“問”出來的深度學習歷程
——《四則運算》畢業復習拓展課教學實錄

文|趙元中

【緣起】

在“四則運算”的畢業復習課中，筆者用蘇教版六年級上冊中的素材（如下圖）來引導學生進一步認知運算之間的聯系，學生通過觀察再次認知到具有一定規律的兩個分數的差等于它們的積。

正當筆者以兩個應用練習來進一步鞏固學生對這個規律的認知時，一個學生卻提出了這樣的問題：“兩數之和等于兩數之積有規律嗎？我只知道有兩組：3 和1.5、6 和1.2，還能像上面差等于積那樣找到其他組嗎？”筆者這位在學生們看來比較“能”的老師被問住了，老師的卡殼極大地激發出學生的“戰斗”熱情，課堂中充斥著躁動，學生都急切地改變了原來的學習航向忙碌地試找起來。為了給這個愛思愛問的學生一個交代，為了平息課堂中的躁動，為了鞏固“能”的地位，筆者果斷調整了剩余十分鐘的課堂學習預定進程，組織學生分小組合作探尋，全班學生終于幫他找到了另外一組：4 和。下課時，我能感受到學生并沒有多少成功的喜悅感，更多的是不甘和深陷迷霧之感。

課后，筆者和同年級的教師就這一問題展開了研討，大家一致認為，為了讓學生清除迷霧、柳暗花明，應該增上一節“新”課。

【課前研學及學情了解】

筆者以如下兩個問題作為學生課前自主研學的內容。

問題二：對于兩個數四則運算結果之間的關系，你還想提出哪些問題進行探究？

課前研學基本情況統計如下：

問題一：無作答的12 人；找到其他例子，并用文字的方式陳述規律的有25 人；尋找到規律，舉了一些其他例子，并用符號（或字母）陳述規律的有8 人。

問題二：提了一至兩個問題的有10 人；提了兩個以上問題的有29 人；提了一些問題并作了探索和陳述的有7 人。

【教學過程】

一、依例探尋，初步歸納

師：今天就從讓我們意猶未盡的問題展開交流探究。如何使兩數之和等于這兩數之積？課前我認真閱讀了大家的探尋過程、方法和結論，大部分同學依據已知的三組例子，進行了深入的觀察、分析，得出了自認為的規律并作了不同方式的陳述。下面分四人小組，把你的探尋過程和結論在小組里匯報交流，并借助小組集體智慧進行驗證、修正，形成你們小組共同的結論。

（四人小組合作交流）

師：請第五小組的同學面向全班匯報。

生1：我們把例子中的小數轉化成分數后發現，每組中都是一個整數和一個分數組成，其中分數的分子就是這個整數，而分母比這個整數小按這個規律列舉幾組驗證下來都是對的。

生2：我們認為整數有無數個，所以像這樣的情況應該有無數組。

師：請對這一小組的探尋過程和發現作評價、補充或質疑。

生4：他們小組的發言很精彩，講得很清楚。我們小組也得出了類似的規律，只不過對他們的字母表示有不一樣的看法。我們認為這里的a 要注明是大于1 的整數，否則那個分數就不成立了。如果a 等于1，分母就是0 了，分數的分母不能為0；如果a 是0，就不夠減1 了，所以這個整數我認為不能為0 和1，要大于1。

生5：我也基本同意他們小組的發言，但難道必須是一個整數和一個分數嗎？能不能找到不是這樣的情況？

二、質問探尋，修正擴展

師：剛才我們認真聆聽了這一小組的匯報發言，老師贊賞他們從已知出發、觀察發現規律后再找出新的例子的探尋學習過程，以及在這一過程中自覺靈活地運用列舉、轉化、假設和歸納總結等策略與方法的學習研究能力，為他們的精彩發言鼓掌喝彩！但老師更加欽佩后面兩位提出補充和質疑的同學，我要為他們的獨立精神和真誠品質點贊！整理一下這兩位同學的補充和質疑：一是a要為大于1 的整數；二是必須是一個整數和一個分數嗎？

師：結合前面小組的看法和這兩位同學的補充、質疑，大家再次進行探究交流。

（小組合作交流）

師：大家對“a要為大于1 的整數”有什么看法？

生1：我們討論認為這個整數只要不等于1 就可以了，因為如果a=1，則中的分母是0，就沒有意義了，但當a=0 時，則是成立的呀！

生2：我反對這個同學a=0 的說法，因為如果這樣的話，這兩個數就是相同的數了，不符合要求。

生3：我贊同生1 的看法，反對生2 的看法，因為照他這么說當a=2 時，=2，豈不是a 是要大于2 的整數了。

生4：綜合他們的看法，我認為如果要保證兩個數不同的話，最好a為大于2 的整數。

師：我也贊成這個同學的意見，如果要使這兩個數不同，最好a為大于2 的整數。其實隨著我們認識數的范圍擴大，這里的整數a還能有更廣泛的取值，所以大家以后還可以作進一步的思考，這也符合我們的學習經驗，規律有時是在一定范圍里存在的，有范圍性、有限制性，有時還會有擴展性。那大家對“必須是一個整數和一個分數嗎？”發表意見。

師：感謝這個同學的突破性實踐，看樣子兩個可以都為分數，請每位同學列舉出這樣一組，跟著實踐理解一下。

學生列舉后匯報，并板書：

師：大家觀察一下兩個都是分數的例子，你有什么要說的嗎？

生：我發現兩個分數的分子相同，且是兩個分數分母的和，例如第一組分子5 等于分母3+2，第二組分子12 等于分母7+5。

師：大家又有了新的發現。那老師問你們，如果現在再讓你列舉一組，你是選前面的，還是選現在的？

生：我當然選擇現在的，因為更簡單、更快。

師：看樣子，真是應了那句話“真理越辯越明”。

三、辨理探尋，融會貫通

師：可老師有點想不通，同樣的要求，讓兩個數的積等于這兩個數的和，怎么會有兩種規律呢？

（小組合作交流）

師：現在你們又有什么發現？

生1：是的，我發現a 是分數且分子比分母大1 時，另一個數就會是整數，例如：a=時，

生2：我在這兩位同學的提示下發現，把整數都寫成分母是1的分數時，就完全一樣了。

師：又是一個精彩的發現，現在統一了，那大家能不能用一種方式表示出這個規律呢？想一想。

師：你們同意他的表示嗎？（板書上面的等式）評價一下。

生4：我基本同意他的表示，但我認為要注明a、b≠0，并且a≠b 才好。

師：有道理嗎？

生6：我認為有必要，因為a、b 為分母，分母不能為0，a 也不能等于b，否則就是相同的一個數，都是2。

［在上面的等式后面補寫上（a、b≠0，并且a≠b）］

（班上響起熱烈的掌聲）

師：真是教學相長！身邊人人都是老師，感謝這位同學的爸爸給予我們的幫助，感謝這位同學的激情講解。

四、提問探尋，再啟新程

師：今天這節課大家在不斷追問思考，探尋出了讓我們迷惑的一個隱藏規律。請四人小組再次回顧交流總結一下我們整個探究的過程和結論。

（四人小組回顧交流總結）

師：課前研學的第二項是：對于兩個數四則運算結果之間的關系，你還想提出哪些問題進行探究？老師相信通過今天的交流學習你肯定有更多辦法、策略、路徑去探究了。課前我把大家提的問題分類匯總了一下（見下表），請大家利用今天學習所得的經驗和提示來探究這些問題，當然也歡迎你提出其他新的問題進行探究，老師期待你們的精彩發現，把你的探究問題、過程和發現寫下來貼在班級的“問題墻”上，讓我們彼此互相學習。

同級運算1.如何使兩數之和等于兩數之差？2.如何使兩數之積等于兩數之商？不同級運算1.如何使兩數之積等于兩數之差？2.如何使兩數之商等于兩數之和？3.如何使兩數之商等于兩數之差？