一題一課,問題驅動的數學思維復習課

邱志剛

[摘? 要] 不少的初中數學復習課仍以知識重現、典例講解和技巧應用為主，忽視了對章節知識體系的構建以及對學生思維能力的培養. 文章以“二次函數”復習課為例，采取重構教學目標、精心設計問題的教學策略，通過問題的解決讓學生構建起知識框架，培養他們的數學思維能力.

[關鍵詞] 問題驅動;一題一課;數學思維;復習課

傳統的數學復習課以知識重現、典例講解和技巧應用為主，注重問題解決和解法歸類，依靠著簡單的知識回顧和反復的刷題來提高教學效率，對學生數學能力提升、核心素養培養及數學思維鍛煉沒有太大的幫助，這樣的課堂處于一種低階思維狀態.

新課程標準要求培養和提升學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，由此可見數學單元（章末）復習課的必要性、重要性和實效性.而數學單元（章末）復習課的教學，應培養學生從已有的“數學現實”出發，將數學知識“數學化”“再創造”“反思”等;讓學生在最近發展區發現問題、提出問題，激發學生學習興趣，逐步培養學生分析和解決問題的能力，讓學生在“問題驅動”下學會“數學復習”.

筆者在教授“二次函數”復習課中，嘗試設計了一系列問題，學生在問題驅動下，再認識概念、構建知識體系和解決不斷生長的問題，不僅僅提升了學習能力，重要的是學生始終處于高階思維狀態，對培養自身的核心素養有較大幫助.

基本情況分析

1. 內容及內容分析

本節課是北師大版數學九年級下冊第二章“二次函數”復習課，以二次函數的定義和性質、求解二次函數解析式和綜合運用為主. 在此之前，學生已系統學習了上述知識，初步掌握了一些二次函數的研究方法，積累了對應的活動經驗. 本節復習課的學習方法和探究過程，區別于傳統的復習課形式，為后續學生自主構建知識體系、梳理知識點、培養數學思維奠定基礎.

2. 學習目標

（1）通過微課中的幾何畫板演示，借助圖象的變換建立起“二次函數”的定義與性質的內在聯系，讓學生在觀察和思考中自主構建知識體系，培養學生歸納以及建模的能力.

（2）通過開放性題目探究，進一步理解和應用二次函數圖象變換下的問題生成，開拓學生一題多解的能力，培養學生創新能力和批判性思維能力.

（3）通過對圖形線段的增刪、變換衍生出不同的問題，讓學生感受問題的進階，培養學生的問題解決能力.

3. 教學重難點

重點：二次函數的定義與性質的應用.

難點：學會探索與分析二次函數圖象中線段的各種關系.

教學過程

1. 預習反饋，歸納總結

問題1：提前錄制微課，讓學生在幾何畫板演示下觀看如何建立二次函數圖象，通過圖象上下、左右平移以及180°旋轉，觀察二次函數解析式的系數與圖象之間的聯系，學生通過微課后的幾個追問進行思考、討論和回答，學會用思維導圖構建起二次函數的知識架構.

追問1：二次函數圖象是一個怎樣的圖形？形如怎樣的式子是二次函數的一般形式？

追問2：改變二次函數各項系數（先改變a，再改變c，最后改變b）對二次函數圖象有怎樣的影響？

追問3：你能說出二次函數各項系數對二次函數圖象的變化會起到哪些作用嗎？

追問4：通過合作討論，你能說出二次函數有哪些基本性質嗎？

追問5：通過合作討論，你能總結出二次函數系數與二次函數圖象特征的關系嗎？

設計說明：通過微課學習，讓學生觀察、思考二次函數系數與圖象之間的聯系，進一步深化和總結二次函數的性質，并利用思維導圖把知識串聯起來，避免復習課中因為知識點較多、較碎而重溫一遍，讓學生自主構建知識體系. （附學生的思維導圖，如圖1所示）

2. 構建模型，知識生長

問題2：如圖2所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖形與x軸相交于A，B兩點，下面的信息正確的有______.

①abc>0;②4ac-b2<0;③4a-2b+c>0;④a-b+c=0;⑤a+c>0;⑥8a+c<0.

設計說明? 通過多結論問題的設計，讓學生對已進行了定義和性質的歸納的知識體系有一個更清晰的認識. 同時，通過知識的應用能夠厘清知識之間的關系，進一步幫助學生理解性質，在結論設計中，從簡單到復雜，從特殊到一般，通過挖掘系數和圖形之間的關系促進學生深度思考，培養學生的高階思維能力.

問題3：如果拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖形經過點A（-1，0）和B（3，0），你能通過圖象得出哪些基本結論？

師生活動：問題3是一個開放性問題，通過這個問題打開學生的思維，進一步讓學生思考二次函數系數與圖象之間的聯系. 設計條件不完整的問題，可以為后續發展問題增添更多的可能，也可以在得出的眾多結論中抽出若干個結論作為問題生長的基礎. 當學生回答完問題后，給出兩個追問.

追問1：你能求出該拋物線的關系式嗎？如果不能你覺得還需要添加什么條件？

學生回答：可以給出a或b或c的值，也可以給出第三點的坐標，或者給出△ABC的面積……

追問2：選取其中一位同學給出的條件——圖象經過點C（0，3），請求出該拋物線的關系式，你有多少種求解方法？

設計說明? 問題3既需要學生會用知識，又需要感悟知識間的內在聯系. 感悟得越深，學生能提出的問題就越多，這樣的感悟有助于學生理解數學和開拓思維. 通過兩個追問引導學生在問題的研究上由淺入深、由特殊到一般. 同時，追問2讓學生清晰了解函數的解決方法具有多樣性，每一種方法就能涉及不同的知識. 教師鼓勵學生用不同的方法求解析式，這些方法的運用能讓學生進一步理解二次函數，培養其思辨能力.

問題4：在追問2的條件下，點D是拋物線上的一個動點，作DE⊥x軸，垂足為E，連結AC，BC，BC與DE相交于Q點.

追問1：當點D在x軸上方， 且S=S時，求點D的坐標.

追問2：設點D的橫坐標為m，則點Q的坐標為______. （用含m的代數式表示）

追問3：追問2中的線段DQ的長為______. （用含m的代數式表示）

設計說明? 問題4中設計了三個追問，三個追問讓學生的思維能力逐步提升;考慮到學生剛學完這一章，還沒有完全構建起知識間的體系，因此把動點設計在x軸上方，可以減少因符號而分類討論所帶來的麻煩. 三個追問聯系密切，環環相扣，為后面繼續提出新的問題埋下了伏筆，這樣的反復追問能讓學生的思維始終處于高階水平.

追問4：如圖4所示，當線段DQ的長最大時，求點D的坐標及DQ的最大值.

追問5：過點D作DH⊥BC于H，當DH的長最大時，求點D的坐標及DH的最大值.

師生活動：先讓學生獨立思考一段時間，再讓小組合作進行思維碰撞，交換小組間不同的想法，幾分鐘后展示討論的成果.

設計說明? 隨著問題不斷生長，學生的思維得到了充分鍛煉. 以上兩個追問重在解決線段的最值問題，這是學生比較畏懼的一種題型，但通過前面三個追問的引導，學生基本能將這類最值問題轉化為線段的和差問題. 問題的生長，呈現出了由易到難、由簡到繁的難度變化，由低階到高階的思維變化. 追問5涉及的解法較多，考慮到“思維不是自然發生的，但它一定是由‘難題和疑問或‘一些困惑、混淆或懷疑引發的”，因此教師沒有把解決問題作為最終目的，而是通過小組合作、思維碰撞，讓學生得出多種解法. 實踐課堂里，學生提出了相似法、等面積法以及根的判別式法（相切）等，盡管有些方法超出了學生所學的知識，但教師可以鼓勵學生應用這些方法. 隨著對問題的研究和解決，學生的能力得以較快發展和提升.

3. 問題拓展，遷移應用

變式1：如圖5所示，拋物線y= -x2+2x+3中，點D是拋物線上的一個動點，連結CD，BD，當S=S時，求點D的坐標.

變式2：如圖6所示，拋物線y= -x2+2x+3中，點E是拋物線上的頂點，在直線AC上，是否存在一點P，使得△BEP的周長最??？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

設計說明? 課堂結束不是知識學習的終結，設計的拓展問題不能脫離原有的思維，應達到鞏固學習的目的. 兩個變式分別對應著面積和周長問題，在原有的基礎上把求線段的最值深化為求周長的最值，這樣的問題深化和延伸，讓學生經歷知識從具體到抽象的轉變，屬于方法的再認識和再創造.

4. 總結提升，課堂評價

如圖7所示，在圖6的基礎上作直線BC關于x軸對稱的直線BC′，交拋物線于點B，D，交y軸于點C′，連結CD.

（1）求∠BDC的正切值;

（2）將拋物線向下平移幾個單位長度后，與x軸只有一個公共點？

設計說明? 在圖6的條件上繼續延伸題目，既是對前面思維的一個總結，又可看作是本節復習課的教學評價. 這樣的教學評價能讓教師及時了解學生對知識的掌握情況，可為下節課適當調整教學順序，同時教師能觀察學生的思維發展趨勢，為今后的教學設計提供改進的措施和方向.

1. 精心設計問題，構建知識體系

常見的復習課仍以重現知識、重現方法和強化訓練為主，這樣的復習更注重的是對題型的熟練，是一種典型的應試教育，對學生理解知識間的聯系以及培養數學思維的幫助不大. 本節復習課中，教師通過幾何畫板畫出圖形變化，讓學生感受二次函數系數和圖象的關系，引導學生用思維導圖的形式把這些關系串聯起來，有助于學生構建知識體系. 對經過思考后構建的知識體系，學生的理解是深刻的，比教師簡單羅列知識點所帶來的效果好很多，同時讓學生不再機械記憶二次函數過多的性質.

2. 母題精挑細選，拓展學生思維

復習課里無論是多題一解還是一題多解，多強調以知識的運用為主，沒有真正達到培養學生思維的目的. 本節復習課中，教師精挑細選母題，找到富有開發空間的母題，然后由母題設計出豐富的變式題、拓展題，生長出有針對性的問題，每個問題都引起了學生極大的興趣，他們發現問題原來是這樣生長出來的. 每個追問讓學生產生了獨特的想法，教師鼓勵學生說出和分享想法，不斷拓展學生的思維. 值得指出的是，與開放題相比，由開放題帶來開放式教學是更重要的教學取向. 課堂中教師應重視“對話教學”，即讓學生說、讓不同學生表達不同思維，并且讓學生的“思維”帶動師生進一步“思考”. 這樣的教學才會是一個意蘊生動、育才育人的課堂教學.

3. 大膽讓教于生，內化數學素養

在復習課的教學過程中，教師針對問題不斷提出新的追問，給予學生足夠的時間，讓學生通過獨立思考、小組合作、深入研討和積極展示去完成這些追問. 成果展示中，學生給出了很多教師沒有思考過的奇思妙想，這些想法體現了學生思維的變化，讓教師清晰了解了他們的思維發展，這樣的追問以及研討也讓學生的思維在整節課中始終處于高階狀態. 學生在課堂活動中的成果展示，其實是他們自身知識內化為思維能力的一種體現，教師應當善待這些充滿思考的成果，讓思維轉化為學生的數學素養和數學能力.