一道2022 年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的探究與思考

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510630) 洪森鴻

1 試題分析

題目(2022 全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽A 卷第11 題)在平面直角坐標(biāo)系中, 雙曲線. 對(duì)平面內(nèi)不在Γ 上的任意一點(diǎn)P,記?P為過點(diǎn)P且與Γ 有兩個(gè)交點(diǎn)的直線的全體. 對(duì)任意直線l∈?P,記M,N為l與Γ 的兩個(gè)交點(diǎn),定義fP(l) = |PM|·|PN|. 若存在一條直線l0∈?P滿足:l0與Γ 的兩個(gè)交點(diǎn)位于y軸的異側(cè),且對(duì)任意直線l∈?P,l?=l0,均有fP(l) >fP(l0),則稱P為“好點(diǎn)”. 求所有好點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積.

分析《全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽教學(xué)大綱》指出“要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣,激勵(lì)學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性”.歷年的全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題在考查學(xué)生深層次邏輯思維和運(yùn)算能力上有著重要作用,對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生的習(xí)題學(xué)習(xí)也有著重要的教學(xué)價(jià)值. 此題選自2022 年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽A 卷的11 題,相對(duì)于加試題而言,其難度和技巧性中等偏上. 題目的求解關(guān)鍵在于利用條件將問題轉(zhuǎn)化為由過P點(diǎn)的直線斜率決定的模長乘積最值問題. 本文從題目解法角度探究圓錐曲線的蘊(yùn)含性質(zhì).

圖1

點(diǎn)評(píng)處理與圓錐曲線相關(guān)的線段模長問題,比較通用的方法便是使用韋達(dá)定理和弦長公式直接進(jìn)行求解運(yùn)算. 抓住在異側(cè)存在交點(diǎn)時(shí)|PM|·|PN|取得最小值這一關(guān)鍵點(diǎn),進(jìn)一步討論k的取值范圍與?的關(guān)系是這一題的最終突破點(diǎn),這值得深入領(lǐng)會(huì).

2 性質(zhì)探究

2.1 兩條過P點(diǎn)的垂直弦性質(zhì)探究

圖2

2.2 n條過P點(diǎn)的相交弦性質(zhì)探究

3 總結(jié)

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題對(duì)于提升學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力和訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維有著重要的教學(xué)價(jià)值,基于解法的性質(zhì)探究一方面能夠加深學(xué)生對(duì)解法的理解,另一方面也拓展學(xué)生的思維與知識(shí)面. 數(shù)學(xué)探究能夠使得學(xué)生在遇見新的問題時(shí)候可以靈活從容應(yīng)對(duì).