為學生的差異化發展做好服務工作. “雙減”背景下，針對學生差異性，教師可以從分層要求、分類指導、分層作業、個別點撥與多元評價等方面來實施[3].

結合學生實際情況，教師在例題教學過程中，可設計層次性的問題，讓學生有選擇性地進行思考，也可對部分學生實施個別輔導，確保每個層次認知水平的學生都能在教學中獲得不同程度的發展. 從宏觀角度來說，教師可協助學校開發一些具有研究性與拓展性的課程或社團活動，以滿足不同學生的需求，從多渠道滿足、支持學生的差異化發展.

總之，例題教學是照亮學生思維的燈塔，是貫徹落實“雙減”政策的關鍵. 教師教學時，切忌貪多貪快，只有將問題理清講透，才能讓學生從真正意義上擁有觸類旁通的解題能力. 當然，學生除了在課堂上吃透知識，還要做到應用時能反復揣摩例題中所涉及的數學知識與數學思想方法. 如此，可最大化地發揮例題的作用，這也是提高教學實效的主要措施.

參考文獻：

[1]涂榮豹. 數學解題學習中的元認知[J]. 數學教育學報，2002，11 （04）：6-11

[2]G·波利亞. 怎樣解題[M]. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[3]沈木勇. “雙減”背景下提升初中數學課堂教學效益的策略[J]. 中學數學，2022（02）：91-93.