帶有冪次內聚斷裂模型的韌性碎裂

徐便, 鄭宇軒,2, 楊洪升,3, 周風華

(1.寧波大學 沖擊與安全工程教育部重點實驗室, 浙江 寧波 315211;2.中國工程物理研究院 流體物理研究所 沖擊波物理與爆轟物理重點實驗室, 四川 綿陽 621999;3.西北工業大學 航空學院, 陜西 西安 710072)

0 引言

在靜態或者準靜態載荷作用下,結構的破壞往往發生在某個最薄弱處,一旦發生局部破壞,從該破壞點產生的卸載使得整個結構失去承載能力。與此相對應,在動態載荷作用下,結構整體承受的加載速率大于局部破壞點對鄰近區域的卸載速度,因此結構整體往往會發生多處斷裂,最終斷成許多碎片,即發生了碎裂。固體在突加載荷作用下的碎裂特征長期受到物理學和工程科學領域研究者的關注,能否準確預測破碎發生時間以及碎裂過程中產生的碎片尺寸,是一個重要研究課題[1-2]。Mott[3]和Mott等[4]在二戰時期開展了關于材料碎裂化的研究,分析了一個處于持續塑性流動過程的理想塑性材料中,單個突發斷裂位置所產生的剛性卸載陣面的傳播過程。Mott認為該卸載波(Mott波)在某一個特征時間所傳播距離的2倍即為碎片尺寸,但是Mott并未對該特征時間做更詳細的闡述。Grady等[5-6]、Kipp等[7]認為,任何斷裂過程都具有一個內稟的時間尺度,為此引入了斷裂能Gc,并提出一個線性內聚斷裂模型代替Mott的瞬時斷裂假設,從而給出了韌性斷裂發生的時間,以及在這個時間內Mott波傳播的距離,這個卸載波到達距離的2倍就是碎片尺度的計算式,稱為Grady-Kipp公式。

Zhang等[8-9]對高應變率下韌性金屬的碎裂全過程進行實驗及數值模擬,觀察了膨脹圓環的整個碎裂過程。陳磊等[10]采用有限元方法,數值模擬了韌性金屬圓環在快速膨脹過程中的碎裂現象,證明Grady-Kipp的線性內聚斷裂模型基本適用于描述韌性碎裂,并在數值模擬中觀察到斷裂卸載波的激發和傳播現象。鄭宇軒等[11]和鄭宇軒[12]對韌性金屬桿在高應變率拉伸下的碎裂過程進行了數值分析,結果表明在較廣泛的應變率和材料參數下,Grady-Kipp公式均可較好地給出韌性碎裂過程產生碎片的平均尺寸的下限。進一步,鄭宇軒等[13]提出了最快速卸載的思想:在給定加載應變率下,受拉伸作用的材料會同時生成等間距的多個斷口,存在一個最優裂紋間距,使得材料內部應力可在最短時間內卸載為零,在線性損傷演化下該間距即為Grady-Kipp公式給出的碎片平均尺寸。

韌性材料在沖擊加載時的損傷演化往往是多樣且復雜的。楊道明等[14]利用剖面法和金相分析對3種鋼材在高應變率下的損傷演化進行了詳細的研究,發現不同的損傷演化過程導致斷口特征差異較大,變形過程也不一樣。Levy等[15]和Doitrand等[16]從損傷起始準則與斷裂耗散的能量出發,分析了裂紋拓展過程中損傷與碎片尺寸的相互聯系。曹祥等[17]數值分析了不同的損傷演化路徑,即內聚斷裂模型的選取對斷裂過程和碎片尺寸的影響,結果表明韌性材料損傷演化的非線性路徑對其碎裂過程具有顯著影響,非線性指標α數值越大,碎裂過程中產生的碎片尺寸越大,即偏離基于線性損傷演化路徑的Grady-Kipp公式越嚴重。

本文從Grady分析理論假定斷口的內聚力與斷裂位移之間具有一種冪次非線性關系出發,理論推導出固體完全斷裂所需的特征時間和斷裂激發的Mott波傳播距離的解析表達式,進而得到更完備的碎片尺度公式,該尺度與冪次指數k呈現弱相關特性;在0.1～1.9范圍內選擇不同的指數k,生成碎片的尺度將發生相應改變;進一步發現,在非線性冪次損傷路徑中存在一個最快速卸載方式:當k=0.5時,損傷演化至完全斷裂所需的時間最短。采用有限元Abaqus/Explicit模擬了無氧銅圓環在不同損傷演化參數下的破壞現象,數值模擬結果表明:不同k值所對應的斷口形貌有明顯不同,反映出斷口損傷發展的韌脆性特征;采用不同k值的損傷模型,所生成的碎片平均尺度隨著加載應變率和k值的變化,其特征與解析結果趨勢一致。

1 Mott-Grady碎裂理論

1.1 Mott波控制碎片尺度思想

(1)

Mott利用卸載波在特征時間tMott內的傳播距離作為預測應力桿碎裂后的平均尺度。在Mott理論下得到的預測碎片的平均尺度lMott公式為

(2)

1.2 Grady線性內聚斷裂模型

Grady基于理想塑性-剛性卸載分析的模型如圖1(a)所示:一個處于恒應變率持續流動狀態的理想塑性桿一旦產生局部斷裂(區域I),將導致鄰近區域發生卸載(區域II);卸載區與塑性流動區的邊界稱為Mott波陣面,向外側傳播;Mott波陣面未到達區域依然處于塑性流動階段(區域III)。

圖1 理想塑性材料在恒應變率拉伸過程中的斷裂-卸載分析模型Fig.1 “Cohesive fracture-Mott unloading” analytical model for ideal plastic materials under tension with a constant strain rate

Grady-Kipp將斷口張開位移δ與斷口處的應力σ簡化成線性關系,隨著斷口張開位移的增大,斷口應力從初始值σc線性下降為0 MPa,如圖1(b)中k=1的曲線所示,即

(3)

根據這個模型,Grady-Kipp建立了耦合I區斷口應力和張開規律的動力學方程組,結合邊界條件可得完全斷裂所需時間為

(4)

在tGrady-kipp時刻,Mott波傳播距離的2倍即可作為碎片平均尺寸的度量,因此給出如下碎片平均尺寸:

(5)

2 非線性冪次內聚力斷裂模型下的碎裂過程分析

Grady在分析Mott波傳播解時使用了簡單的線性內聚力斷裂模型,認為可能存在復雜形式的材料抵抗斷裂模型[18],因此有必要對模型做擴充和改進。本文在Grady分析基礎上,對內聚力損傷模型做擴展,假定斷口張開位移δ與內聚力σ呈現一類影響斷口延展特性的冪次非線性關系,如圖1(b)所示,用下列函數描述:

(6)

式中:k大于0為冪次非線性指數,在這里視為一種材料參數:當k=1時,即為Grady的線性內聚力模型;當k<1時,材料在損傷演化過程中斷口表現出的延展性較好,即碎裂后斷口處斷裂應變較大,斷口區域材料偏韌;當k>1時,材料斷口表現出的延展性較差,碎裂后斷口處斷裂應變較小,斷口區域材料偏脆。

在斷裂點損傷演化過程中的總能量耗散,即斷裂能為

(7)

如式(4)、式(5)所示,材料的塑性流動應力σc和斷裂能Gc將明顯影響碎裂過程,是控制碎片尺度和碎裂時間的關鍵參數。在這兩個參數相同的情況下,材料內聚力斷裂曲線的具體形狀,即式(6)中的冪次非線性指數k可能對碎裂過程產生影響。本文研究斷裂起始后剩余拉伸應力隨斷口張開位移非線性遞減關系對碎裂過程的影響。注意到在冪次內聚力斷裂關系式(6)中,在相同斷裂能Gc情況下,材料參數k、σc、δc只有兩個參數可以獨立變化。選擇k、σc作為材料參數,則不同參數所對應的δc為

下面從剛性卸載區的運動學方程出發,推導非線性指數k對碎裂的影響:

(8)

可得

(9)

式(9)給出了Mott卸載波陣面位置函數x(t)和斷口張開位移δ(t)之間的關系。注意到斷口的張開速度由剛性卸載區的運動所控制,即

(10)

(11)

(12)

由式(12)可知當k≥2時,不能保證斷口張開位移δ(t)隨時間t單調遞增,即此時斷口無法保持自持發展狀態。Grady[18]針對k=2時出現的無法自持演化現象,采用加入微小擾動,推導發現碎片尺度和斷裂性質主要受后期行為影響,而受加入的擾動振幅影響不大。故而本文所設定的冪次損傷演化關系要求0

采用材料常數Gc作為控制參數,將式(7)代入式(12),得到斷口開口位移δ(t)的演化關系為

(13)

將式(13)代入式(6)和式(10)中,分別可得卸載波傳播距離x(t)和斷口應力σ(t)演化關系:

(14)

(15)

裂紋發展完成時,δ(t)=δc,完全斷裂時刻和卸載波傳播的位置分別為

(16)

(17)

由此得到冪次非線性改進的Grady碎片尺度公式為

(18)

3 冪次內聚力斷裂路徑的算例分析

圖2 保持斷裂能不變時不同k參數所確定的內聚斷裂應力-斷口張開位移曲線Fig.2 “Cohesive stress vs crack opening displacement”curves with different power index k with constant fracture energy

根據式(15)可繪制出斷口處的內聚力隨時間變化曲線,如圖3所示,容易看出采用不同k值的損傷演化模型對斷口卸載過程和斷裂總時間產生較大影響:k取值越大,內聚力在損傷初期越難以卸載,可以想象,k取值趨于2時,斷口內聚力水平將在相當長的時間內保持不變,或者下降極其緩慢;當0

圖3 不同k參數下的內聚斷裂應力隨時間發展曲線(應變率Fig.3 Evolution curves of cohesive stress with time for

事實上,斷口完全卸載的時刻tc由式(16)表征,將tc對非線性參數k求導并計算駐點,可以發現當k=0.5時tc取極(最)小值,此時斷口發展至完全斷裂(即內聚力卸載為0 N)所需時間最短:

(19)

該數值約為線性內聚力斷裂路徑(k=1,Grady線性解)的卸載時間的79.4%。

由上述分析可以看出,將模型參數作為冪次非線性系數來表征材料在斷口區域的韌性和脆性斷裂性質,從數學上證明了k=0.5的內聚損傷演化方式對應著材料的最快速卸載,與鄭宇軒等[13]提出的最快速卸載,以及Gilles等[19]基于最快速卸載思想得到的最短斷裂時間一致。

進一步,由式(14)可以得到不同k參數下卸載陣面的x-t圖,即Mott波的傳播路徑,如圖4所示,這些曲線的終點,即完全斷裂時刻卸載波陣面的傳播位置,為式(14)所確定。在非線性指數k取一系列不同值時,每條Mott波曲線的終點可以構成一條包絡線,代表斷口完全斷裂的時間和卸載距離。可以觀察到整個“斷裂時間-卸載區域”包絡線在時間尺度上存在一個極小值,對應于k=0.5的Mott卸載波終點。如前所述,k=0.5時完全斷裂所需要時間最短,此時Mott卸載波以恒定速度傳播,即x-t為線性關系。如果k>0.5,則材料在損傷初期內部卸載過程發展緩慢,導致總斷裂時間變長;如果k<0.5,則盡管早期斷口張開速度變快,但由于臨界張開位移δc提高,達到完全斷裂的時間tc也會略有提高。總體而言,σ/σc=1-(δ/δc)0.5的損傷發展方式代表這類卸載路徑中的最快速卸載路徑,可能是材料損傷演化過程中的損傷斷裂模型。

圖4 非線性冪次指數k在0.1～1.9范圍的Mott卸載波陣面隨時間變化曲線,曲線終點為“斷裂時間-卸載區域”包絡線Fig.4 Curves of Mott wave front with time for different power index with endpoints forming an envelope of the “fracture time-unloading zone”

圖5 不同k參數下的斷裂時間與應變率關系Fig.5 Fracture time-strain rate relationship for different k

圖6 不同應變率下的“斷裂時間-卸載區域”包絡線Fig.6 Envelopes of “unloading zone-fracture time” for different strain rates

4 韌性碎裂過程的數值模擬

4.1 有限元模型和材料本構

為描述無氧銅圓環的材料弱化和斷裂過程,采用一個包含內聚力失穩機制的損傷演化模型。該模型在有限元單元的尺度上模擬損傷破壞特性:通過單元內計算的等效塑性位移δpl(δpl等于單元幾何尺寸與單元等效塑性應變的乘積)作為損傷量Da的表征,

一旦損傷開始積累,其將按照冪次關系(1-Dak)弱化材料。

表1給出了計算所用的材料本構參數。為研究冪次內聚力斷裂模型對計算結果的影響,在分析過程中,保持材料的斷裂能Gc及損傷開動應力σc不變,選擇不同k指數模擬圓環的動態破碎過程。為精確模擬圓環的隨機破碎過程,文獻[10]通過網格收斂性分析得到的建議單元尺寸0.185 mm,將圓環劃分成6個不同的網格,每個網格包含總數約15萬個四面體2次單元,形成隨機的6個數值實驗樣本。

表1 TU1無氧銅材料參數

4.2 數值模擬結果及分析

選取k分別取值0.5、1.0、1.5作為典型的損傷演化代表,對一個膨脹環施加v=450 m/s的初始膨脹速度,圓環最終碎裂后的形態如圖8所示,碎片最終數量分別為41個、43個、44個。數值結果顯示隨著k取值越大,碎片數越多,即碎片平均尺寸越小,與理論式(18)預測結果的趨勢一致。在同一個應變云圖標尺下,由圖8中碎片局部放大的半剖面圖可以觀察到3種參數下碎片端面及頸縮處明顯的特征差異。k值越小,斷口變形區域的環向拉伸應變越大,碎片端面及頸縮處出現明顯的韌性“拉絲”,并且在低應變下被斷口或嚴重頸縮處激發的卸載波快速卸載的斷口/頸縮附近區域越大。從碎片斷口塑性應變可以看出,隨著k取值越大,斷口處的塑性應變越小,即材料斷口特性偏脆,這個現象與圖2的預想結果一致。

圖8 k分別取值為0.5、1.0、1.5時金屬環膨脹碎裂形態及碎片特征圖Fig.8 Fragmentized expanding rings and typical fragments for specimens with k=0.5, 1.0, 1.5

進一步,在一個更廣泛的應變率范圍內(2.5×103～4×104s-1),研究不同損傷演化方式對碎片平均尺寸的影響規律。為避免網格質量及數值計算誤差引起的差異,在有限元模擬中通過不同網格劃分方式改變網格分布及單元總數,對6組相同應變率下的膨脹環進行重復數值實驗,計算結果如圖9所示,其中紅、黑、綠三色實線為k分別取值0.5、1.0、1.5時理論預測的碎片尺度,紅、黑、綠色的數據點為每次數值實驗所得到的碎片尺寸結果,而相應顏色的虛線為對每種k值的數據點的線性擬合。從圖9中可以看出以下特征:

圖9 平均碎片尺度與應變率關系Fig.9 Average fragment size versus strain rate

1)在完全相同的材料參數和初始速度條件下,每組6個不同圓環的數值模擬碎片尺寸結果呈現出分散性,反映了動態碎裂的隨機性特點;但是平均掉各種隨機性,計算結果顯示出平均碎片尺度對材料參數和應變率的依賴關系,在10%～20%誤差范圍內,式(18)可以較好地預測碎片平均尺度。

2)根據理論模型,k因子對平均碎片尺度lc具有影響,lc～k-1/3,k值越大、碎片尺寸越小,計算結果和理論預測的趨勢一致,表現為在圖9中3種顏色的實線的相對位置,與不同顏色虛線的相對位置一致;然而,實際計算結果所給出的k值對碎片尺度的影響程度遠小于理論預測。

3)相比較而言,在更小的損傷演化非線性參數k(k=0.5)情況下,碎片的平均尺寸理論預測公式更接近于有限元模擬的結果,相對誤差在5%～10%以內。

針對上述理論和數值模擬的結果對比,可知本文推出的碎片尺度式(18)具有較好的預測能力,在改變加載速率和非線性冪次指數k值時,數值模擬結果和理論預測值絕對數值相近,變化趨勢一致。然而,理論預測的k值影響程度偏大,這是因為理論分析限定在碎裂過程的斷裂-損傷階段,即Mott波的激發和傳播過程中。事實上,在一個完整的動態碎裂過程中,桿件的變形和破壞很復雜[21],包括了塑性流動、不均勻變形發展、局部失穩、損傷開動、斷裂和Mott波傳播等不同階段,前期塑性失穩的復雜應力狀態及有限元模型的三維幾何效應等因素稀釋了k值對最終碎片尺寸的影響。k值引起的碎片尺寸差異雖然沒有理論那么顯著,但是隨著應變率增大,不同k值的影響對碎片尺寸的差異和趨勢逐漸顯現。

一般認為,斷裂的發展所激發的Mott卸載波對碎片尺寸起著主導作用,與Grady-Kipp經典模型一樣,本文的分析模型僅僅考慮上述最后一個階段,即單個裂紋的擴展以及在此階段向外激發的Mott卸載波所傳播的距離,并以此確定碎片尺度,這與真實情況存在一定差距。本文研究結果表明,斷裂路徑不同,產生的碎片尺寸也有一定差別,如圖4所示,k越小,則Mott卸載波傳播的距離越長,卸載波對整個一維應力桿碎裂過程的影響作用越明顯,這可能是卸載波控制碎片尺度的理論模型和數值模擬結果更接近的原因。

5 結論

本文在Mott-Grady碎裂模型基礎上,考慮損傷破壞的路徑多樣性,假定斷口內聚力與斷口張開位移之間呈一種冪次非線性關系,推導出了不同損傷模型下的斷口演化過程,與臨界斷裂時間、Mott波傳播距離,以及碎片平均尺度的解析解。經典的基于線性σ～δ關系的Grady-Kipp解作為本文解的一個特例給出。分析結果表明,保持斷裂能Gc和斷裂應力σc不變,代表非線性內聚力斷裂路徑的參數k對動態拉伸破壞過程有一定程度的影響,不同k值表征的非線性損傷演化規律控制了斷裂發展過程、從而影響卸載波傳播距離,具體而言:冪次指數k必須小于2,否則斷口無法發生自持斷裂;其次隨著k的降低,Mott卸載波的傳播距離單調增加,產生碎片的平均尺寸也有增加。

采用有限元方法數值模擬了韌性金屬圓環在快速膨脹過程中的碎裂現象,模擬結果表明,非線性冪次指數k對韌性破碎過程的影響和理論預測結果一致,表現為:1)在廣泛的應變率范圍內,含非線性冪次指數k的理論推導公式能較好地給出碎片的平均尺寸隨應變率變化規律;2)碎片尺寸受非線性指數k的影響趨勢,有限元模擬結果與理論預測結果一致;3)非線性指數k可以用來刻畫斷口區域材料的相對韌性,隨著指數k的降低,材料斷口區域偏向韌性,能承受較大的變形。

研究還發現,在廣泛的加載應變率范圍內,對于冪次非線性損傷演化路徑,均存在一個最快速的斷口破壞路徑,即非線性指數k=0.5時,損傷至完全斷裂所需時間最短;k>0.5時,由于損傷前期較慢的應力卸載導致總時間更長;k<0.5時,由于完全斷裂時刻的Mott波傳播距離增大而導致總時間更長;k=0.5時,冪次非線性損傷發展方式對應著材料的最快速卸載路徑,可能是描述材料損傷演化過程的理想損傷斷裂模型。

本文揭示了一類內聚力斷裂路徑,即冪次函數型的σ～δ關系對動態拉伸斷裂發展過程、Mott卸載波傳播距離、斷裂時間以及碎片尺度的影響。更復雜的σ～δ關系的影響也可以通過對本文列舉的基本微分方程組進行分析或者數值計算開展分析。