循主線問題 促素養提升
——兼評《多邊形的內角和》一課

文|仇學春

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）明確指出：“數學課程要培養學生的核心素養，包括會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（簡稱“三會”）。”“三會”是總目標、長遠目標，“四基”與“四能”是形成核心素養的載體；同時素養形成能促進“四基”“四能”的發展。因此我們要把培養學生的問題意識放在首位，以發現并提出問題為起點，以分析并解決問題為過程，以反思并產生新問題為新的出發點。主線問題是一種將目標、問題、活動、思維調適到恰當高度的教學，是一種以兒童的現實水平作起點，以兒童學習進階為方向的適切教學。

《多邊形的內角和》是一節探索規律的課，通過觀察、操作、歸納、類比等具體活動，探索并發現多邊形的內角和與邊數之間的關系，并用學生自己能理解的方式表示所發現的規律，運用不同方式刻畫規律的模型。在教學中怎樣變教師問為學生問？什么樣的問題能把學生對現實素材的興趣轉移到對規律的關注上面？怎樣利用問題激活學生已有的活動經驗，從探索規律走向模型建構？真正做到因“問”而“學”，“問”從“思”來，“問”“學”交融。

劉萍萍老師的《用問題引導 促規律探索》（以下簡稱設計一）和王守建老師的《問題導學：從探索規律走向模型建構》（以下簡稱設計二）為我們帶來一些啟發和思考。

一、以疑促問，問題引領學習

思維自疑問和驚奇開始，問題是思維的起點，只有有了問題，學生才會去思考、鉆研、探索與反思。可見數學學習始于問題，問題是學生學習的生長點，只有問題才能把學生的思維引向深入。布魯姆按認知方式的高低將問題分為：知識性問題、理解性問題、應用性問題、分析性問題、綜合性問題和評價性問題。基于此，我們在教學中可以按照“是什么？”“為什么？”“怎么辦？”“為什么可以這樣？”“還可以怎樣？”“這些辦法哪個更好？”等問題順序分階段培養學生提問的能力。

1.看舊知提問

新知識是在舊知識處生長起來的，新知識往往是舊知識的延伸和發展，又是后續知識的基礎。多邊形的內角和是在三角形內角和的基礎上教學的。設計一中，劉老師在復習時提出了一個問題：“知道了三角形的內角和是180°，你能想到什么問題呢？”學生提出了幾個問題：“四邊形、五邊形、六邊形的內角和是多少？多邊形的內角和有沒有什么規律？多邊形的內角和是怎樣計算的……”學生從舊知中自主發現問題，啟迪思維。

2.看課題提問

課題往往揭示了教學重點內容，圍繞課題提問，有利于讓學生明確學習目標，激活學生學習的內驅力，讓學生帶著問題主動探究。設計二中，王老師在課始提出：“同學們，看到課題，你有什么疑問？”于是學生紛紛提出問題：“什么是多邊形的內角和？怎么計算多邊形的內角和？多邊形的內角和與三角形的內角和有關系嗎？怎樣探究多邊形的內角和？”運用學生提出的問題引領新知的學習。

3.探究中提問

“主線問題”特別關注學生探究問題的情感態度，以積極的情感與態度推動問題思考的不斷深入，實現認知與情感的良性互動。設計一中，劉老師結合一個學生把四邊形分成兩個三角形時問學生“聽明白了嗎？有什么疑問？”學生提出了“明明是兩個三角形的內角和，為什么又是四邊形的內角和？”一個很有價值的問題，正是這個問題加深了方法的理解。設計二中，王老師在學生分四邊形出現了三種分法時，引導學生提出：“這幾種方法之間有什么相同和不同之處？”就這樣在討論中優化了解決問題的方法。

二、因問而學，任務驅動思考

真正的學習是從學生發現和提出問題開始的，不斷產生問題也成為學習的動力。主線問題是以學生問題為起點、學科問題為基礎、教師問題為引導的一個問題系統（如下表）。

學生問題學生提出的問題（預估起點）學生難點問題預估（學習難點）學科基本問題（核心問題）學科重點問題（探究問題）教師問題 教師引導性問題（階段關鍵問題）學科問題

如何形成“多邊形的內角和”主線問題呢？在學生提出“什么是多邊形的內角和？怎么計算多邊形的內角和？多邊形的內角和與三角形的內角和有關系嗎？怎樣探究多邊形的內角和？”等諸多問題時，圍繞學生的問題進行排序、細化，通過歸納整理，從而梳理出“多邊形的內角和有什么規律？”這一核心問題，帶領學生圍繞此核心問題展開學習。

兩位教師根據核心問題設計了不同的任務，驅動學生獨立思考，將不同的想法關聯起來，與同學、老師分享想法，促使自己生成新的想法。這樣的思維過程從平衡到失衡，再形成新的平衡，從而深度建構對新學內容的理解。

1.研究性任務，尋找探索規律的方向

兒童帶著研究的視角和眼光，以一系列富含“研究”意蘊的問題為抓手，開展自主、合作、重在探索與發現的研究性任務。聯系已有的數學活動經驗，選擇并開展探索活動，尋找探索多邊形內角和規律的方向。

設計一中，劉老師把四邊形內角和的探索完全交給學生，學生根據經驗通過量一量、拼一拼、分一分等不同方法得到四邊形內角和，而多種方法的“優”與“劣”是學生在真實的經歷中感悟的，學生體會到測量法有誤差、撕拼法比較費時間，于是自主優化，在五邊形內角和的探索中，自覺采用了分割成幾個三角形后計算的方法。

設計二中，王老師直接把四邊形的內角和設計成探索性任務，從四邊形頂點處分割成兩個三角形，從四邊形邊上取一點分割成三個三角形，從四邊形中間選一點分割成四個三角形，引導學生圍繞“這幾種方法之間有什么相同和不同之處？”找到內在的聯系：結果都是“180°×2”。

2.創造性任務，展示表征規律的方式

創造性任務是一種創造力強、探究度大、信息量足、應用味濃的學習活動。任務的完成或需要綜合運用已有的知識模塊，或需要借助豐富的生活背景，或需要突破固有的思維框架。兩位教師在概括多邊形內角和的規律時，引導學生經歷計算、觀察、歸納等過程，讓學生用一個式子表示多邊形內角和的計算方法，多邊形的內角和可以寫成“180°×（邊數－2）”，也可以寫成“180°×邊數－360°”和“180°×（邊數-1）-180°”。讓學生運用多種方式表征規律，發現計算多邊形內角和的基本方法，獲得一般性的規律，從而加深對多邊形內角和規律的理解。

3.表達性任務，解釋規律產生的道理

“數學表達”指的是學生針對數學活動進行的解釋、表征，用于交流思維的過程與結果，實現解決問題的目標。數學表達強調了對于核心問題的追蹤與聚焦，強調了個體參與的深入，展示了學生的思維個性。

設計一中，劉老師進行了兩次比較，第一次比較180°×（邊數－2）=180°×邊數-180°×2=180°×邊數-360°，讓學生發現多邊形中間任一點出發分割的方法總是多出一個周角，所以要減去360°，才是多邊形的內角和。第二次比較180°×（邊數-1）-180°=180°×邊數-360°=180°×（邊數-2）。體驗還可以從“多邊形的頂點個數”“從任意一個頂點到它相對頂點連線分的次數”來探究多邊形內角和。引導學生通過對有序排列的數據進行觀察和比較，在交流中，逐步抽象概括出多邊形的內角和的一般計算方法，幫助學生進一步體會探究的意義和推理的價值。

設計二中，王老師提出了為什么三角形的個數比邊數少2，引導學生結合圖形體會與某個頂點相對的邊都對應一個分出的三角形，使學生從不同角度理解“邊數-2”的道理，知其然，亦知其所以然。

三、問學交融，提升核心素養

問題是學生學習的目標、動力和途徑，在學生的數學學習過程中，問學交融，引領學生不斷提出新問題顯得尤為重要。我們的教學從老問題開始，引出新問題，在解決新問題時又進一步讓學生碰到疑難題，再在解決疑難題中發現新問題。兩位教師的教學設計以核心素養為指導，以問題為引領，聚焦核心概念，探索多邊形的內角和的規律，從而提升學生的數學核心素養。

1.問題引領，培養數學眼光

2022年版課標指出：“能夠在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，進行數學探究。”兩位教師都是以問題開始，以問題結束，整節課都是用問題引領學習。如劉老師用“多邊形的內角和有沒有什么規律？”“怎么想到把四邊形分成兩個三角形的？”“觀察表格，你有什么發現？”“根據‘多邊形內角和=180°×（邊數-2）’這個規律，你能提出什么問題？”等問題引領教學。如王老師提出“我們已經探究了三角形的內角和是180°，請大家猜一猜，四邊形、五邊形……的內角和分別是多少？它們又與什么有關系？”“分成三角形的個數為什么總比多邊形的邊數少2 呢？”等問題，課尾引導學生提出新問題：“多邊形有內角，有沒有外角？如果有，它的外角和又是多少？”用有內在聯系的問題引領教學的全過程，激發學生產生探索多邊形內角和的學習需求，培養學生數學的眼光。

2.合情推理，培養數學思維

2022年版課標中指出：“在義務教育階段，數學思維主要表現為：運算能力、推理意識或推理能力。”“多邊形的內角和”規律探尋能夠發展學生的數學思維，有利于改變“重演繹、輕歸納”的傾向。合情推理主要指不完全歸納推理和類比推理，這些推理的結論具有或然性。科學結論往往發端于合情推理所提出的猜想，再由演繹推理論證其是否正確。兩位教師都是通過重點研究四邊形的內角和，分割成兩個三角形；放手研究五邊形到八邊形的內角和，依次分割成三個、四個、五個、六個三角形；最后概括出多邊形的內角和的規律180°×（n-2），通過不完全歸納的方法體驗“個數比邊數少2”的道理，從而發展推理能力，培養數學思維。

3.模型建構，培養數學語言

2022年版課標中指出：“在義務教育階段，數學語言主要表現為：數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念、應用意識。”“多邊形的內角和”在探索規律時，反映的是在動態變化過程中變量與變量之間始終存在一種普遍、穩固、必然的聯系，這種關系就是數學模型。兩位教師都是經過對四邊形、五邊形、其他多邊形內角和的探索，最后通過乘法分配律溝通課堂中出現的多種分割方法之間的聯系，學生深刻體會到分割方法的多樣性和數學結論的一般性，建構出多邊形內角和的規律模型“180°×（n－2）”。

由此可見，主線問題教學，是一種把數學知識和兒童經驗螺旋上升為結構化知識和結構化思維的教學；是一種以兒童的現實水平作起點，以兒童未來的可能發展水平為方向的適切的數學教學。