問題導學：從探索規律走向模型建構
——《多邊形的內角和》教學設計與思考（二）

文|王守建

【教學內容】

蘇教版四年級下冊第96、97 頁。

【教學過程】

一、基于學情，梳理問題

出示課題：多邊形的內角和

師：同學們，看到課題，你有什么疑問？

生：什么是多邊形的內角和？

生：怎么計算多邊形的內角和？

生：多邊形的內角和與三角形的內角和有關系嗎？

生：怎樣探究多邊形的內角和？

……

【設計意圖：“疑”是對知識的主動思考，是思維的助推器，能培養學生的創造力。“問”是對問題的主動描述，是探究的開始，是學習的重要目標。讓學生看課題提出問題，一方面可以培養學生發現問題、提出問題的能力，另一方面，學生帶著問題進入后面的探究活動，能讓探究活動有方向、有深度、有趣味。】

二、喚醒經驗，找到起點

師：（出示一組多邊形）這些圖形分別是什么圖形？

生：三角形、四邊形……

師：像這樣，由三條及以上線段首尾相接圍成的圖形是多邊形。誰能指一指多邊形的內角？

師：我們已經探究了三角形的內角和是180°，請大家猜一猜，四邊形、五邊形……的內角和分別是多少？它們又與什么有關系？

生：長方形和正方形的內角和是360°，我猜四邊形的內角和是360°。

生：五邊形的內角和比四邊形的內角和大，我猜五邊形的內角和是480°

生：我猜多邊形內角和的大小與邊數有關系，多邊形的邊數越多，它的內角和就越大。

【設計意圖：學生認識了部分多邊形，知道長方形、正方形的四個角都是直角，知道了三角形的內角和是180°，這些都是學生的已有經驗，有必要進行喚醒，讓其真正成為學習的起點，之后的自主探究活動也會更加順利且有效。】

三、問研相融，探究規律

1.始于簡，單項探究

（1）自主探究

師：是不是我們猜的這樣呢？你打算用什么方法驗證？

生：用量角器量每一個角的度數，然后加起來。（板書：量）

生：把多邊形的所有內角都剪下來，然后拼到一起。（板書：拼）

師：量和拼是我們探究三角形內角和時用到的方法，能不能精確算出其他多邊形的內角和呢？

生：我認為用量角器測量的結果會有誤差，多邊形的角越多誤差也會越大，測量比較麻煩。

生：我有一個問題，把所有內角剪下來拼到一起，如果大于360°怎么辦？

生：三角形是邊數最少的多邊形，我們已經用量和拼的方法探究出三角形的內角和是180°，探究其他多邊形的內角和，完全可以利用三角形的內角和來計算。

師：大家說得都很好，我們要學會用已知去探究未知。今天打算從哪一個多邊形開始探究？

生：四邊形，因為四邊形只比三角形多一條邊，相對簡單。

師：是的，研究問題一般先從簡單的開始，有序探究，然后發現規律再解決復雜的問題。請拿出《研究單（一）》，開始探究之旅。

【設計意圖：“疑是思之始，學之端”。數學是思維的體操，學習中需要有質疑的聲音，需要有思辨的發生。“能不能精確算出其他多邊形的內角和呢？”營造質疑的時空，積極組織引導，讓學生敢質疑、能質疑、善質疑。質疑聲產生了有效共鳴，學生由此想到利用三角形的內角和探究其他多邊形內角和的方法。《研究單》幫助學生開展探究活動，通過“想一想、分一分、說一說、算一算”的引導，使研究思路清晰，探究任務明確。】

（2）交流分享

生1：（如圖1）A 點和C 點相連，正好把四邊形分成兩個三角形，兩個三角形的內角和就是四邊形的內角和。列式計算“180°×2=360°”。

圖1

生：B 點和D 點相連也可以。

生2：（如圖2）像這樣可以把四邊形分成三個三角形，列式“180°×3”，其中三個角不是原四邊形的內角，它們的和是一個平角，所以“-180°”，最后結果是360°。

圖2

生3：（如圖3）在四邊形內任意點一個點，四邊形的四個頂點A、B、C、D 都和這個點相連，分成了四個三角形，這樣就多出了一個周角，所以要減去360°。列式計算“180°×4-360°=360°”。

圖3

師：觀察比較這幾種方法之間有什么相同和不同之處？

生：都是把四邊形分成三角形，但分的三角形的個數不同。

生：第一種方法更簡潔，后兩種方法的計算，如果運用乘法分配律，其實都可以得到第一種方法的計算。

師：你的觀察很細致，思考很深入，我們一起算算看。

【設計意圖：把四邊形分成幾個三角形的方法一定不止一種，不論出現多少種情況，都要給學生交流分享的機會。引導學生圍繞“這幾種方法之間有什么相同和不同之處”進行觀察、比較，不僅找到不同之處，還找到內在的聯系，讓思維向更深處發展。“一起算算看”，原來結果都是“180°×2”，對“有必要分成三個、四個三角形嗎？”的思考水到渠成。】

2.趨于繁，整體探究

（1）自主探究

師：研究了四邊形的內角和，能不能用這種方法接著研究呢？請大家拿出《研究單（二）》。

研究單（二）

研究內容：多邊形內角和及其與邊數的關系。

研究方法：分一分，算一算，想一想，說一說。

研究過程：

名稱圖形邊數三角形個數 內角和三角形AA四邊形BC A B C D A五邊形B E CD A F六邊形B E C D七邊形八邊形……………………n 邊形

研究發現：_______________________________________

研究結果：多邊形的內角和=________________________

【設計意圖：有了探究四邊形內角和的經驗，這里放手讓學生自己探究五邊形、六邊形等的內角和。《研究單》中，三角形、四邊形、五邊形、六邊形都提供了圖形，直觀、具體，有利于學生的操作探究，能使學生充分感知多邊形內角和的探究方法和探究思路。七邊形、八邊形、n 邊形沒有提供圖形，內角和會是多少呢？既留給學生想象和個性化操作的空間，也倒逼學生因為需要而帶著問題去尋找并發現規律。】

（2）交流分享

名稱圖形邊數 三角形個數內角和AA三角形31180°BC A B C四邊形42180°×2=360°D A B E 五邊形53180°×3=540°CD A F六邊形64180°×4=720°B E C D七邊形75180°×5=900°八邊形86180°×6=1080°……………………n 邊形nn-2180°×（n-2）

生：（如上表）我在分三角形的時候都是從A 點開始，向與它不相鄰的頂點連線。通過研究，我發現多邊形的邊數越多，分成的三角形的個數也越多，內角和越大，多邊形的內角和等于180°乘多邊形的邊數與2 的差，如果是n邊形，可以分成“n-2”個三角形，內角和是“180°×（n-2）”。

生：我也把六邊形分成了四個三角形，分的方法略有不同。（如圖4）

圖4

生：我更喜歡第一種方法，從多邊形的一個頂點出發，向與它不相鄰的頂點連線，這樣更有序。

師：這樣有序有什么好處嗎？

生：分出的三角形更好數。

生：不會多連，也不會少連。

生：我還發現了多邊形每增加一條邊，內角和就增加180°。

生：我發現豎著看，多邊形的邊數越多，內角和就越大；橫著看，分成三角形的個數總是比多邊形的邊數少2。

師：你不僅善于發現，還善于總結。分成三角形的個數為什么總比多邊形的邊數少2 呢？

生：請大家看這些多邊形，我們在分三角形的時候，從一個頂點出發，除了不與和它相鄰的兩個頂點相連，與其他每一個頂點都相連，所以分成三角形的個數總是比多邊形的邊數少2。

生：分成的三角形中，有兩個三角形中的兩條邊是多邊形的邊，其余的三角形只有一條邊是多邊形的邊，所以分成的三角形的個數總是比多邊形的個數少2。

【設計意圖：本環節的交流分享，著力點放在引導學生通過對有序排列的數據進行觀察和比較，逐步抽象概括出多邊形的內角和的一般計算方法，幫助學生進一步體會探究的意義和推理的價值。知其然，亦要知其所以然，“分成三角形的個數為什么總比多邊形的邊數少2？”引導學生繼續思考，找到知識的本質。】

四、回顧反思，延伸探究

師：回顧剛剛的探究過程，你有什么收獲或體會？

生：探究數學問題時，可以利用已學的知識把未知轉化成已知。

生：探究問題要從簡單的問題入手。要有序，還要多思考，注意發現并探究規律。

師：同學們不僅善于發現問題、提出問題，還能主動探究、深入思考，解決了問題，真了不起！那有沒有新的問題要提出來呢？

生：能不能把多邊形分成四邊形來研究呢？

生：多邊形有內角，有沒有外角？如果有，它的外角和又是多少？

師：歡迎你們課后繼續研究。

【設計意圖：學生在探究活動中，既有收獲，也有體會，通過回顧反思，再次給學生交流分享的機會。在回顧反思中，學會概括，學會表達。在問題引領下，學生解決了所提出的問題，在主題探究中，學生有可能發現或想到新的問題，給學生再次提出數學問題的機會，引導學生把課堂探究延伸到課外，豐富學生的學習活動。】

【課后思考】

一、在問題中探究

有意義的問題，是學生獲得知識、探索規律的前提，也是學生解決問題、發展能力、提升素養的根本。課中，有教師提出的問題，也有學生自己的提問。教師不僅要善于向學生提問題，還要善于引導學生自己提出問題。將學習置于有意義的問題情境中，以學生為主體，積極組織學生以問題引領探究，問研相融，讓探究更深入。

二、在探究中明理

數學是一門講道理的學科，數學代表理性。在探究活動中，不僅要讓學生知其然，還要使學生知其所以然。教學中，給學生充分探索、思考和交流的時間，讓他們經歷一個由模糊到清晰、由膚淺到深刻、由零散到系統的探究和發現過程。學生通過計算填表、觀察、比較、分析、綜合，歸納出多邊形內角和的計算方法，學生通過呈現、介紹自己的《研究單》和探究思路，使隱含的道理明朗化。“多邊形的內角和等于180°乘多邊形的邊數與2 的差，如果是n邊形，可以分成n-2 個三角形，內角和是180°×（n-2）”，此時，沒有讓學生僅僅滿足于發現規律的驚艷。“分成三角形的個數為什么總比多邊形的邊數少2 呢？”引導學生思考規律背后的原理，把握知識的本質，弄清知識的源與流。