動態事件觸發機制下多智能體系統固定時間跟蹤

于鏑, 王亞潔, 趙博, 劉瓊

(1.北京信息科技大學 自動化學院, 北京 100192; 2.北京師范大學 系統科學學院, 北京 100875)

0 引言

作為控制領域的前沿熱點問題,多智能體協同控制是指多個具有感知、通信和移動能力的智能體之間通過局部信息交互,實現所期望的整體組織行為,例如一致性控制[1]、跟蹤控制[2]和合圍控制[3]等,并且在無人機偵察救援、機器人協作搬運、智慧交通調度、微電網功率優化等領域都有著廣泛應用。

收斂速度是多智能體協同控制中重點關注的內容。有限時間協同控制[4-5]是指多智能體系統能夠在有限時間內達到控制目標,該方法具有收斂速率快、魯棒性強、控制精度高等優點。但是收斂時間上界與系統初始值相關,當系統初始值未知或非常大時,收斂時間會趨于無窮甚至無法計算。實際應用中某些多智能體系統需要在特定的時間內實現協同,如航天器姿態同步、無人艇編隊、機器人搜救等,并且在系統初始狀態未知情況下便可以對收斂時間進行預測,這將對控制器的設計大有裨益。因此,固定時間穩定[6]的概念應運而生,其克服了有限時間控制中系統收斂時間對初始狀態的依賴,可以根據實際應用需求進行系統固定時間控制器設計。當前,在多智能體系統固定時間協同控制領域已涌現出許多優秀成果[7-16]。采用牽制控制方法,文獻[7]考慮了系統有/無非線性項兩種情況,實現了含有外部擾動的1階多智能體系統固定時間的群組一致性。文獻[8]針對1階受擾非線性系統,設計了包含符號函數項的控制協議,實現了固定時間跟蹤一致性。采用非光滑分析方法和切換控制思想,文獻[9]在具有有向生成樹的網絡拓撲結構下,解決1階受擾多智能體系統的固定時間協同跟蹤問題。值得指出的是,上述成果均解決1階受擾多智能體網絡協同控制問題。由于同時考慮智能體動態的位置信息和速度信息,2階多智能體網絡相較1階多智能體網絡的控制協議設計更加復雜,并且網絡動態分析更加細致。因此,一些研究人員針對2階受擾多智能體系統的固定時間協同控制問題展開了研究。文獻[10]提出新型非奇異終端滑模控制協議,實現了多智能體系統固定時間合圍控制。采用固定時間觀測器和非奇異滑模面結合的方法,文獻[11]設計固定時間滑模跟蹤控制器,實現了多航天器系統的姿態協同。文獻[12]在細致均衡的有向圖下,采用齊次理論與積分滑模相結合的方法實現了多智能體系統一致性及跟蹤控制。基于自適應擾動狀態觀測器和反步法,文獻[13]實現了固定時間有界群集編隊控制,并進行了仿真驗證。文獻[14]設計集成控制協議,解決了受擾2階多智能體系統的固定時間一致性問題;標稱控制部分確保在積分滑模面上的固定時間收斂,不連續積分滑模控制或連續超扭控制部分用于補償干擾且固定時間收斂。文獻[15]設計固定時間跟蹤控制律,且基于系統狀態的相關信息更新控制參數,實現了系統平滑跟蹤控制。在無速度信息的情況下,文獻[16]設計固定時間觀測器精確估計狀態信息,實現了固定時間一致性問題。

然而,上述文獻所提出的控制器均需采用周期性采樣信號進行控制,會造成大量系統通信計算資源的浪費。為解決該問題,諸多學者引入了事件觸發機制[17],當預先設定的觸發函數滿足一定條件時,智能體之間才進行通信及控制協議的更新,在一定程度上減少了系統通信和計算資源的損耗。根據觸發函數的不同,事件觸發機制可分為靜態事件觸發[18-23]和動態事件觸發[24-27]兩類。其中靜態事件觸發分為基于固定閾值的事件觸發函數[18-19]以及基于系統相對狀態的事件觸發函數[20-23]。通過引入內部動態變量,動態事件觸發機制[24-27]使得事件觸發函數閾值隨著測量誤差而自適應地變化,從而避免了靜態事件觸發機制中因無視測量誤差大小而導致事件觸發函數閾值固定或變化規律一成不變的情況,增強了事件觸發機制的自適應性。結合動態事件觸發機制,文獻[24]設計了線性多智能體系統的分布式編隊控制協議,并將其應用到多機器人編隊控制中。文獻[25]將滑模控制算法與動態事件觸發機制相結合,實現了1階受擾多智能體系統的有限時間一致性控制。文獻[26]在動態事件觸發機制控制下,實現了1階時延系統的固定時間跟蹤控制。針對切換拓撲情況,文獻[27]設計動態事件觸發控制協議,解決了受擾非線性多智能體系統實際固定時間一致性問題。

受上述文獻的啟發,本文將針對2階受擾非線性多智能體系統,研究其在有向拓撲下固定時間跟蹤控制問題,通過引入動態事件觸發機制,提出一種新型積分滑模固定時間控制方案。本文的主要貢獻與創新點總結如下:

1)不同于文獻[7-9,26,27]中控制對象為1階受擾多智能體系統,本文研究2階受擾非線性多智能體系統,且通過設計一個新型積分滑模面消除擾動對多智能體系統動態的影響,提高了系統魯棒性。

2)不同于文獻[18-21]中采用的靜態觸發機制,本文通過引入與測量誤差相關的動態變量,設計能夠實現固定時間跟蹤控制的動態事件觸發函數,使得動態事件觸發函數閾值自適應地隨著測量誤差變化,從而增強事件觸發機制的自適應性且降低觸發頻率,進一步節省通信和計算資源。

3)相較于文獻[4-5,25]中的有限時間控制,本文所提出的控制協議能在固定時間內實現系統跟蹤控制,可以根據控制器參數來估計收斂時間,從而放寬了有限時間控制中收斂時間依賴于系統初始狀態的限制。

符號說明:本文中,‖·‖表示向量或矩陣的2-范數,1n表示n維全1列向量。對于矩陣A∈Rn×n,其最大特征值和最小特征值分別用λmax(A)和λmin(A)表示。函數矢量sigα(x)=[sigα(x1),…,sigα(xn)]T,冪次函數sigα(xi)=|xi|αsgn(xi),其中x∈Rn且x=[x1,…,xn]T,α>0,符號函數矢量sgn(x)=[sgn(x1),…,sgn(xn)]T。對角陣diag(|x|α)={|x1|α,…,|xn|α}。

1 基礎知識與問題描述

1.1 圖論

本文考慮由1個領導者和N個跟隨者所組成的多智能體系統,將領導者標記為智能體0,并假設跟隨者只接收領導者發送的信息,而領導者不接收任何信息。定義矢量B=(b1,b2,…,bN)T,如果智能體i能接收到來自領導者的信息則bi>0,否則bi=0。拓撲圖對應的拉普拉斯矩陣為

式中:H=[hij]∈RN×N。

1.2 基本引理

假設原點是下列非線性系統的平衡點

(1)

式中:x(t)∈Rn為系統狀態;f(t,x(t)):R+×Rn→Rn是未知非線性函數;x0為系統初始狀態。

定義1[6]若式(1)所描述的系統全局漸近穩定且存在一個穩定時間T(x0)>0,使得系統的任意解能夠在T(x0)內收斂到平衡點,則稱系統(式(1))的原點是全局有限時間穩定的。在此基礎上,若存在穩定時間T≤Tmax,其中Tmax為與系統初始狀態無關的穩定時間上界,則稱系統(式(1))的原點是全局固定時間穩定的。

引理1[6]考慮系統(式(1)),若存在一個李雅普諾夫函數V(x)>0,并有a>0,b>0,0<α<1,β>1且滿足

(2)

則稱該系統能實現固定時間穩定。此外,穩定時間T滿足如下條件

(3)

引理2[27]令z1,z2,…,zi,…,zN≥0,有

1.3 問題描述

在本文考慮的多智能體系統中,第i個跟隨者和領導者的動力學方程分別描述如下:

(4)

(5)

假設1圖包含有向生成樹,其中領導者為根節點。

假設2對于非線性函數h(·),存在一個正常數ρ,使得對于任意xi∈Rn,xj∈Rn,vi∈Rn,vj∈Rn,t≥0,有

‖h(xi,vi,t)-h(xj,vj,t)‖≤ρ(‖xi-xj‖+‖vi-vj‖)

(6)

假設2給出了矢量域上的QUAD條件[28],且所有的線性、分段線性連續函數和具有一致有界偏導數?f/?xi,i=1,2,…,N的非線性函數,均滿足該條件。諸多眾所周知的實際應用系統[29],如諧振子、微分驅動輪式機器人、拉格朗日型飛行器和機械手等,均滿足該Lipschitz類型條件。

本文的主要控制目的是針對2階受擾多智能體系統,結合積分滑模控制方法和動態事件觸發機制,設計一個切實可行的控制協議,使得跟隨者的狀態在固定時間內跟蹤上領導者的狀態,即實現固定時間跟蹤控制,不受擾動影響且有效節省通信資源。

2 主要結果

圖1 控制方案示意圖Fig.1 Diagram of control scheme

2.1 固定時間跟蹤控制協議設計

為了克服擾動的影響并提高系統魯棒性,本文采用積分滑模控制方法。同時為了節約系統通信和計算資源,引入動態事件觸發機制,設計固定時間控制協議,實現多智能體系統跟蹤。

首先定義智能體跟蹤誤差為

(7)

定義積分滑模變量為

(8)

基于上述滑模面,設計事件觸發控制協議如下:

(9)

定義測量誤差如下:

(10)

式中:sj為滑模變量。則ui(t)可用測量誤差表示如下:

k5sj(t)-k6(‖φx(t)‖+‖φv(t)‖)1n)

(11)

式(11)寫成向量形式為

u(t)=E(t)+(H?In)-1(-k1φ(t)-sigαφ(t)-sigβφ(t)-k2sgn(s(t))-k3sigα(s(t))-k4sigβ(s(t))-k5s(t)-k6(‖φx(t)‖+‖φv(t)‖)1Nn)

(12)

下面設計一個新型的動態事件觸發函數來保證系統在固定時間內實現跟蹤控制。受文獻[25]的啟發,動態事件觸發函數和內部動態變量分別設計為

gi(t)=‖Ei(t)‖2-k3‖si(t)‖α+1-k4‖si(t)‖β+1

(13)

(14)

式中:l1、l2>0;ηi(0)為動態變量初始值,ηi(0)>0。則當動態事件觸發函數和內部動態變量滿足

(15)

不同于文獻[18-19]中設計的包含不連續部分sgn(·)和連續部分sigα(·)的積分滑模面,本文設計只包含連續部分sigα(·)的積分滑模面,使得整個收斂過程更趨于平滑;同時,不同于文獻[18-19]實現1階受擾多智能體系統的固定時間協同控制,本文解決2階受擾多智能體系統的固定時間跟蹤控制問題,被控對象不同,更符合工程實踐需求。

文獻[14]和文獻[25]均基于網絡誤差的冪次函數(·)α設計積分滑模面。文獻[14]解決受擾2階多智能體系統固定時間協同跟蹤問題,但未考慮未知非線性動態對跟隨者運動性能的影響;且所設計的周期性采樣信號控制的固定時間控制器導致通信和計算資源浪費。文獻[25]實現了有限時間協同控制但不利于滿足應用需求。而本文設計的積分滑模面適用于符合實際應用的固定時間協同控制情況,具有更強的實用性。

在動態觸發機制式(13)～式(15)中,若l1=l2=0,則對應靜態觸發機制,即如

(16)

此時,由于k3和k4均為固定的正常數,當多智能體系統趨近協同跟蹤時,靜態事件觸發機制會導致不必要信息的頻繁傳輸而浪費大量網絡通信和計算資源。

相較于文獻[25]中采用動態觸發機制下的積分滑模控制方案解決有限時間1階受擾多智能體系統協同一致問題,本文所提出的動態觸發機制下的新型積分滑模控制方案解決了2階受擾多智能體系統固定時間協同跟蹤問題,避免了收斂時間對系統狀態初始值的依賴而直接可通過控制參數進行設計,更貼合實際應用需求。同時,通過對智能體狀態和速度的動態分析,可以得到更加細致的動態協同過程,便于實際系統應用。

2.2 穩定性分析

本節證明采用本文所提出的控制協議及觸發函數可以實現系統的固定時間跟蹤。

定理1考慮由式(4)和式(5)所描述的多智能體系統,當滿足假設1和假設2時,控制協議(見式(9))和動態事件觸發條件(見式(15))作用下,若滿足如下參數條件

則多智能體系統能夠在固定時間內實現跟蹤控制,且穩定時間滿足

(17)

式中:c>0。

(18)

式中:In為n×n維單位矩陣;1N為n維列向量。

根據假設2,可得

基于柯西不等式,可得

sT(H?In)d-sTk2sgn (s)≤-(k2-ω‖H‖)‖s‖

基于楊氏不等式,可得

(19)

式中:λmax(HHT)為矩陣HHT的最大特征值。

(20)

因此滑模變量可以在固定時間T1內到達滑模面。

(21)

式中:λmin為矩陣的最小特征值;INn為Nn×Nn維單位矩陣。因此式(21)可寫為

式中:

根據引理1得到穩定時間T2為

(22)

由此可知根據多智能體系統可以在T≤T1+T2內實現固定時間跟蹤控制。證畢。

綜上,相比于文獻[22]、文獻[23]的無向拓撲及文獻[12]中的有向拓撲且需要細致均衡條件,本文所考慮的拓撲關系為有向拓撲,且只需有以領導者為根節點的有向生成樹,限制條件少,應用更廣泛。

2.3 排除Zeno現象

下面分析采用所提出的動態觸發機制,系統不存在Zeno現象。

定理2考慮由式(4)和式(5)所描述的多智能體系統,如果動態事件觸發條件(見式(15))以及定理1的條件成立,則可以避免Zeno現象。

(23)

又因為

令Λ1=(ε1a+k6)(Najmax‖vj-vi‖+bj‖vj-v0‖),Λ2=(ε1b+ε2+k6)[ajmax(‖uj-ui‖+ω+ρ‖xj-xi‖+ρ‖vj-vi‖)+bj(‖uj‖+ω+ρ‖xj-x0‖+ρ‖vj-v0‖)],Λ3=ε2ε3,Λ4=k6λmax(H?In)(‖e2‖+ρ(‖e1‖+‖e2‖)+ω+‖u‖),可知Λ1、Λ2、Λ3、Λ4均為正數。則式(23)可寫為

則

同理可得

(24)

(25)

因此最小事件觸發間隔嚴格大于零,不存在Zeno現象。證畢。

3 仿真驗證

考慮由1個領導者和5個跟隨者組成的多智能體系統,其有向通信拓撲關系如圖2所示。

圖2 網絡拓撲Fig.2 Network topology

定義第i個智能體的非線性函數和外部擾動為fi(t)=[-0.2(xi1(t)+sin (vi1(t))),-0.2(xi2(t)+cos (vi1(t)))]T

f0(t)=[-0.2(x01(t)+sin (v01(t))),-0.2(x02(t)+cos (v01(t)))]T

di(t)=[0.1cost,0.1sint]T,i=1,2,…,5。

參數選為k1=1.2,k2=0.3,k3=0.5,k4=0.8,k5=3.5,k6=2,a=1,b=2,α=0.5,β=1.5,l1=0.1,l2=0.3,ρ=0.2。通過式(16)計算得到穩定時間上界Tmax≈165.6 s。

圖3和圖4分別描述了跟隨者和領導者的位置、速度變化軌跡,從中可以看出所有跟隨者均能夠在固定時間內跟蹤上領導者的狀態,收斂時間約為15 s,顯然實際收斂時間遠小于Tmax。

圖3 智能體位置變化軌跡Fig.3 Position trajectories of agents

圖4 智能體速度變化軌跡Fig.4 Velocity trajectories of agents

圖5為動態輔助變量ηi,i=1,2,…,5的變化曲線。由于跟蹤控制前期智能體間相對狀態誤差較大而后期相對狀態誤差較小,ηi隨著時間自適應地動態變化,并且在15 s左右趨于較小的正值。圖6為誤差‖Ei(t)‖2和觸發閾k3‖si(t)‖α+1+k4‖si(t)‖β+1+ηi(t)的變化曲線。由于動態輔助變量ηi的自適應變化,動態事件觸發機制會自適應調整觸發閾值,并且只有當滿足動態事件觸發條件時才進行觸發,從而避免了頻繁觸發而發送不必要信息。

圖5 動態輔助變量變化曲線Fig.5 Curves of dynamic auxiliary variables

圖6 誤差和觸發閾值的變化曲線Fig.6 Curves of errors and trigger threshold

本文所設計控制協議能實現系統的固定時間跟蹤,與文獻[25]中有限時間控制方法相比,系統穩定時間不受初始狀態的影響。如圖7和圖8所示,在初始值較大的情況下,仍能在15 s左右實現跟蹤控制。

圖8 較大初始值下智能體速度軌跡Fig.8 Velocity trajectories of agents with large initial values

圖9表示在本文所提出的動態事件觸發策略下,跟隨者智能體觸發時刻圖。作為對比,圖10給出了采用靜態事件觸發策略(見式(16))時的智能體觸發時刻圖。為了更直觀表示,表1給出了15 s內兩種不同觸發機制所對應的觸發次數,明顯看出動態觸發機制下觸發次數減少,從而達到有效降低控制器更新頻率、節約系統通信和計算資源的目的。

圖9 動態事件觸發機制下智能體觸發時刻Fig.9 Trigger time of agents under the dynamic triggering mechanism

圖10 靜態觸發機制下智能體觸發時刻Fig.10 Trigger time of agents under the static triggering mechanism

表1 動態觸發機制與靜態觸發機制次數比較

4 結論

本文結合動態事件觸發機制,針對受擾非線性多智能體系統,解決了有向拓撲情況下的固定時間跟蹤控制問題。基于相對狀態誤差信息設計了積分滑模面,并通過引入內部變量構造了動態事件觸發函數,從而提出了一種新型動態事件觸發固定時間跟蹤控制方案,不但有效抑制了外部擾動、滿足控制時間的需求,而且在避免Zeno現象的同時節省了網絡通信和計算資源,仿真驗證了該控制方案的有效性和可行性。在實際應用中,由于網絡連接不穩定,智能體間的拓撲關系會發生間斷性地變化,后續將研究多智能體系統在有向切換拓撲情況下的動態事件觸發固定時間協同控制。