做好數學實驗 促進概念建構
——《三角形的認識》教學

文|程偉偉

【教學內容】

蘇教版四年級下冊第75、76 頁。

【教學過程】

一、激活經驗，實驗感知

1.尋找三角形，激活經驗

師：課前請大家收集資料，尋找生活中的三角形。有幾位同學還拍了視頻，我們一起來欣賞一下。

生：我佩戴的紅領巾是三角形的。

生：我玩的魔方的面是三角形的。

生：我的自行車有一部分是三角形的。

師：老師也收集了一些圖片（課件出示四張圖片：金字塔、羅馬教堂、南京長江大橋、水云閣）。這些建筑物上都有三角形，看來三角形在生活中的應用還真不少！今天我們進一步來研究它。（揭示課題）

2.動手實驗，建構概念

（1）初次實驗，引發猜想

師：看了這么多的三角形，想不想動手實驗？你們可以用身邊的材料創造一個三角形，同桌合作。

（2）交流經驗，提出猜想

師：介紹一下這些三角形是怎樣創造出來的。

生：我用直尺在紙上畫了一個三角形。

生：我在釘子板上用橡皮筋圍了一個三角形。

生：我用3 根火柴棒擺了一個三角形，擺的時候要注意把小棒連起來。

師：怎樣連起來？

生：把火柴棒的頭和尾連起來。

師：這種連法叫作首尾相接。

師：這些形狀和大小各不相同的三角形都有哪些共同特征？

生：它們都有3 條邊。

生：還有3 個角。

師：你們覺得在數學上什么樣的圖形是三角形？

生：有三條邊的圖形叫作三角形。

生：我們不同意，有三條邊和三個角的圖形才是三角形。

師：大家提出了兩種不同的猜想，哪一種更合理？在數學上，由幾個例子得到的結論只能作為猜想，還需要舉出更多的例子去驗證。下面請同學們繼續探究吧！

（3）實驗探究，尋找反例

（學生分小組進行驗證實驗，教師巡視、指導）

師：有三條邊的圖形到底是不是三角形呢？有沒有找到反例？

生：找到了，我們畫的這個有三條邊的圖形就不是三角形（如下圖）。它的三條邊是曲線，而三角形的三條邊應該是直直的線段。

師：這個反例充分說明了第一種猜想是錯誤的。那有三條線段和三個角的圖形就一定是三角形嗎？

生：也不一定，我們擺的這個圖形就不是三角形（如下圖）。

師：是的，一看就知道它不是三角形，第二種猜想也是不成立的。那怎樣才能圍成一個三角形？

生：（邊說邊動手修改反例）三角形應該是一個封閉圖形，這些火柴棒的頭尾依次連起來才能圍成一個三角形。

師：同學們很會動腦筋！不僅能找到反例，還能動手修正反例。

（4）交流思辨，建構概念

師：回顧剛才的驗證實驗，誰能完整地說一說什么樣的圖形是三角形？

生：三條線段連在一起的圖形叫作三角形。

生：三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形。

師：（手指著黑板上的三角形）這三條線段就是三角形的3 條邊，三條線段首尾相接就形成了三角形的3 個頂點和3 個角。看來，三角形與“3”有著不解之緣呢！

師：再來考考你們。這是三角形的頂點，它的對邊在哪？另外兩個頂點和對邊在哪里？大家伸出手指比劃一下。

3.畫圖反思，拓展概念

師：下面的方格紙上有2 個定點。你能再找1 個點，以這3 個點為頂點，畫一個三角形嗎？你有什么發現？

（學生獨立完成操作，并組織交流匯報）

師：任選1 個點一定能和給定的2 個點畫一個三角形嗎？

生：不一定，這個點不能和給定的2 個點在同一條直線上。

師：為什么不能？

生：如果這個點和2 個定點在同一條直線上，那么這三條線段就會重合在一起，是不可能圍成三角形的。

小結：圍成三角形的3 個頂點是不能在同一條直線上的。

二、遷移經驗，實驗建構

1.初步猜想，感悟高

師：剛才我們認識了三角形，了解了三角形的特征。三角形里還有很多知識等著我們去研究呢！請看（出示下圖），長頸鹿迷路了，你能把它送回家嗎？

生：因為長頸鹿高，所以高的房子才是它的家。

師：那這座房子有多高呢？

生：從房頂到地面的距離就是房子的高。

師：房子的這個面是三角形（點擊課件，去房子，出現三角形），你們覺得什么是三角形的高？

生：三角形的頂點到對邊的距離就是三角形的高。

師：其他同學也這么想嗎？這只是猜想，我們還需要驗證一下。

2.動手實驗，概括高

師：（動手演示三種情況）以下哪一條線段可以表示三角形的高呢？為什么？

生：線段①不是高，因為它沒有從頂點出發。

生：線段③也不是高，因為它不垂直。

生：線段②是三角形的高，因為它垂直于底邊。

師：在小組內討論一下什么是三角形的高。

生：三角形的頂點到對邊的垂直線段是三角形的高。

師：一般情況下三角形的高要畫成虛線，并標上直角符號。（課件演示高和底的概念）

師：（課件演示三角形的旋轉）這個三角形原來的底在哪？它對應的高呢？觀察一下底的方向和高的方向，發生了什么改變？

生：看來底不一定在下面，三角形的高也不一定是豎直方向的，但三角形的高一定是從頂點向對邊作的垂直線段。

3.聯系舊知，理解高

師：同學們真了不起，能找準對應的底和高。想不想動手畫一條高？

師：別急，我們先來看看怎么畫高。（課件演示）

師：學會了嗎？（出示題目）現在以這條邊為底，誰想上來試一試？其他同學在作業紙上畫。

師：其實，像這樣畫高的方法我們早就學過了，請看大屏幕，想起來了嗎？（課件演示點到直線的畫法）

生：畫高本質上就是四年級學過的畫直線外一點到這條直線的垂直距離。

師：你們真厲害，立馬能把以前學過的知識遷移過來。如果把三角形的底邊看成一條直線，那直線外一點在哪？就是三角形的頂點。從直線外一點向這條直線畫的垂直線段就是三角形的高。

師：剛才我們以這條邊為底畫出它的高，那三角形只有一條高嗎？

生：不，三角形有3 個頂點，所以它有3 組對應的底和高。

三、變化實驗，建構關系

1.畫一畫：畫出下面三角形底邊上的高。

師：觀察這四個三角形底邊上的高，你有什么發現？

生：前三個三角形是銳角三角形，它們的高在圖形內部，第四個是直角三角形，它的高是另一條直角邊。

師：觀察得真仔細！三角形的高有的在圖形內部，有的在邊上，還可能在哪？

生：三角形的高還可能在圖形外部。

師：這僅僅是我們的猜想，需要驗證一下。

2.變一變：方格紙上有2 個點，再找1 個點，畫一個高是3 厘米的三角形。

師：你能找到幾個這樣的點？你能畫幾個這樣的三角形和高？你有什么發現？

生：可以找到無數個這樣的點，畫出無數個高是3 厘米的三角形。

師：仔細觀察這些三角形和它們的高，你們有什么發現？

生：這些三角形底一定，高也一定，但形狀卻不相同。

生：這些三角形底的位置不變，但是高卻隨著頂點慢慢地向右移動。

（教師利用幾何畫板動態演示，頂點沿著底邊的平行線逐漸向右移動，底邊上的高也隨之向右移動，直至與直角邊重合的情況）

師：如果頂點繼續向右移動，這個三角形的高將會發生怎樣的變化？（教師邊說邊繼續演示高出現在三角形外的情況）

生：三角形的高可能在圖形內部，可能在直角邊上，還可能在圖形外部。

師：通過實驗驗證，發現我們剛才的猜想是正確的。那這個點只能在上面嗎？

生：還可以在下面。

師：在數學上，我們把這樣的三角形叫同底等高的三角形。

四、回顧反思，結構延伸

師：通過開展數學實驗，你對三角形有哪些新的認識？我們是怎樣研究三角形的特征和高的？你又有哪些體會和收獲？