新高考背景下高中數學思維培養策略

盧燕霞

摘 ? 要：縱觀2020年以來的新高考數學試題，啟示教師課堂教學可從創設教學情境、深度概念教學、問題解決策略、問題解決后反思等方面著手，加強對學生的數學思維的培養，搭建平臺，促進學生在學習交流中，提升學生的數學核心素養.

關鍵字：教學情境；概念教學；數學思維；培養策略

縱觀2020年山東卷和2021年全國新高考卷，不難發現，與2020年前全國卷比較，整份試卷對學生的思維要求越來越高，這與新高考理念“在秉承素養導向、能力為重的原則下，突出考查數學基本思想與方法、重在考查學生的理性思維和探究能力”相吻合.為了更好地適應新高考要求，教師要認真思考如何在課堂教學中訓練學生的數學思維.鑒于此，筆者結合十幾年來的教學和教研經驗，談談在課堂教學中培養學生數學思維的一些策略.

1 ?創設教學情境，培養思維的積極性

《課程標準（2017年版2020年修訂）》在課程性質與基本理念中指出“高中數學教學應該創設恰當的教學情境，設計恰當的教學問題，引發思考，培養濃厚的學習興趣”.因此在教學活動中，教師應根據教學內容、教學目的設置恰當的情境及問題，讓學生掌握好知識的同時，數學學科核心素養也得到進一步的提升，學生思維的積極性也得到更好的培養.

例如，在學習“空間向量及其加減運算”時，教師可以提出一個問題： 2032年的某一天，某中學2022屆高三（19）班舉行10周年同學聚會，其中上午活動流程是這樣：8：30所有同學到學校南操場集中并在簽名墻上簽字，期間同學可作短暫的交流；9：00到七九體育場領取由世界知名設計師胡丹燕同學設計的紀念T恤（本T恤由星星體育器械有限公司董事長劉總贊助）；9：30所有同學到燕子巖山腳下集中，準備參加上午的第一個活動；到目前為止我們同學的實際位移是什么？爬上燕子巖山頂后，同學們的實際位移又是什么？問題一拋出，學生興致很高漲，馬上進行激烈的討論，帶著疑問教師引入課題.

設計一個同學聚會的情境，激發學生好奇心，調動學生學習本節內容的興趣，引導學生積極參與學習活動. 學生帶著好奇心獨立思考、自主探究，課堂氛圍活躍. 這樣設計課堂，有助于學生動腦思考、質疑問難，提出自己的見解，讓學生在學習知識的同時，思維也得到一定的啟發及培養. 整節課學生精神飽滿，師生積極互動，當然就能較好地完成本節的教學目標.

2 ?深度概念教學，培養思維的深刻性

新高考對學生數學思維的抽象程度、邏輯推理和思維水平提出了更高的要求.要求學生要善于全面地、深入地思考問題，能運用邏輯思維方法思考與問題有關的所有條件，抓住問題的本質，正確、簡潔的解決問題.這也是學生數學思維的深刻性的集中體現.

例如，湘教版新教材選擇性必修第一冊3.1“橢圓”的概念教學，可以這樣設計：

用紙板、圖釘、細繩（長度為2a cm）做一個實驗. 用兩枚圖釘將2a cm長的細繩固定在一個紙板上，且保證兩枚圖釘間的距離小于2a cm，用鉛筆拉緊細繩，讓筆尖在紙上運動一圈，觀察筆尖畫出的圖形，然后依次提出問題：

（1）如果把筆尖看作一個動點，那么動點的軌跡是一個什么圖形？

（2）在移動過程中，繩子的長度發生變化了嗎？動點應滿足什么條件？

（3）能不能給它下一個定義？

（4）如何用符號語言來描述橢圓的定義？

（5）定義中應注意哪些關鍵詞？

整個設計，通過數學探究活動，學生動手操作，以問題串形式，一步步引發學生思考、實踐，讓學生初步了解了橢圓的概念，接著引導學生自己給橢圓下定義，最后在教師的幫助下給出橢圓的準確定義.通過問題和思考引發沖突，學生經歷了橢圓概念的發生、發展過程，更好地掌握了橢圓的本質屬性.在課堂教學中，教師應精心設計各種問題，讓學生思維產生沖突，以更好地調動學生思考，激發思維火花. 在概念教學中多提幾個問題，不僅可以幫助學生更快更準確地掌握概念，而且可以引導學生認真分析問題、深度思考問題，更好地訓練思維的深刻性.

3 ?注重一題多解，培養思維的發散性

國家要強大，就一定要培養年輕一代的創新意識，培養學生創新意識的重要途徑是發展學生的發散性思維.而發散性思維可以通過“一題多解”來培養.在平時教學中，教師用一題多解的教學模式，從不同視角思考、不同方法解答，學生不滿足僅得出題目答案，而是追求更快更好的解題方法，這有助于拓寬學生的解題思路，培養學生的發散性思維.

例1 （2021年全國甲卷·文16）已知F1，F2為橢圓C：+=1的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且PQ=F1F2，則四邊形PF1QF2的面積為________.

分析：本題主要考查橢圓的幾何性質和幾何圖形面積計算等知識.求四邊形面積時，可把四邊形面積分解為多個三角形面積來計算，三角形面積的求解可利用坐標系這個解題利器，這里既考查了橢圓的對稱性，又凸顯了利用坐標系計算圖形面積的簡潔性.

解法1：由已知條件得PO=QO，利用點在橢圓上求出點P的坐標，再由對稱性求出四邊形面積.

由橢圓C：+=1可知F1F2=4.由P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩個點，且PQ=F1F2，得PO=QO=2（O為坐標原點），所以P，Q既在橢圓+=1上，又在圓x2+y2=12上.不妨設點P在第一象限，則由

+

=1

x2+y2=12，可得P=（，），所以由對稱性可得四邊形PF1QF2的面積S=2S=2×·F1F2·yp=2××4×=8.

解法2：利用橢圓定義及對稱性得出四邊形是矩形，再用勾股定理求出.

由橢圓方程知a=4，b=2，則c=2.由橢圓定義知 PF1 +PF2=8 ①.由橢圓的對稱性及知四邊形PF1QF2是矩形，在RtΔPF1QF2中，由勾股定理得PF1 +PF2=F1F2，即 PF1 +PF2=48 ②.由①②得PF1·PF2=8，所以四邊形PF1QF2的面積S=PF1·PF2=8.

解法3：這是一道填空題，利用二級結論“平行四邊形的兩條對角線的平方和等于四邊的平方和”解題.

由平行四邊形的性質知F1F2+PQ=2（PF1 +PF2），代入PQ=F1F2易得F1F2=4，所以PF1 +PF2=48.由橢圓定義，可得PF1·PF2=8.由橢圓的對稱性及PQ=F1F2知四邊形PF1QF2是矩形，所以四邊形PF1QF2的面積S=PF1·PF2=8.

解法4：利用二級結論“焦點三角形的面積公式”可快速求解.

由橢圓的對稱性及PQ=F1F2知四邊形PF1QF2是矩形，且∠F1PF2=.結合b2=4及橢圓焦點三角形面積公式得四邊形PF1QF2的面積S=2S=2b2tan=8.

“一題多解”的教學模式，不僅活躍了課堂氛圍，鞏固了學生的數學知識，還拓寬了學生的解題思路.學生在解題過程中不僅可以避免思維定勢，還可從更多方面思考問題，從而更充分地培養學生的發散性思維.

4 ?注重解后反思，培養思維的嚴密性

很多學生反映，上課聽得懂，課后也解了不少題，但在考試時卻不會做，數學成績遲遲得不到提高.究其原因，主要是由于這些學生解題時只注重速度，解完一題就過了，沒有進行恰當的解后反思與悟其解題之秘，因此在日常教學中教師應該多培養學生的反思意識.通過對數學知識、蘊含思想、解題思路、解題方法的反思，更好地理解知識內涵、外延以及解題策略，提高解題效率，更好地培養思維的嚴密性.

例2 ?已知函數f（x）=在區間（-3，+∞）上單調遞減，求實數m的取值范圍.

錯解：f'（x）=，依題意得f'（x）<0對任意的x∈（-3，+∞）恒成立，則3m-1<0，即m<，所以實數m的取值范圍是（-∞，）.

正解：f'（x）=，依題意得f'（x）≤0對任意的x∈（-3，+∞）恒成立，則3m-1≤0，即m≤，當m=時，f'（x）==是常數函數，不合題意（舍去），

所以m<，所以實數m的取值范圍是（-∞，）.

反思：本題出錯原因是學生無法對“函數單調性”進行等價轉換. 若函數y=f（x）在某區間上單調遞增（或遞減），則f'（x）≥0（f'（x）≤0）對區間的任意一個自變量成立，且f'（x）在它的所有子區間內都不恒等于零. 錯解中學生在轉化時出現錯誤，并且漏了檢驗當m=時函數f（x）是否為常數函數.

在課堂教學中，教師反復強調知識點、注意點還不如把問題真正落實到位，如面批面改，如在課堂上展示學生出現的一些錯誤等，讓學生去發現問題、解決問題，并進行有效的解題反思：考查的知識點是什么、解題過程是否有理有據、相關條件是否考慮周全、解題答案是否正確合理等.顯然，在整個反思過程中，學生的思維經歷了從疏忽到嚴密的一個創新過程，學生的數學素養才能得到真正的提升.

5 ?注重變式拓展，培養思維的創新性

例題講解時，進行恰當的變式拓展可以培養學生思維的創新性.通過設計變式教學，合理地改變問題情景或設計不同的思考方式，引導學生多思、多變，培養學生敢于質疑、善于思考的數學學習品質，從而培養思維的創新性.

例3 已知F1，F2，分別是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使得·=0，則該橢圓的離心率的取值范圍是__________.

思考1：將條件中的特殊關系（垂直）改為一般關系（如成120°角）.

變式1：已知F1，F2分別是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使得∠F1PF2=120°，則該橢圓的離心率的最小值是__________.

思考2：將條件中存在性問題改為滿足條件的點總在橢圓內，情況又如何？

變式2：已知F1，F2分別是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，若滿足·=0的點P總在橢圓內，則該橢圓的離心率的取值范圍是__________.

思考3：若記∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，則橢圓的離心率是否與α，β有關系？

變式3：已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若·=0，∠PF2F1=60°，則橢圓C的離心率是_________.

變式4：已知F1，F2，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若記∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，則橢圓的離心率e為____________.（用α，β表示）

習題講評是數學課的半壁江山，變式教學是數學習題講評的一種有效方式.課堂教學中，教師應根據教學內容與目標精心設計題組，以學生為本，以教材為源，并對其進行恰當的變式訓練，不但可以使學生的知識得到充分的鞏固與運用，而且可以提高學生的應變能力，培養學生的數學素養，激發學生的創新思維.

總之，在培養學生數學思維的過程中，教師可以根據教學需要和學生實際，創設恰當的教學情景，進行深度的概念教學，注重培養學生一題多解、變式拓展，注重解后反思.通過各種手段，實現學生自主探究、激發求知欲、開闊知識視野，培養敢于質疑、善于思考的數學學習品質，從而培養學生的數學思維，使學生更適應新高考要求，更適應當代社會的要求.當然，

對學生數學思維的培養不是一蹴而就的，它需要一個長期堅持的過程.