立足內(nèi)核本質(zhì) 設(shè)計“關(guān)鍵問題” 促進素養(yǎng)提升
——《加法交換律和乘法交換律》教學(xué)設(shè)計

文|王 江

之前在加法意義和加法驗算的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于加法“可交換”已經(jīng)有了很多感性的認識，乘法亦是如此。一節(jié)內(nèi)容簡單、學(xué)生經(jīng)驗豐富的數(shù)學(xué)課，如果依然從常規(guī)教學(xué)思路“提出猜想——舉例驗證——得出結(jié)構(gòu)——應(yīng)用規(guī)律”出發(fā)，總感覺沒有觸碰到概念的本質(zhì)內(nèi)核，學(xué)生的思維沒有進階，甚至，可以說這樣的教學(xué)思路停滯在了十年前。

教學(xué)中，可以嘗試提出更具思維含量和挑戰(zhàn)性的“關(guān)鍵問題”，給予學(xué)生一定的小工具支持，使學(xué)生從不同層面、多種角度表征加法交換律，從而幫助學(xué)生從字面上的“可交換”，逐步邁向利用多層次的對話深化學(xué)生對“可交換”的本質(zhì)理解，即：在交換律中，“序”的改變并不影響最終結(jié)果。過程中，結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的視角、“猜想—驗證”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗的再積累，都為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)賦能。

【教學(xué)過程】

一、呈現(xiàn)“關(guān)鍵問題”，引發(fā)獨立思考

師：老師帶來了一個有趣的語文作品，叫“顛倒歌”。知道這首作品顛倒前的順序嗎？多快樂的一首顛倒歌！語文學(xué)科里，這么一顛倒、一交換，文字立馬有了更大的魅力。數(shù)學(xué)里的交換會不會也有別樣的精彩呢？今天我們就來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)里的交換。

師：說起交換，在咱們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里不止一兩次了，讓我們一起來看一看。一年級數(shù)的分與合、一年級一圖兩式、二年級的驗算（課件呈現(xiàn)教材圖）……這些學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，讓小明產(chǎn)生了一個大膽的猜想：“任意兩個數(shù)相加，交換它們的位置，和不變?！蹦阌X得小明的猜想正確嗎？

師：不著急下結(jié)論，為了方便同學(xué)們驗證這個猜想，王老師給每個小組準(zhǔn)備了四個學(xué)習(xí)材料，我們來認真地看一看。材料1 舉例子，材料2 面積圖，材料3 集合圖，材料4 紅色木條、藍色木條。（材料2、3、4 課件均有交換位置的動畫）

師：我們來看小組合作要求。

1.選一選：組長組織，每人選擇一個學(xué)習(xí)材料。2.想一想：先獨立思考，如有需要，可以動筆簡要記錄。3.說一說：在小組里認真有序交流。

師：特別提醒第二點，想一想很重要，有思考才有高質(zhì)量的小組交流，所以，老師建議分好學(xué)習(xí)材料，靜靜獨立思考，再在小組里好好交流一下！

【設(shè)計意圖：教師通過“關(guān)鍵問題”喚醒了學(xué)生對于兩個加數(shù)“可交換”的經(jīng)驗，本質(zhì)上這是一種聯(lián)系的視角。此外，教師放手讓學(xué)生借助四個學(xué)習(xí)材料展開探究活動，教師精心設(shè)置的這四個學(xué)習(xí)材料分別對應(yīng)數(shù)、形、指向“離散量”的集合圈圓片圖以及指向“連續(xù)量”的小棒長度圖。通俗講，圓片圖是“離散”的，它更多指向“整數(shù)”，而小棒圖是“連續(xù)”的，它指向“任何數(shù)”?？梢灶A(yù)見的是，不同層次的學(xué)習(xí)材料將會成為后續(xù)生生、師生對話的重要資源。】

二、交流反思，讓思維相互碰撞

1.嘗試舉例，初步驗證

生：我選擇舉例子的方法。

師：舉例驗證是個很棒的路徑。但我們能不能通過這幾個例子就下結(jié)論？

生：還需要舉出更多例子，如25+13=38，13+25=38；100+200=300，200+100=300，所以我覺得是對的。

師：第二位同學(xué)的舉例和第一位同學(xué)比，你更喜歡誰的？

生：我喜歡第二位同學(xué)的，因為他舉例的時候能夠考慮到不同的類別。

師：其他小組還有沒有不同類的例子？

（學(xué)生匯報略）

師：老師特別關(guān)心的是有沒有同學(xué)舉出了反例？

師：看來舉例子的時候，不僅要考慮不同類別，還要考慮反例的問題。

師：你能把這兩個等式合并成一道算式嗎？

（學(xué)生舉例，留下一組等式）

師：有沒有同學(xué)擔(dān)心萬一第1000 個例子是反例呢？沒關(guān)系，我們繼續(xù)借助其他學(xué)習(xí)材料來交流。

2.多維驗證，深化理解

生：我選擇了面積圖。我覺得長方形在前、在后的順序不重要，合起來結(jié)果都是整個大長方形的面積。

生：我選擇了集合圖。我也覺得紅色在前、在后的順序不重要，我們都是在算這兩個部分的總和。

生：我選擇了紅、藍小棒圖。我覺得藍小棒在前、在后都無所謂，反正都是在算紅、藍小棒的長度和。

師：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到這里是不夠的，真正厲害的同學(xué)還能從四個學(xué)習(xí)材料中找到共同的地方，你能找到嗎？

生：兩個部分，它們交換位置再合起來，結(jié)果是不變的。

師：學(xué)習(xí)到這里，想問大家，小明的猜想正確嗎？（正確）現(xiàn)在你還有前面例子舉不完的擔(dān)心嗎？有沒有同學(xué)知道，這個猜想的另外一個專屬名字？（加法交換律）

師：剛才同學(xué)們寫了這么多算式，有沒有同學(xué)能夠用一道算式把它們都表示出來？（學(xué)生回答略）我們通常用a+b=b+a 來表示。

【設(shè)計意圖：學(xué)生借助教師給予的學(xué)習(xí)材料，能夠從不同層面、多種角度嘗試驗證加法交換律，從而實現(xiàn)深度理解。在這過程中力求實現(xiàn)四個層次的對話：1.能用面積圖、集合圖、小棒圖驗證、解釋加法交換律；2.感悟不論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，都滿足加法交換律；3.用沒有具體數(shù)據(jù)的例子也能說明，因為是“合并”，與誰前誰后位置的改變沒有關(guān)系；4.感受字母表示的代表性和一般性?！?/p>

3.整體建構(gòu)，深化認知

師：回顧一下，我們根據(jù)一個猜想，用不同的方法進行了驗證，最后得到了這個結(jié)論。學(xué)習(xí)不要止步于此，你還有沒有新的猜想？

生：有沒有減法交換律、除法交換律和乘法交換律呢？

師：要為大家點贊。每人至少選擇一個你感興趣的猜想展開驗證，獨立思考，也可以簡單記錄下。

生：我覺得沒有減法交換律。10-7=3，7-10 卻不夠了。

生：我反對，5-5=5-5，8-8=8-8，所以我覺得有。

師：剛才我們討論加法交換律的時候，你們允許反例的出現(xiàn)嗎？那怎么現(xiàn)在就允許了呢？

生：我覺得減法沒有交換律，只要找到一個反例，就可以推翻它了。

師：對！驗證結(jié)論過程中，只要舉出一個不符合結(jié)論的例子——反例，就可以說這個結(jié)論不成立。

生：除法也沒有交換律。12÷2=6，2÷12 肯定小于1 了。

生：我覺得乘法有交換律。我舉了很多例子，都是成立的。

師：大家有沒有舉出一個反例？

（學(xué)生搖頭）

師：同學(xué)們，計算小方塊的總數(shù)（如下圖），你怎么列式？

師：橫著看，幾個幾？豎著看呢？3 乘5、5 乘3，它本質(zhì)上算的都是這里方塊的個數(shù)，只是觀察的視角不同。所以，乘法交換律這個猜想是正確的！

師：實際上，乘法交換律也早就陪著我們學(xué)習(xí)了（如下圖）。

師：同學(xué)們，今天我們一起學(xué)習(xí)了交換律。我們發(fā)現(xiàn)：通過交換，它可以改變兩個部分的順序，可是兩部分的總量是不變的。在今天的學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)，順序并不影響結(jié)果。（完成板書，如下圖）

【設(shè)計意圖：本節(jié)課沒有滿足于加法交換律的學(xué)習(xí)，而是在此基礎(chǔ)上，拋出了第二個“關(guān)鍵問題”：乘法、減法、除法有交換律嗎？引導(dǎo)學(xué)生猜想、舉例驗證，積累“猜想—驗證”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗，學(xué)會用舉反例的方法否定錯誤的猜想，數(shù)學(xué)理性思維表現(xiàn)得淋漓盡致。此外，方塊計數(shù)的圖片，學(xué)生可以從乘法的意義理解，也可以從面積模型、幾何直觀的角度理解，有助于學(xué)生將它推廣到更一般的情形：ab=ba，課堂里沒有完全“點破”，但“意圖”已經(jīng)蘊含其中。板書的設(shè)計，也向內(nèi)核本質(zhì)更近了一步，即：交換兩個部分，“序”改變了，但“序”的改變并不影響結(jié)果的改變，真正做到了讓簡單的知識不簡單，學(xué)習(xí)力悄然提升。】

三、拓展延伸，拓展思維邊界

下面的算式中，你覺得哪些可以填到橫線上？

25+47=______

A.74+25 B.47+25

C.24+48 D.27+45

生：我覺得B 就是我們今天學(xué)習(xí)的交換律。

生：我覺得還可以選C。25 挪走一個給47，總數(shù)是不變的。

師：不算就能看出來，真厲害！這是加法的另一個規(guī)律。

生：我覺得也可以選擇D。47移過去2 個給25，總數(shù)也不變。

生：我覺得不用計算，D 就是十位沒動，個位進行了對調(diào)。

師：那這是交換律嗎？確實不是，這個算式有一點復(fù)雜，它里面藏著交換律，但是等大家到了下學(xué)期，你會發(fā)現(xiàn)這里面還藏著新的加法運算律。

【設(shè)計意圖：本節(jié)課沒有呈現(xiàn)枯燥的、機械式的練習(xí)題，只留了一道題，通過這樣的練習(xí)，實現(xiàn)“減負增效”，學(xué)生也在過程中明白除了“交換律”，還有其他的“運算律”?！?/p>

四、全課總結(jié)，回顧課堂學(xué)習(xí)歷程

師：同學(xué)們，讓我們回顧一下整節(jié)課。今天我們從已有的學(xué)習(xí)活動中，善于觀察、形成猜想，然后，借助多元材料、小心驗證，接著，變化條件、豐富猜想，最后，我們還進行了鞏固練習(xí)、深化認知。希望未來的學(xué)習(xí)，同學(xué)們也能夠和今天這樣提出更多的猜想，不斷尋找答案。