從“邊界突破”到“無(wú)中生有”
——小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)的路徑思考

文|蔣守成（特級(jí)教師）

創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是新時(shí)代的教育責(zé)任和使命，而創(chuàng)新人才的培養(yǎng)不獨(dú)指少數(shù)天才學(xué)生的培養(yǎng)，更指向培養(yǎng)每一位學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的教育實(shí)踐，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)支撐引領(lǐng)創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展的源頭供給能力有重要意義。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“2022年版課標(biāo)”）將“創(chuàng)新意識(shí)”列為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的重要核心素養(yǎng)之一，那么如何理解數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)？我們的數(shù)學(xué)課程如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)？筆者進(jìn)行了以下思考。

一、數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的內(nèi)涵分析

2022年版課標(biāo)在前版課標(biāo)的基礎(chǔ)上對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的內(nèi)涵有了更科學(xué)完整的表述，主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是主動(dòng)嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生有如饑似渴的求知欲，能主動(dòng)提出有價(jià)值的新問(wèn)題，這是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。二是初步學(xué)會(huì)通過(guò)具體的實(shí)例，運(yùn)用歸納和類(lèi)比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系和規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題和猜想，并加以驗(yàn)證。學(xué)生有與眾不同的思維力，能發(fā)現(xiàn)新關(guān)系，提出新思路，這是創(chuàng)新的核心。三是勇于探索一些開(kāi)放性的、非常規(guī)的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生有別具一格的創(chuàng)造力，直面新挑戰(zhàn)、獲得新見(jiàn)解，這是創(chuàng)新的能力。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)可以促進(jìn)學(xué)生形成獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度和理性精神。

數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)就是要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)以前從未意識(shí)到的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的新關(guān)系，通過(guò)數(shù)學(xué)構(gòu)建出以前從未有過(guò)的新想法、新事物，提供看待、思考和表達(dá)世界的新視角、新工具。這些新關(guān)系、新想法、新事物、新視角、新工具，擴(kuò)展、深化、改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)世界和自我的理解，不斷地突破邊界，發(fā)現(xiàn)更大的數(shù)學(xué)世界，從而發(fā)現(xiàn)更大的世界。

二、創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)的路徑思考

創(chuàng)新意識(shí)產(chǎn)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，這個(gè)過(guò)程極為特別又具有創(chuàng)造性。想得到最后的答案，必須通過(guò)循序漸進(jìn)的理解和思索，其過(guò)程如同知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，不能強(qiáng)求而得，是一個(gè)“邊界突破”的過(guò)程，是一個(gè)“無(wú)中生有”的過(guò)程，也是一個(gè)造就創(chuàng)新思考的快樂(lè)過(guò)程，每一個(gè)靈光乍現(xiàn)都像一次完美的演出，每一個(gè)問(wèn)題的成功解決都是從大腦皮質(zhì)“綻放的煙火”。

（一）邊界突破，發(fā)現(xiàn)以前從未意識(shí)到的新關(guān)系

1.突破路徑依賴(lài)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的新關(guān)系

路徑信賴(lài)就像物理學(xué)中的慣性，一旦進(jìn)入某一路徑（無(wú)論好壞），形成經(jīng)驗(yàn)，就可能對(duì)這種路徑產(chǎn)生依賴(lài)。這種慣性的力量，總是讓學(xué)生選擇一條不斷自我強(qiáng)化且輕易不愿走出去的路。如何突破？我們通過(guò)主題活動(dòng)、創(chuàng)新實(shí)踐等方式讓學(xué)生的認(rèn)知改變?cè)诓唤?jīng)意間出現(xiàn)。例如，人教版六年級(jí)下冊(cè)教學(xué)完“圓柱體的體積”后，教材安排了這樣一個(gè)問(wèn)題（如圖1）：

圖1

下面4 個(gè)圖形的面積都是36dm2。用這些圖形分別卷成圓柱，哪個(gè)圓柱的體積最小？哪個(gè)圓柱的體積最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？（單位：dm）

我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生遇到有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，大多是根據(jù)已有的解決問(wèn)題路徑，先通過(guò)具體的數(shù)據(jù)計(jì)算得出結(jié)論：以長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)時(shí)卷成的體積大，但是還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的本質(zhì)結(jié)論。這時(shí)學(xué)生產(chǎn)生了新問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算來(lái)判斷太麻煩了，能不能不計(jì)算就發(fā)現(xiàn)怎么圍哪個(gè)圓柱體積最大？四個(gè)長(zhǎng)方形的面積都相等，也就是圍成的圓柱體的側(cè)面積都相等，側(cè)面積和體積有什么關(guān)系？如何促進(jìn)學(xué)生敢于跳出經(jīng)驗(yàn)的路徑，避免經(jīng)驗(yàn)依賴(lài)，借助經(jīng)驗(yàn)生成多維思維，向著創(chuàng)新的目標(biāo)前行，我們以學(xué)生的問(wèn)題為研究主題開(kāi)展了“圓柱體體積再研究”主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在對(duì)圓柱體有更系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的新關(guān)系，找到解決問(wèn)題的新路徑。

首先，構(gòu)建計(jì)算圓柱體體積方法的新系統(tǒng)。圓柱體的體積是由長(zhǎng)方體的體積轉(zhuǎn)化而來(lái)的，因?yàn)殚L(zhǎng)方體有三個(gè)不同的面，所以體積計(jì)算有三種不同的表達(dá)形式，由此推斷圓柱體的體積計(jì)算應(yīng)該也有三種不同的表達(dá)形式，讓學(xué)生構(gòu)建計(jì)算體積方法的新模型，探尋圓柱體各部分的新關(guān)系，獲得解決問(wèn)題的新路徑。如果將拼成的長(zhǎng)方體翻轉(zhuǎn)，即原來(lái)圓柱側(cè)面積的一半作底，就可以得到新的方法，側(cè)面積的一半乘底面半徑（如圖2）。

圖2

學(xué)生運(yùn)用這種方法來(lái)解釋為什么以長(zhǎng)邊為周長(zhǎng)卷出來(lái)的圓柱的體積大。同樣會(huì)有本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)：側(cè)面積相等（都是36 平方分米）的情況下，半徑越大，體積越大。所以不用計(jì)算，在四個(gè)圖形圍成的7 種不同的圓柱中，第一個(gè)圖形長(zhǎng)邊18 分米為底面周長(zhǎng)時(shí)體積最大，也是第一個(gè)圖形短邊2 分米為底面周長(zhǎng)時(shí)體積最小。同樣道理，將長(zhǎng)方形分別以長(zhǎng)和寬為半徑旋轉(zhuǎn)形成的圓柱體哪個(gè)大？（如圖3）通過(guò)推斷得到新的計(jì)算體積的方法，軸截面積的一半乘底面周長(zhǎng)的一半，因?yàn)檩S截面積相同，所以底面周長(zhǎng)越長(zhǎng)，體積就越大，這樣推斷出結(jié)論既方便又理性。

圖3

通過(guò)教材中的這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生了解到圓柱和長(zhǎng)方體的體積之間還有如此豐富的內(nèi)在聯(lián)系，打破了學(xué)生已有的路徑依賴(lài)。

承德市營(yíng)子區(qū)濱河路小學(xué)位于鷹手營(yíng)子礦區(qū)東北部，坐落在柳河之濱。建校六年來(lái)，學(xué)校始終抓住培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力這條主線(xiàn)，以太空種子種植為龍頭，以機(jī)器人教育創(chuàng)新活動(dòng)為平臺(tái)，打造科技創(chuàng)新示范校，取得了驕人的成績(jī)。

又如，我們?cè)谖迥昙?jí)設(shè)計(jì)了“畫(huà)正方形”主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，要求學(xué)生在5×5 的方格圖上（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1 厘米）畫(huà)一個(gè)正方形，并且畫(huà)出的正方形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上。學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)和思維慣性很快畫(huà)出了五個(gè)邊長(zhǎng)分別是1 到5 厘米的正方形，學(xué)生說(shuō)太簡(jiǎn)單了，沒(méi)有挑戰(zhàn)性。這時(shí)教師提出：要求不變，再畫(huà)一個(gè)和剛才畫(huà)出的正方形都不一樣的正方形。學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)立刻被激發(fā)出來(lái)，發(fā)現(xiàn)除了可以正著畫(huà)還可以斜著畫(huà)，畫(huà)出了面積為2 平方厘米、5 平方厘米等大小不同的正方形（如圖4），引發(fā)了學(xué)生的進(jìn)一步探索，學(xué)生利用平移、旋轉(zhuǎn)等方式證明這個(gè)正方形面積為2 平方厘米的同時(shí)發(fā)現(xiàn)它的邊長(zhǎng)在1.4 厘米至1.5 厘米之間，其實(shí)這就是無(wú)理數(shù)，數(shù)學(xué)歷史上無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)還引發(fā)了數(shù)學(xué)界的“第一次危機(jī)”。面積為5 平方厘米的正方形就是古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，用這個(gè)圖還可以證明勾股定理。按熟悉的路徑解決問(wèn)題是一般的方法，是穩(wěn)定的解決方案，但缺乏創(chuàng)意和創(chuàng)新，需要學(xué)生打破固有的思維定式，不斷發(fā)現(xiàn)形與形之間、數(shù)與數(shù)之間、數(shù)與形之間的新聯(lián)系和新關(guān)系。

圖4

2.突破固有認(rèn)知，發(fā)現(xiàn)跨學(xué)科知識(shí)間的新關(guān)系

喬布斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，創(chuàng)新就是把不同的事物聯(lián)系起來(lái)。數(shù)學(xué)家皮埃爾·德利涅更是強(qiáng)調(diào)：“在數(shù)學(xué)中，當(dāng)你發(fā)現(xiàn)兩個(gè)看似沒(méi)有共同之處的東西事實(shí)上相互關(guān)聯(lián)是一種樂(lè)趣，而在兩個(gè)問(wèn)題之間建立一個(gè)支點(diǎn)則是一個(gè)強(qiáng)大的工具。”可見(jiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如果能突破固有認(rèn)知，把不同領(lǐng)域的知識(shí)、方法和思想關(guān)聯(lián)融合，讓學(xué)生探索跨領(lǐng)域、跨學(xué)科知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，不僅可以提升學(xué)生解決真實(shí)問(wèn)題的能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

例如，我們?cè)诹昙?jí)開(kāi)展了“你的書(shū)包超重了嗎？”項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生關(guān)于“超重”的概念并不陌生，從“人的超重”到“物體的超重”無(wú)不意味著某個(gè)平衡標(biāo)準(zhǔn)被打破。例如人超重則比較肥胖、電梯超重則不能正常運(yùn)轉(zhuǎn)、卡車(chē)超重則會(huì)被罰款，經(jīng)驗(yàn)告訴學(xué)生“超重現(xiàn)象”一般是超過(guò)了某個(gè)固定重量，而不是相對(duì)重量。“你的書(shū)包超重了嗎？”項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動(dòng)突破了學(xué)生的固有認(rèn)知，學(xué)生主動(dòng)提出并解決了三個(gè)問(wèn)題：“自己的書(shū)包是否超重？”“書(shū)包超重的標(biāo)準(zhǔn)是什么？”和“書(shū)包超重了，該怎么辦？”學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考、小組合作，商議并制定初步方案，在實(shí)驗(yàn)探究中結(jié)合變量“書(shū)包重量”“脊柱彎曲度”從兩個(gè)維度分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了書(shū)包超重的標(biāo)準(zhǔn)不是固定的，它與人體的體重有關(guān)，超過(guò)人體重量的10%～15%即為超重。如果書(shū)包超重了，該怎么辦？學(xué)生的方法主要可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是減輕書(shū)包的重量，另一類(lèi)是增強(qiáng)自己的力量，并提醒自己要懂得整理規(guī)劃，保持良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，還督促自己要勤于鍛煉，增強(qiáng)體魄。實(shí)驗(yàn)探究不僅保持理性本質(zhì)，還融入了健康生活、體育鍛煉的積極因素。

以“書(shū)包超重”為主題組織跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動(dòng)，深度鏈接“數(shù)學(xué)”“體育與健康”和“心理健康”等不同學(xué)科，在挑戰(zhàn)復(fù)雜問(wèn)題的過(guò)程中獲得新體驗(yàn)，提出新問(wèn)題，形成新聯(lián)系。

（二）無(wú)中生有，構(gòu)建出以前從未有過(guò)的新想法、新事物

老子說(shuō)：“反者道之動(dòng)，弱者道之用。天下萬(wàn)物生于有，有生于無(wú)”，即萬(wàn)物都是從“無(wú)”中產(chǎn)生的。無(wú)中生有，是整個(gè)人類(lèi)歷史發(fā)展的一個(gè)過(guò)程，也是很多創(chuàng)新能夠完成的基礎(chǔ)。無(wú)中生有并不完全是從虛無(wú)當(dāng)中來(lái)，而是在個(gè)體或組織已有思考的基礎(chǔ)構(gòu)建出來(lái)以前從未有過(guò)的新想法、新事物。

1.無(wú)中生有，新想法提供思考問(wèn)題的新視角

無(wú)中生有，就是要促進(jìn)學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣去思考，創(chuàng)造性地去思考問(wèn)題、探索規(guī)律，產(chǎn)生新思路，獲得新見(jiàn)解，用新思路、新見(jiàn)解來(lái)觀(guān)察和思考現(xiàn)實(shí)世界。

例如，在學(xué)校六年級(jí)質(zhì)量調(diào)研中呈現(xiàn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：“二戰(zhàn)”期間，為了加強(qiáng)對(duì)戰(zhàn)機(jī)的防護(hù)，英美軍方調(diào)查了作戰(zhàn)后幸存飛機(jī)上彈痕的分布（如圖5），決定哪里彈痕多就加強(qiáng)哪里。然而統(tǒng)計(jì)學(xué)家沃德力排眾議，指出更應(yīng)該注意彈痕少的部位，事實(shí)證明，沃德是正確的。請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出統(tǒng)計(jì)學(xué)家沃德正確的理由。學(xué)生像統(tǒng)計(jì)學(xué)家沃德一樣去思考，認(rèn)為幸存飛機(jī)上彈痕少的部位，就是受到重創(chuàng)不能返航的戰(zhàn)機(jī)上彈痕多的部位，所以要加固幸存飛機(jī)上彈痕少的部位。這樣從看不見(jiàn)的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)看得見(jiàn)的真相。

圖5

又如，在研究數(shù)學(xué)游戲?qū)W家杜德尼發(fā)現(xiàn)的“省刻度尺”（如圖6）時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一把5 厘米長(zhǎng)的直尺省了兩個(gè)刻度（1 和3）照樣可以量出1 到5 厘米所有的刻度，覺(jué)得很神奇，發(fā)現(xiàn)“少”可以表示“多”，“省”是一門(mén)學(xué)問(wèn)，也是一種創(chuàng)新。由此學(xué)生帶著這樣的新想法去思考，為什么公頃和平方米之間要省掉一個(gè)計(jì)量單位公畝？為什么人民幣有1 元、5 元的幣值，而沒(méi)有3 元和4 元呢？為什么有了厘米和米，還要學(xué)生活中很少用到的分米呢？引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生更多的問(wèn)題，進(jìn)行持續(xù)的研究。

圖6

2.有中生優(yōu)，新事物提供解決問(wèn)題的新工具

有中生優(yōu)，就是要求每位學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中從有方法，到方法多，再到方法優(yōu)的過(guò)程；就是不把“之一”當(dāng)“唯一”，精益求精，不斷創(chuàng)新，探尋解決問(wèn)題的新路徑，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新工具、新方法，從而發(fā)現(xiàn)新關(guān)系、新規(guī)律，形成新觀(guān)念，甚至創(chuàng)造出新事物。

例如，蘇教版六年級(jí)下冊(cè)“綜合與實(shí)踐”——大樹(shù)有多高的教學(xué)。經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了通過(guò)影長(zhǎng)算出大樹(shù)高度的一般方法。“工業(yè)4.0 時(shí)代”帶來(lái)了新技術(shù)，為創(chuàng)新提供了新工具，用手機(jī)軟件按一定的操作要求拍下大樹(shù)照片，就能自動(dòng)算出大樹(shù)的高度，新工具超越了每個(gè)人的想象。新工具孕育新思路，即便學(xué)生不能熟練運(yùn)用這項(xiàng)技術(shù)，拍下一張簡(jiǎn)單的“合影”，根據(jù)自己的身高，運(yùn)用比例的知識(shí)也能算出大樹(shù)的高度，助推思維層面的創(chuàng)新。讓“稚嫩”的創(chuàng)想茁壯成長(zhǎng)，從“創(chuàng)想”到“創(chuàng)作”經(jīng)歷創(chuàng)造的全過(guò)程，在和合發(fā)展、開(kāi)放自由的環(huán)境里發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。在前期問(wèn)卷調(diào)查中，不少學(xué)生提出先將風(fēng)箏放到和大樹(shù)一般高，再根據(jù)風(fēng)箏線(xiàn)的長(zhǎng)度推算大樹(shù)的高度的想法，創(chuàng)意無(wú)限，學(xué)生總能給我們帶來(lái)意料之外的驚喜。然而很快便有學(xué)生提出質(zhì)疑，認(rèn)為這項(xiàng)方法由于風(fēng)箏角度的偏差會(huì)導(dǎo)致誤差較大。反向追問(wèn)，那么角度對(duì)測(cè)量大樹(shù)高度有幫助嗎？答案是肯定的，不妨基于相同時(shí)間樹(shù)高和影長(zhǎng)成正比例的原理教會(huì)學(xué)生用大拇指測(cè)量高度，乃至自制簡(jiǎn)易的“測(cè)量工具”，讓誤差成為創(chuàng)新進(jìn)一步生長(zhǎng)的土壤。

又如，六年級(jí)學(xué)生開(kāi)展“樹(shù)葉的面積有多大？”數(shù)學(xué)主題活動(dòng)時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了借助方格圖估算樹(shù)葉的面積（如圖7），還經(jīng)歷了借助綠豆轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)求面積（如圖8）。但這兩種方法得到的面積都不精確，有什么辦法可以求出樹(shù)葉精確的面積？通過(guò)實(shí)驗(yàn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任意兩塊材質(zhì)相同、厚度相同的木塊，它們的面積和重量成正比例，也就是說(shuō)第一塊木塊的重量是第二塊木塊的幾倍，那么第一塊木塊的面積就是第二塊木塊的幾倍，由此發(fā)現(xiàn)了“稱(chēng)重法”求樹(shù)葉的面積，將求樹(shù)葉的面積轉(zhuǎn)化成稱(chēng)重量（如圖9）。

圖7

圖8

圖9

“稱(chēng)重法”將數(shù)學(xué)和物理聯(lián)系了起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了思維的跨界，這種方法的價(jià)值不僅是方法上的創(chuàng)新，解決了精確求出不規(guī)則物體面積的方法，更是思維方式的創(chuàng)新，引發(fā)了學(xué)生持續(xù)創(chuàng)新的熱情。學(xué)生從數(shù)學(xué)閱讀中還知道了一種蒙特卡羅法：考慮平面上一個(gè)邊長(zhǎng)為1 的正方形及其內(nèi)部的一個(gè)形狀不規(guī)則的“圖形”，如何求出這個(gè)“圖形”的面積呢？蒙特卡羅法是這樣一種“隨機(jī)化”的方法：向該正方形“隨機(jī)地”投擲a 個(gè)點(diǎn)，有b 個(gè)點(diǎn)落入這個(gè)不規(guī)則圖形中，則該圖形的面積近似為，學(xué)生還在網(wǎng)上查找了相關(guān)資料和研究，嘗試用統(tǒng)計(jì)的方式來(lái)求樹(shù)葉的面積，引發(fā)了學(xué)生對(duì)用“統(tǒng)計(jì)與概率”解決“圖形與幾何”等其他問(wèn)題的思考，為什么可以這樣做？背后的原理是什么？

哲學(xué)家叔本華說(shuō)：“世界上最大的監(jiān)獄，是人的思維意識(shí)。”不得不承認(rèn)，有時(shí)候限制住創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的正是自己的思維，這就需要我們讓學(xué)生直面復(fù)雜問(wèn)題的真實(shí)情境，跨越固有認(rèn)知障礙，進(jìn)行跨界聯(lián)結(jié)，實(shí)現(xiàn)“邊界突破”，達(dá)成“無(wú)中生有”，能夠提出新問(wèn)題，生成多維思維，開(kāi)辟新思路，達(dá)到新境界，向著創(chuàng)新的目標(biāo)不斷前行。