基于思維發展的單元復習課的實踐與思考

胡連成 朱浩然

摘 要 單元復習課根據教學功能定位不同可分為基于知識關聯建構的基礎復習課和重視技能思維發展的專題復習課。其教學設計應以情境探索為載體，問題思考為主線；以知識關聯、方法建構為顯性目的，以思維能力發展為隱性目的；重視整體有序設計，在情境問題中主動思考，實現知識、技能、思維的整體發展，并由具體的數學方法和策略的學習轉向一般性思維策略的學習，實現“雙減”背景下教學的提質增效。

關鍵詞 情境問題 思維發展 單元復習 銳角三角函數

單元復習課在初中數學教學中有著重要的地位，起著促進知識、方法的整合與建構、思維能力的形成與提升作用。一節復習課的成功與否，關鍵在于學生的思維參與程度，知識是個體思維能動的產物，數學課堂是思維活動的舞臺，數學單元復習課如何讓學生的思維動起來、活起來，需要情境問題的誘發和引領。教師基于學生的認知結構和認知心理，設計指向學習最近發展區的問題情境，形成認知沖突，引發學生的主動思考，形成核心問題，通過遞進、變式、類比、引申、逆變等方式，形成由淺入深、由點到面、由靜態到動態的問題鏈，在問題的思考中使得學生的知識得以建構、方法得以梳理、思維得以發展，在系列的問題解決中不斷地歸納、總結、反思，在經歷“數學地思維”的過程實現“通過數學學會思維”的目的[1]。

單元復習課教學的指導思想是以問題思考為活動主線，以知識、方法建構為顯性目的，以思維能力發展為隱性目的，注重整體有序設計，在問題思考中實現知識、技能、思維的整體發展。基于上述思考視角和指導思想，單元復習課的教學應遵循以下原則：

（1）情境化原則，重視情境“謀勢”，產生認知沖突，關注問題生成；

（2）問題化原則，知識梳理問題化，方法建構問題化，思維發展問題化；

（3）基礎性原則，基于學情，面向基礎，重視靈活運用和通性通法的掌握；

（4）關聯性原則，注重查缺補漏，關注知識內部關聯和方法整合，實現意義建構；

（5）思想性原則，以道統術，由術明道，在問題解決中實現數學思想方法的統領與運用；

（6）發展性原則，重視學習過程、方法的審視與反思，關注由具體的數學方法和策略的學習轉向一般性思維策略的發展。

根據教學的功能定位不同，單元復習課可分為以知識、方法的梳理和關聯建構為核心的基礎復習課和以技能、思維發展為核心的專題復習課[2]。前者注重回顧教材，強調基本知識梳理和基本方法歸納，借助問題的思考，串珠成鏈，知識關聯，實現基于自我理解的知識、方法“從散到序、從厚到薄”的整體建構。后者注重問題解決，重視在解題技能訓練基礎上發展數學思維，形成問題解決的一般策略和思維方式，從現象到本質、求真尚簡，由聯系到深刻、追尋理性。本文以蘇科版義務教育教科書《數學》九年級下冊第七章《銳角三角函數》前后連貫的兩節復習課的教學實踐加以闡述。

一、基于知識關聯的基礎復習課

（一）教學定位

基于知識關聯建構的復習課注重對基本知識、方法的梳理，在問題解決中進行自主整理、查缺補漏、溫故知新，把零落在各課時的知識、方法串珠成鏈，形成基于自我理解的知識、方法體系的關聯結構。通過知識方法的歸類綜合，實現知識、方法結構化、系統化[3]。銳角三角函數與全等三角形、相似三角形、勾股定理及函數思想相關聯，體現的是基于相似形知識的直角三角形中邊角的變化對應關系。本課時是本章第一節復習課，通過問題化思考，在對知識梳理過程中，實現知識、方法融合與關聯建構。其教學基本定位如下：

1.通過情境問題的思考，重視用恰當、有序的數學語言描述、表達自己的觀點和方法。形成基于自我理解的知識、方法的關聯結構；

2.在問題的思考過程中形成計算“雙直角三角形”問題的一般策略方法，體會數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想方法，并能用之解決實際問題。

（二）教學過程

1.問題思考 知識關聯

問題1：如圖1，直角三角形的一邊被部分遮擋（無法直接度量，下同），如何求出被遮擋的三角形邊長？

問題2：如圖2，直角三角形的兩邊被部分遮擋，如何求出被遮擋的三角形邊長？

問題3：如圖3，直角三角形的三邊被部分遮擋，你能求出被遮擋的三角形邊長嗎？

問題4：如果三角形的一邊長為8，一個內角的度數為30°，你能否求出另外兩邊的長？

問題5：對于問題4，請添加一個適當的條件，畫出圖形并進行計算。

教學分析：本環節主要是借助對情境問題的發散式思考，引領學生主動地實現對知識的關聯建構。通過對前三個問題的思考，在不同的解法對比中，學生可以完成直角三角形的三邊關系、銳角關系和邊角關系的回顧梳理，明確解直角三角形的必備條件。在對問題4的思考中，學生往往受思維定勢的束縛，默認是直角三角形，得到錯誤答案，教師要及時追問，啟發學生發現問題，形成問題5。在對問題5的探索中，要注重展示學生的思考和解答過程，在發散式思考中實現分類討論、數形結合等思維能力提升。教學中要注重及時追問“你還有其它的計算方法嗎？”“你為什么選擇這種方法？”“你選擇這種方法的依據是什么？”。在不斷追問中，使學生的思維從模糊走向清晰、從孤立走向關聯、從聚斂走向發散，從而建立起基于相似三角形、全等三角形、勾股定理及函數思想內部關聯的知識結構（如圖4），實現知識結構可視化、知識脈絡清晰化和知識發展系統化。

2.問題探究 方法建構

問題6：如圖5，在[△ABC]中，[∠A=30°，∠B=45°，AB=8]，你能求出另外兩邊的長嗎？

問題7：如圖6，在[△ABC]中，[∠A=30°，∠B=135°，AB=8]，你能求出另外兩邊的長嗎？

問題8：如圖7，在一筆直的海岸線上有[A、B]兩個觀測站，[A]在[B]的正西方向，[AB=2 km]，從[A]測得船[C]在北偏東56°的方向，從[B]測得船[C]在北偏西20°的方向，求船[C]離海岸線的距離（精確到[0.1 km]，其中[sin56° ≈ 0.83]，[cos56° ≈ 0.56]，[tan56° ≈ 1.48]，[sin20° ≈ 0.34]，[cos20° ≈ 0.94]，[tan20° ≈ 0.36]）。

問題9：如圖8，小明在[A]處利用測角儀觀測信號塔頂點[C]的仰角為30°，然后他沿著正對信號塔方向前進[50 m]到達[B]處，此時觀測信號塔頂點[C]的仰角為45°。如果測角儀的高度忽略不計，那么信號塔[CD]的高度是多少？（結果保留根號）

教學分析：通過展示學生對問題5思考成果的梳理，從中抽取出“共邊雙直角三角形”基本模型，形成同側共邊和異側共邊兩個基本圖形。遵循從現實問題思考到數學問題討論，再到現實問題解決的思維發展路徑，從問題6到問題8、問題7到問題9形成問題鏈的引領與驅動。在具體問題解決中，通過添加輔助線實現化斜（斜三角形）為直（直角三角形）的轉化，并利用方程實現“化未知為已知”的解決問題過程，發展學生的數學抽象、化歸、建模等數學素養。在問題解決中，既要關注基本知識運用和基本方法提煉，也要注重數學思想領悟和理性批判反思，在經歷知識生成過程中，實現數學思維能力的提升。

3.歸納反思 思維提升

問題10：通過本節課的學習，你對銳角三角函數有哪些新的認識？

問題11：銳角三角函數和相似三角形及全等三角形之間有怎樣的關聯？

問題12：銳角三角函數中的“函數”應如何理解？

教學分析：課堂小結的作用是讓學生主動回顧、總結和反思，進一步實現對知識的關聯建構，形成清晰、有序、發展的認知結構，同時實現對解決數學問題的基本方法提煉，形成通性、通法。通過三個系列問題，從整體回顧到兩個局部知識關聯的思考追問，引領學生再思考、再歸納、再發現。教學中要注重留給學生思考空間和展示舞臺，從現象探尋本質、由孤立思考關聯，使得數學的觀念意識和思維方式在不斷地思考中得以發展。

二、基于思維提升的專題復習課

（一）教學定位

數學教學既要注重知識的歸納與建構，也要注重解題方法、技能的融合與提升，還要注重在問題解決中對數學思想的理解與運用，更要注重在上述過程中發展學生的數學思維，以培養具有獨立思考意識和能力的個體。數學思維是人腦和數學對象交互作用并按照人類一般思維規律認識數學本質和規律的理性活動。在實際的數學教學活動中，數學思維一般表現為如下四個層次：（1）具體問題的解題方法；（2）一般的數學思維方法；（3）數學推理、抽象和建模等發展與創新的方法；（4）運用數學理論研究對象的內在聯系和運動規律的方法[4]。基于思維發展的數學單元復習課要在具體的問題解決中，在一題多解、一題多變、一圖多換、多解歸一的過程中掌握基本的解題策略和方法，從中領悟蘊含的數學思想方法，在注重發展數學推理、抽象和建模等數學核心素養的同時，關注聯系和變化，注重反思與審視，達到自我調節與控制、思維辯證與批判，發展數學思維，培養理想精神。

本節課為本章第二節復習課，以課本中典型例題為基礎，通過系列問題變式，在“一課一題”的探索中實現知識與方法的再建構，思考一般化的解題策略和方法，探尋問題解決規律和數學知識的內部關聯。教學基本定位如下：

（1）能順利實現實際問題向數學問題轉化，并通過添加適當的輔助線構造直角三角形解決較為復雜的數學問題；

（2）掌握由直角三角形直接求解和根據“算兩次”列方程求解的基本方法，能結合題目特點和要求選擇合適的解題方法；

（3）在問題思考中體會解題方法的共性與個性的辯證統一，體會“特殊與一般”“轉化與化歸”等數學思想方法，在歸納與反思中實現“通過數學學會思維”的目的。

（二）教學過程

1.例題回顧 明晰解法

問題1：如圖9，小明在[A]處利用測角儀觀測氣球C的仰角為[27°]，然后他沿著正對氣球的方向前進[50 m]，觀測氣球C的仰角為[40°]。如果測角儀的高度為[1 m]，那么氣球的高度是多少？（精確到0.1 m）

問題2：如圖10，小明在[A]處利用測角儀觀測氣球C的仰角為[α]，然后他沿著正對氣球的方向前進[a m]，觀測氣球C的仰角為[β]。如果測角儀的高度忽略不計，那么氣球的高度是多少？（結果用[a、α、β]表示）

教學分析：問題1是教材中的典型例題，也是上節課問題9的延續，由于圖中給出的兩個直角三角形缺少必要條件，無法直接計算，所以常通過“算兩次”的方法列方程進行求解。具體如下，設[CD=x]，在[Rt△BCD]中，[BD=CDtan∠CBD=xtan40°]；在[Rt△ACD]中，[AD=CDtanA=xtan27°]，故[BD=xtan27°-50]，得到兩種不同的方法表示[BD]長，故可得方程[xtan27°-50=xtan40°]，即可求解（類似的，也可用兩種不同的方法表示[AD]或[CD]長，從而列出不同的方程）。

問題2則是對問題1的一般化拓展，在一般化的思考中，以完成對“算兩次”列方程的本質理解，實現對解決此類問題“通性、通法”的掌握。

2.問題變式 靈活運用

問題3：如圖11，小明利用測角儀在[A]處觀測氣球C的仰角為[30°]，然后他沿著正對氣球的方向前進[50 m]到達[B]處，觀測氣球C的仰角為[45°]。如果測角儀的高度忽略不計，那么氣球的高度是多少？（結果保留根號）

問題4：如圖12，小明利用測角儀在[A]處觀測氣球C的仰角為[30°]，然后他沿著正對氣球的方向前進[50 m]到達[B]處，觀測氣球C的仰角為[75°]。如果測角儀的高度忽略不計，那么氣球的高度是多少？（結果保留根號）

教學分析：問題3是問題1的圖形變式，由“同側共邊直角三角形”拓展到“異側共邊直角三角形”。

問題4是問題1的數量變式，由于題目要求“結果保留根號”，條件中給出的角并不都是特殊角，運用“算兩次”構造方程求出的結果不符合要求（需要用計算器求[75°]的三角函數值），故要結合特殊角通過添加適當輔助線構造直角三角形，如圖12所示依次解[Rt△ABE]、[Rt△BCE]和[Rt△ACD]即可求解，這也為問題1提供了一種新的解題思路。教學中也可把問題4對計算結果的要求改為精確到[0.1 m]，這樣就可以利用“算兩次”列方程的方法進行計算。通過問題變式讓學生在方法對比中體會解法選擇的合理性，既要關注通性、通法，也要注重解法的靈活運用，并自覺地思考不同解法的內部關聯。

3.問題綜合 解法優化

問題5：如圖13，小明在坡角為[30°]的斜坡[A]處利用測角儀觀測信號塔頂點[C]的仰角為[45°]，然后他沿著正對信號塔的方向前進[50 m]到達斜坡[B]處，此時觀測信號塔頂點[C]的仰角為[60°]。如果測角儀的高度忽略不計，那么信號塔[CD]的高度是多少？（結果保留根號）

問題6：如圖14，小明在坡角為[30°]的斜坡底[A]處利用測角儀觀測斜坡對面信號塔頂點[C]處的仰角為[45°]，然后他沿著正對信號塔的方向后退[50 m]到達斜坡頂[B]處，此時觀測信號塔頂點[C]處的仰角為[30°]。如果測角儀的高度忽略不計，那么信號塔[CD]的高度是多少？（結果保留根號）

教學分析：本環節的兩個問題是在前述問題基礎上的綜合運用，各有諸多解法。

問題5的解法一：根據角角關系，發現圖中存在等腰[△ABC]和等腰[△BCD]，過點[D]作[BC]邊的垂線段構造直角三角形，通過解直角三角形即可求解；解法二：過點[B]作[AM、CM]的垂線段構造直角三角形，利用“算兩次”的方法構造方程，亦可求解。

問題6的解法一：過點[B]作[CD]邊的垂線段構造直角三角形，利用“算兩次”的方法構造方程，即可求解；解法二：延長[CB、DF]交于點[E]，設[CD = x]，根據[△EBF]∽[△ECD]，由[EFED = BFCD]構造方程，亦可求解。以上兩題均有其它解法，僅舉上述有代表性的兩種解法加以說明。

本節課通過對教材中例題的拓展變式，形成了基于核心問題的系列問題鏈（見圖15）。借助問題一題多解、一題多變的思維發展過程，透過現象尋本質，變化之中找規律，在轉化與化歸思想的指引下實現多解歸一，在問題的探尋中領悟思考數學問題的方法、套路，養成反思意識與批判思維，形成善于思考問題內在聯系和變化規律的一般性思維策略。

數學思維發展需要在學生主動思考中得以實現，而這需要注重學生學習動機（特別是內部學習動機）的激發，其重要策略就是通過情境問題引發認知沖突，在不斷的問題思考中得到自我提升的成功與滿足。在積極的情緒伴隨下，養成具有獨特性、靈活性、深刻性和批判性等思維品質和自覺主動性和獨立創造性等非智力品質，在積極的思維活動中使形象思維和抽象思維相互交織、滲透、轉化，融合為發散、多維的立體思維形態，進而形成動態、聯系、發展的辯證思維，培養具有獨立思考意識和思維能力的人，達到“通過數學學會思維”的目的。

[參 考 文 獻]

[1]胡連成.基于“情境—問題—思維”視角的數學深度教學[J].中學數學月刊，2022（6）：9-12.

[2]李柏青.復習課單元整體教學設計的實踐與思考[J].數學通報，2013，52（3）：31-36.

[3]張曉燕.圓錐曲線單元復習的教學設計探究[J].中小學教學研究，2017（7）：42-44.

[4]孔凡哲.數學學習心理學[M].北京：北京大學出版社，2021：208-213.

（責任編輯：姜顯光）