含有間隙的Wiener系統(tǒng)的非光滑卡爾曼濾波的狀態(tài)估計(jì)

李海芬,黎 冠,謝迎新,張明月

(華北科技學(xué)院 電子信息工程學(xué)院,北京 東燕郊 065201)

0 引言

間隙廣泛存在于機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)[1,2]中。以伺服液壓傳動(dòng)裝置為例,設(shè)伺服電機(jī)的輸入電壓信號(hào)u(k)和位移輸出x(k),這時(shí)伺服電機(jī)可以看成是一個(gè)2階動(dòng)態(tài)線(xiàn)性子系統(tǒng)。由于液壓控制閥不可避免地存在油隙(油隙是由摩擦力和機(jī)械固定部分的間隙造成),隨著機(jī)械設(shè)備的不停運(yùn)轉(zhuǎn),這種特征會(huì)越來(lái)越明顯,這種油隙可以認(rèn)為是間隙環(huán)節(jié),此時(shí)的液壓傳動(dòng)系統(tǒng)可以看成是一個(gè)帶間隙的Wiener系統(tǒng)。

存在于系統(tǒng)中的間隙特性具有非光滑的非線(xiàn)性特性,不僅會(huì)影響整個(gè)系統(tǒng)的控制精度和靈敏度,使得誤差變大,性能降低[3],甚至引發(fā)不期望的震蕩和控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定,進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)的發(fā)散[4]。間隙本身除了非光滑這一特性,還具有局部記憶和多值映射等復(fù)雜特性,這使得對(duì)這類(lèi)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)更有挑戰(zhàn)性。Bai[5]研究了對(duì)含有間隙的 Hammerstein系統(tǒng)的進(jìn)行辨識(shí)。Giri[6]研究了一個(gè)Wiener Hammerstein模型的激勵(lì)識(shí)別方法。Cerone和Regruto[7]研究對(duì)帶有間隙輸入系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。由于間隙特性不是單獨(dú)存在的,在系統(tǒng)的工作過(guò)程中,不可避免的會(huì)受到外界信號(hào)的干擾,使得所得到的數(shù)據(jù)會(huì)含有一些噪聲,對(duì)這類(lèi)系統(tǒng)進(jìn)行控制之前,必須要得到系統(tǒng)的準(zhǔn)確模型。

本文主要提出一種帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波器來(lái)抑制系統(tǒng)中的噪聲,為了說(shuō)明所提出的非光滑卡爾曼濾波器的有效性,文中在所有參數(shù)都相同的條件下,還用傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器對(duì)含有噪聲的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,結(jié)果表明傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器在設(shè)計(jì)時(shí)沒(méi)有考慮間隙環(huán)節(jié)的影響,使得狀態(tài)估計(jì)不能很好的跟蹤實(shí)際值,而文中提出新的濾波方法能快速準(zhǔn)確的跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài),誤差也小很多,并能快速收斂到零。因此,從誤差的結(jié)果來(lái)看,帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波比傳統(tǒng)的卡爾曼濾波的效果要好很多,這也體現(xiàn)了針對(duì)這類(lèi)復(fù)雜的系統(tǒng)構(gòu)建帶有切換的函數(shù)的卡爾曼濾波器的意義所在。

1 含有間隙的Wiener系統(tǒng)的模型

所謂遲滯Wiener系統(tǒng)就是由一個(gè)動(dòng)態(tài)線(xiàn)性環(huán)節(jié)和一個(gè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)組成的,該系統(tǒng)有如圖1所示的結(jié)構(gòu)。u(k)是整個(gè)Wiener系統(tǒng)的輸入信號(hào),L1(·)表示動(dòng)態(tài)線(xiàn)性環(huán)節(jié),y1(k)是動(dòng)態(tài)線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出,y1(k)和y(k)間為間隙環(huán)節(jié),y(k)是表示整個(gè)Wiener系統(tǒng)的輸出信號(hào)。在這個(gè)系統(tǒng)中,只有u(k)和y(k)可以直接測(cè)量,中間變量y1(k)不能直接測(cè)量。

圖1 含有間隙的Wiener系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

1.1 Wiener系統(tǒng)線(xiàn)性部分的模型

設(shè)線(xiàn)性子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

(1)

其中,x1∈Rn1×1,A1∈Rn1×n1,B1∈Rn1×1,y1∈R1×1和C1∈R1×n1。式中,x1i表示L1環(huán)節(jié)的第i個(gè)狀態(tài)變量;A1表示轉(zhuǎn)移矩陣;B1是輸入矩陣;y1是動(dòng)態(tài)線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出;n1表示線(xiàn)性環(huán)節(jié)的狀態(tài)變量的維數(shù);u(k)是系統(tǒng)的輸入信號(hào)。

1.2 Wiener系統(tǒng)間隙部分的模型

圖2中m′1和m′2表示線(xiàn)性區(qū)的斜率(0

圖2 間隙環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖

間隙環(huán)節(jié)的輸出。根據(jù)文獻(xiàn)[8-10],間隙可以用以下的模型來(lái)表示:

m(k)=m1+(m2-m1)h(k)

(2)

z1(k)=m(k)(x(k)-D1h1(k)+D2h2(k))

(3)

z(k)=(1-h3(k))z1(k)+h3(k)z(k-1)

(4)

其中,h3(k)是切換函數(shù),負(fù)責(zé)間隙的記憶區(qū)和線(xiàn)性區(qū)的切換

(5)

從式(5)可看出,當(dāng)h3(k)=1時(shí),系統(tǒng)工作在記憶區(qū),z(k)=z(k-1);當(dāng)h3(k)=0,系統(tǒng)工作在線(xiàn)性區(qū),z(k)=z1(k)。將式(3)代入式(4),可以得到

(6)

2 帶切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波器

常用的濾波算法有KF(卡爾曼濾波)、EKF(擴(kuò)展的卡爾曼濾波)、UKF(無(wú)跡卡爾曼濾波)等。卡爾曼濾波算法在光滑線(xiàn)性隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題中起了很重要的作用,如導(dǎo)航制導(dǎo)、工業(yè)控制、目標(biāo)跟蹤、通信與信號(hào)過(guò)程和金融[11,12]。EKF[13,14]主要針對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。UKF和EKF相比,UKF不用對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線(xiàn)性化處理,因此UKF對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)的準(zhǔn)確性要高。但是以上提到的濾波算法只能適用于光滑的非線(xiàn)性系統(tǒng),而帶有間隙的Wiener系統(tǒng)屬于非光滑的非線(xiàn)性系統(tǒng),這里提出帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波器來(lái)處理這類(lèi)復(fù)雜的系統(tǒng)在隨機(jī)噪聲下的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。考慮如下含有高斯白噪聲的間隙Wiener系統(tǒng):

(7)

其中,r(k)和d(k)分別為過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲,其均值都為零,協(xié)方差矩陣為Q(k)和R(k)的不相關(guān)白噪聲序列,即

帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波公式如下所示:

(8)

(9)

(10)

P(k+1)=P(k+1/k)-Φ(k+1)K(k+1)CP(k+1/k)

(11)

P(k+1/k)=A(k)P(k)AT(k)+Q(k)

(12)

3 仿真結(jié)果

設(shè)帶有間隙的Wiener系統(tǒng)可表示為如下形式:

① 假設(shè)第一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)L1為:

(13)

② 間隙環(huán)節(jié):

(14)

圖3 在沒(méi)有噪聲干擾時(shí)的狀態(tài)

圖4 系統(tǒng)在受到噪聲干擾時(shí)的狀態(tài)

圖5 傳統(tǒng)的卡爾曼濾波估計(jì)效果

圖6 傳統(tǒng)卡爾曼濾波估計(jì)誤差

圖7 傳統(tǒng)卡爾曼濾波估計(jì)系統(tǒng)的輸入輸出

在輸入條件以及所有參數(shù)取值都相同的條件下,用帶有切換函數(shù)非光滑的卡爾曼濾波器對(duì)含有間隙的Wiener系統(tǒng)的狀態(tài)模型進(jìn)行濾波。圖8是用帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波器對(duì)含有噪聲的系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)圖。圖中實(shí)線(xiàn)(藍(lán)色)是系統(tǒng)的真實(shí)值,虛線(xiàn)(紅色)是帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波值。圖8(a)是狀態(tài)x11的濾波結(jié)果圖。圖(b)是狀態(tài)x12的濾波結(jié)果圖。圖9是估計(jì)的狀態(tài)誤差值,其中子圖帶有切換函數(shù)的卡爾曼濾波器對(duì)狀態(tài)x11的估計(jì)誤差圖。圖9(b)是用帶有切換函數(shù)的卡爾曼濾波器對(duì)狀態(tài)x12的估計(jì)誤差圖。從圖9中可以看出,狀態(tài)x12誤差要比用傳統(tǒng)卡爾曼濾波器的誤差要小,這是由于在狀態(tài)估計(jì)時(shí),考慮間隙環(huán)節(jié)的影響。圖10是用帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波器估計(jì)的Wiener系統(tǒng)的輸入輸出圖。從圖9和圖10可以看出,帶有切換函數(shù)的卡爾曼濾波器能準(zhǔn)確快速的跟蹤系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)變量的真實(shí)值,在模型的準(zhǔn)確性和誤差的收斂速度上都要優(yōu)于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器。

圖8 帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波估計(jì)效果

圖9 帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波估計(jì)誤差

圖10 帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波估計(jì)系統(tǒng)輸入輸出

4 結(jié)論

(1) 本文提出一種帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波器,對(duì)含有噪聲的間隙Wiener系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。

(2) 為了說(shuō)明所提出方法的有效性,本文在輸入條件及所有參數(shù)值都相同的情況下用傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器對(duì)其進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。結(jié)果表明帶有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波器能準(zhǔn)確的估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)。而傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器由于沒(méi)有考慮間隙的記憶性和多值映射性,比系統(tǒng)估計(jì)的誤差要大一些。

(3) 本文得到帶有切換函數(shù)的卡爾曼濾波器不論是在估計(jì)的精度還是誤差的收斂速度都要優(yōu)于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器,這也為下一步研究系統(tǒng)的精確控制奠定了基礎(chǔ)。