三軸轉動慣量的振復擺與扭擺法協同測量比例法

楊洪濤, 盧志輝, 孫浩智, 武藝泳, 劉珉, 來顏博

(鄭州機械研究所有限公司, 河南 鄭州 450052)

0 引言

三軸轉動慣量的測量需要對應3個姿態方位進行圓周擺動,或者以其他體現圓周運動加速度因素的方式運動,3個位姿擺放常常給測量帶來一定的困擾。扭擺法和復擺法都屬于常用的轉動慣量測量方法,這兩種方法具有不同的結構和對應的擺動方程以及各自應用特點。扭擺法更為經典,是業界通用的測量方法,是基于直立軸系和扭擺彈性單元實現圓周擺動運動,通過測量扭擺周期并與標準樣件的擺動周期進行比對計算各個轉動慣量分量。復擺法為水平軸系,基于被測體重力與直立振動單元形成擺動來測量對應方位的慣量值,一般還需要移軸處理得到自身轉動慣量值,移軸計算由于質心位置偏離過大,很難精確測定而帶來粗大誤差。

位姿調整多數直接采用與外形相適應的工裝支撐,也有采用多維空間轉動框架支撐的。前者結果可靠,但操作繁瑣,支撐工裝種類多。后者測量過程便捷,但機構復雜、皮重大,運動副存在的間隙對擺動運動造成干擾;某些帶翼異形體在翼展方位往往很難實現與測量設備的支撐連接。因此,解決位姿影響需要新的思路與方法。

文獻[1]提出了振復擺法與扭擺法相結合的協同測量方法(以下簡稱協同測量法),利用直立振復擺法建立起兩個橫向轉動慣量分量之間的關系,再利用扭擺方法測量其中一個分量,從而減少一次水平狀態下的姿態變化。該文獻給出了基于兩個橫向轉動慣量差值的協同測量方法(以下簡稱協同差值法),包括當量樣件慣量法和當量剛度系數法。

協同測量法根據兩個橫向慣量之間的關系,還存在利用其比例關系測量與計算的方法(以下稱協同比例法),為三軸轉動慣量提供一種新的測量計算路徑,尤其可以有效地回避帶翼異形體翼展方位的支撐問題,解決了異形體三軸轉動慣量的測量難題。

1 轉動慣量協同比例法測量原理

1.1 扭擺法

扭擺法是轉動慣量測量中采用的最經典的方法,其原理結構主要包括旋轉擺動軸系和彈性單元,被測物體放置在與扭擺彈性單元固連的轉臺上,在外界的激勵下做圓周擺動運動[2-5]。國內對其具體軸系形式結構(機械軸承、氣浮轉臺)、測控系統、誤差分析、設備標定及標準件賦值等方面都有一定的研究[3,6-11]。

設J為被測物體+系統對扭擺中心的轉動慣量,K為扭擺彈性單元剛度系數,T為擺動周期。實際測量過程中,擺動系統受到的阻尼可以忽略,則有

(1)

即轉動慣量J與擺動周期T的平方呈正比。實際測量過程中采用樣件比對測量,依次測出轉臺擺動系統的扭擺周期Tte、標準樣件+擺動系統的扭擺周期Tts(標準樣件自身轉動慣量為Js)、產品+擺動系統的扭擺周期Ttc,就可得出導彈彈頭的轉動慣量Jc為

(2)

1.2 直立振復擺法

復擺法[12-16]也是測量轉動慣量的主要方法之一,由于被測體自身質心距離擺動軸線比較遠,且難以精確測定,轉動慣量的移軸計算會帶來較大誤差。文獻[13]建立了采用振復擺法直接測量轉動慣量的振復擺模型,推導了振復擺的計算公式,

空氣阻尼忽略不計的情況下,有

(3)

式中:k為振復擺彈性單元剛度系數;L為彈性單元中心到振復擺中心的距離;m為被測體+擺動系統質量;g為當地重力加速度;h為被測體+擺動系統質心到振復擺中心的距離。

1.3 協同比例法

扭擺法和復擺法測量轉動慣量兩種方法均具有各自特點[2],扭擺法的測量誤差比復擺法小,文獻[2]認為測量的高不確定度是由測量裝置精度因素造成的,而不是由測量原理造成的。文獻[1]指出復擺法中擺動系統和被測物體高度難以精準測量,其造成的移軸誤差是測量誤差的主要來源。

圖1為扭擺法和振復擺協同法機構示意圖。圖1中,h0為測量設備工裝上平面到擺動軸線的距離,hc為被測體質心到復擺中心距離,xc為被測體質心到被測體下端面的距離。

在圖1所示質心和轉動慣量集成測量設備上,利用扭擺法精度高的優勢,結合直立刀口振復擺確定兩個分量之間的比例關系,可以在水平姿態下不翻轉被測產品完成兩個橫向轉動慣量的測量,被稱為直立刀口振復擺和扭擺法協同測量比例法,為三維轉動慣量測量提供了新的思路。

1.3.1 原理結構

直立刀口振復擺與扭擺協同測量原理結構示意見圖1,圖中示意的為直立工裝的使用狀態,主要包括主軸、主軸圓盤、刀口結構、中心扭桿及其緊固組件、支臂、板簧。被測物體通過直立工裝或者水平工裝固定在主軸的圓盤上,實現相關直立和水平狀態特性參數的測量。主軸懸浮在一組刀口上面,與之垂直方向連接一組支臂,支臂和彈性元件板簧相連,組成直立刀口振復擺系統,該系統早期設計用于導彈彈頭質心橫偏高精度測量[17]和慣性積測量[18]。

由電機通過直立軸系驅動產品分別位于y軸、z軸方向,再由撥動機構使產品沿刀口擺動,測量復擺周期,以建立兩個方位慣量分量之間的關系,同時可以利用結構中的圓周扭擺系統測量彈頭軸向轉動慣量的Jx。通過水平工裝將產品水平放置在轉臺上,利用扭擺測量橫向轉動慣量Jy或Jz。

1.3.2 計算方法

對于式(3),令

Kd=2kL2-mgh

(4)

式中:Kd為振復擺系統的特性參數。記Ty和Tz為被測件+擺動系統y軸方向和z軸方向相對于擺動中心的擺動周期,預先將設備兩個方向做初始周期平衡處理,則擺動系統在這兩個方向上相對振復擺中心的轉動慣量J0y等于J0z,統一記為振復擺系統的轉動慣量J0,則結合式(3)、式(4)可以得到

(5)

取式(5)中兩式做比值,可以推導出:

(6)

對于導彈彈頭這類回轉體,通常Jy和Jz理論值一樣大,實測出非常接近,其比值幾乎為1,Ty和Tz也非常接近,因此近似有

(7)

式(7)是式(6)在Jy和Jz非常接近時的簡化計算,僅適用于二者數值接近的情況。式(7)和式(6)中的兩個表達式是等價的,在產品測量中一般選用容易測出的轉動慣量作為自變量。

2 協同比例法相對于扭擺法誤差分析

本文測量的基礎是基于扭擺法,主要分析與扭擺法精度的差異。

將(6)式代入,有

(8)

式(8)第1項為協同測量比例法帶來的附加誤差,第2項等同于扭擺法的原始誤差。

表1 協同比例法引起的附加誤差值

表2 4組模擬件基本參數和三軸轉動慣量扭擺法測量結果

表3 設備及4組模擬件基礎數據

3 實驗方法與實驗結果

3.1 實驗方法

本文測量的基礎是基于扭擺法,采用圓周擺動方法測量得到Jx、Jy,再由立式振復擺測量Jy、Jz之間的關系,最后得到三軸分量。最終的測量精度取決于扭擺法,因此以下實驗結果就直接以扭擺法結果為比較基準,這樣就可以采用沒有理論值的工件模擬實際產品進行實驗測試了。

如圖2所示,設計為錐形啞鈴狀模擬產品,前后兩個錐形圓盤放置在水平工裝上測量Jy、Jz,直立狀態大圓盤放置在直立工裝上測量Jx扭擺法周期、Jy和Jz的直立振復擺周期。同時通過在模擬件上沿z軸方向布置大小不同的兩組試塊和翼展模擬組件,改變其慣量值,進行多組實驗測量。

圖2 模擬產品、模擬產品+第1組試塊、模擬產品+第2組試塊、模擬產品+翼展模擬組件實驗狀態示意圖Fig.2 Schematic diagram of experimental state of simulated product, simulated product+the first group of test blocks, simulated product+the second group of test blocks, simulated product+wing unfolding simulation components

首先在集成測量設備上測量模擬件的質量特性參數,包括質量、軸向質心、橫向質心、三軸轉動慣量。轉動慣量采用扭擺法測量,并作為比較基準。測量3次數據取其均值。

再依次測量擺動系統振復擺周期T0、模擬件+擺動系統y軸方向、z軸方向振復擺周期Ty、Tz,以及模擬件+試塊(或翼展組件)+擺動系統y軸、z軸方向振復擺周期T′y、T′z,每組測量周期5次并取均值,利用4組數據進行相關計算與分析。實驗設計4組,其中1組為模擬產品原始狀態,2組為人為增加不同試塊造成兩個方向轉動慣量具有較小差值,1組為人為增加翼展模擬組件配重造成兩個方向轉動慣量具稍大差值,以考察Jy/Jz比值分布對該方法精度的影響和協同比例法的可行性。

3.2 實驗結果

3.2.1 扭擺法測量結果

測量結果見表2。表2中質量、軸向質心位置用于轉動慣量移軸計算,三軸轉動慣量數據Jy、Jz作為最終測量結果,Jy用于與協同比例法結果進行比對,考察附加誤差情況。其中表2中的軸向質心數值為實驗模擬件質心到上端面的距離。

3.2.2 測量設備基礎數據確定

測量計算需要用到測量設備相關的基礎數據,包括振復擺系統和工裝相對于擺動軸線的慣量值J0、被測體質心到擺動軸線的距離hc,hc=xc+h0。

J0由三維建模,按照理論密度進行仿真求得每個工件的值,再由單件實際稱重值進行修正。xc由實驗設備測出,具體是實驗用模擬件高度與軸向質心數值的差值,模擬件高度經實際測量為973.5 mm,h0為實驗設備實際測量得出。具體結果見表3。

3.2.3 協同比例法測量結果

分別測量模擬件+擺動系統y軸方向的振復擺周期Ty、模擬件+擺動系統z軸方向的振復擺周期Tz,計算得到轉動慣量協同比例法測量值,再與扭擺法測量值比較得到誤差值。兩組采用模擬件的實驗測量數據見表4、表5。

表4 4組模擬件周期協同比例法測量結果

表5 4組模擬件轉動慣量Jz協同比例法測量結果

模擬實驗件和設備均是利用現有的條件進行的,由于當前條件的約束,實驗件Jy/Jz的數據分布范圍偏窄,但是與大多數實際異形體分布基本匹配,也達到了對方法進行驗證的目的。

從表5中數據可以看出:1～4組數據絕對誤差與誤差率增加明顯,在Jy與Jz接近時,二者測量結果比較接近,Jz/Jy小于1.02時,誤差率小于1%,隨著比值增加,誤差幾乎呈線性增加;最大絕對測量誤差值為0.68 kg·m2,最大誤差率為2.4%,高于機械轉臺通常采用扭擺法的慣量測量誤差率0.5～1%的測量精度。但是對于帶翼異形體在翼展方向無法支撐的情況,這個測量精度是可以接受的,而且測量無需新增專用工裝,實施便捷。

3.3 近似計算與全因計算對比

比較式(6)和式(7)并進一步考察式(8),對應地可以看出式(6)的第2分項即為類似扭擺法線性關系部分,對應式(8)中的第2項誤差等同于扭擺法的原始誤差;式(6)的第1分項則為擺動系統本身因Jy與Jz不同引起的固有慣量值,對應式(8)中的第1項無法消除的附加誤差。

按照式(7)計算Jz數據及對比結果見表6,從中可見誤差率在Jy與Jz基本相等時,二者結果是一致的,此時軸系加工裝系統的慣量值對測量精度沒有影響;在Jz/Jy小于1.02時,二者誤差不大,隨著Jz/Jy比值增加,近似計算法誤差增速明顯更快。

表6 4組模擬件協同比例法近似計算結果

綜上可以看出,對于回轉體彈頭,近似計算法就能滿足測量精度要求,對于帶翼異形體,協同測量比例法更為適宜,其比值界限定在1.02比較合適。

4 協同測量法應用分析

本文提出的協同比例法,直接采用模擬件作為被測體,測量過程與實際彈頭類或帶翼飛行體完全相同,其結果可以考核協同比例法的實際應用效果。模擬件因保密與實際飛行體在質量及外形方面均有一定差異,比產品質量更輕導致與測量系統參數匹配性更差,增大了測量誤差,實際產品測量精度比模擬件精度更高。

文獻[1]提出了協同測量差值法(具體分為當量剛度系數法和當量樣件慣量法),本文新提出了協同測量比例法。這兩種方法已被實驗驗證和實際應用證明是有效的、可靠的,但是也存在不同的適用范圍。

具體分析,對于定型設備,測量對象穩定單一,采用協同測量差值法精度高、使用便捷,文獻[1]顯示,9次測量中,最大誤差率0.63%,其余誤差率多在0.5%及以下,不超過機械結構轉臺測量誤差率0.5%～1%的測量精度,應為首選。當然采用協同比例法也是可行的,其測量誤差增大0.5%左右。

在Jy與Jz基本相等的情況下,采用協同比例法中的近似計算法精度比協同差值法略低,但不需要針對性的標定,這樣對于被測產品種類較多的情況,首選協同比例法。在Jz/Jy大于1.02的情況下,協同比例法中的全因計算法更適合產品測量。

協同比例法全因計算公式理論上適合任何情況,與協同測量其他方法相比,更適合于Jy與Jz具有一定差異的狀態,此時精度略低于扭擺法。隨著Jz/Jy增加,其誤差相應增大,但是仍在合理范圍內,具有較好的精度,對解決帶翼異形體三軸轉動慣量測量位姿轉換問題提供了新的有效技術路線。

采用上述測量方法研制了5種規格共計9套測量設備,根據不同的使用特點分別采用了協同差值法和比例法(包括全因計算和近似計算),對于樣件與模擬件檢測結果均滿足任務書要求,已交付3套投入實際測量。

早期本單位提供給部隊、軍工院所和相關工廠的同類型設備50余套,具有刀口板簧結構(產品旋轉一周,通過測量質心沿刀口的擺動幅度確定質心位置)、圓周扭擺結構(測量轉動慣量),具備實施協同測量的結構條件。通過軟件更新并增加刀口復擺撥動機構即可升級到不同的協同測量方法。目前已改造部隊某基地的質量特性測量設備,其Jy與Jz基本相等,具體采用了協同比例法中的近似法計算,成功避免了水平姿態需要人工輔助轉動90°的繁瑣操作。改造了一套異形體測量設備,對數據采用協同比例法全因素計算,其Jz/Jy約為1.05,取得了理想結果。

5 結論

本文在前期提出直立振復擺與圓周扭擺協同測量技術(協同差值法)的基礎上,進一步提出三軸轉動慣量測量的協同比例法,推導出了相應全因計算公式和近似計算公式并進行了誤差分析,采用模擬件進行了相關驗證實驗,對協同測量法的應用場景進行了全面深入的分析。得出以下主要結論:

1)實驗結果表明協同比例法測量具有效性和可靠性,Jz/Jy小于1.02時,全因計算公式和近似計算公式精度基本相當;Jz/Jy大于1.02時,采用全因計算公式更為適宜。

2)協同比例法簡潔可靠,便于操作,已用于多個型號測量設備研發,成功用于回轉體和帶翼異形體的三軸轉動慣量測量。

3)協同差值法適合于Jy與Jz基本相等的狀態,測量精度較高,可媲美扭擺法,非常適用于專用定型設備;協同比例法近似計算公式使用場景與協同差值法一致,精度略低于扭擺法,適用于兼容多產品測量的設備;協同比例法全因計算公式能夠滿足Jy與Jz具有一定差異的狀態,精度亦略低于扭擺法,是目前帶翼異形體三軸轉動慣量較適宜的測量方法。